高中数学 第四章 导数应用 1.2 函数的极值课件 北师大版选修11.ppt

第四章 1函数的单调性与极值 1 2函数的极值 学习目标1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一函数极值的概念 函数在点x a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系 函数y f x 的图像如图所示 函数在点x a的函数值f a 比它在点x a附近的其他点的函数值都小 答案 思考2 f a 为多少 在点x a附近 函数的导数的符号有什么规律 f a 0 在点x a附近的左侧f x 0 答案 思考3 函数在x b点处的情况呢 函数在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 且在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 答案 梳理 1 如图1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 如图2 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 知识点二求函数y f x 的极值的步骤 1 求出导数f x 2 解方程f x 0 3 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 1 若f x 在x0两侧的符号为 左正右负 则x0为极大值点 2 若f x 在x0两侧的符号为 左负右正 则x0为极小值点 3 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 题型探究 例1判断下列函数有无极值 如果有极值 请求出极值 如果无极值 请说明理由 类型一判断与求解极值 点 解答 f x x2 令f x 0 解得x 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可知 该函数无极值 解答 因为f x x2 2x 4 x 1 2 3 0 所以函数f x 在r上为增函数 无极值 1 导数值为0的点不一定是函数的极值点 函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件 而不是充分条件 2 求可导函数f x 的极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 求f x 的拐点 即求方程f x 0的根 利用f x 与f x 随x的变化情况表 根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 特别提醒 在判断f x 的符号时 借助图像也可判断f x 各因式的符号 还可用特殊值法判断 反思与感悟 跟踪训练1求下列函数的极值 1 f x 2x3 3x2 12x 1 解答 函数f x 2x3 3x2 12x 1的定义域为r f x 6x2 6x 12 6 x 2 x 1 解方程6 x 2 x 1 0 得x1 2 x2 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以当x 2时 f x 取极大值21 当x 1时 f x 取极小值 6 解答 令f x 0 得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此当x 1时 f x 有极小值3 无极大值 例2已知函数f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 则a b 类型二已知函数极值求参数 答案 2 9 解析 f x 3x2 6ax b 且函数f x 在x 1处有极值0 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 此时函数f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 时 f x 0 此时f x 为增函数 当x 3 1 时 f x 0 此时f x 为增函数 故f x 在x 1处取得极小值 a 2 b 9 引申探究1 本例的其他条件不变 如果直线y k与函数图像有三个交点 求k的取值范围 由例2知f x 极小值 f 1 0 f x 极大值 f 3 4 由图像可知当0 k 4时 直线y k与函数图像有三个交点 解答 2 若本例的条件改为 x 3 x 1是f x x3 3ax2 bx a2的两个极值点 求常数a b的值 f x 3x2 6ax b 0的两根为 3和 1 解答 已知函数极值的情况 逆向应用确定函数的解析式时 应注意以下两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 反思与感悟 跟踪训练2设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 解答 2 判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 解答 当x 0 1 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 所以x 1是函数f x 的极小值点 x 2是函数f x 的极大值点 例3函数f x x3 4x 4的图像与直线y a恰有三个不同的交点 则实数a的取值范围是 类型三函数极值的综合应用 答案 解析 f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 且f x 在 2 和 2 上是增加的 在 2 2 上是减少的 根据函数单调性 极值情况 它的图像大致如图所示 利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能在此基础上画出函数的大致图像 从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 反思与感悟 跟踪训练3已知函数f x x3 6x2 9x 3 若函数y f x 的图像与y f x 5x m的图像有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解答 由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图像与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 当堂训练 1 已知函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图像如图 则函数f x 在开区间 a b 内极小值点的个数为a 1b 2c 3d 4 2 3 4 5 1 函数f x 在极小值点附近的图像具有先降后升的特点 因此应该在导函数的图像上找曲线从x轴下方过渡到x轴上方时与x轴的交点 这样的点有2个 所以函数f x 在开区间 a b 内有2个极小值点 答案 解析 f x 3ax2 2x 1 令f x 0 即3ax2 2x 1 0有两个不等实根 2 已知函数f x ax3 x2 x 5在 上既有极大值 也有极小值 则实数a的取值范围为 2 3 4 5 1 答案 解析 3 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a等于a 4b 2c 4d 2 f x x3 12x f x 3x2 12 令f x 0 则x1 2 x2 2 当x 2 2 时 f x 0 则f x 单调递增 当x 2 2 时 f x 0 则f x 单调递减 f x 的极小值点为a 2 2 3 4 5 1 答案 解析 4 已知曲线f x x3 ax2 bx 1在点 1 f 1 处的切线斜率为3 且x 是y f x 的极值点 则a b 2 3 4 5 1 因为f x 3x2 2ax b 答案 解析 2 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 3 4 5 1 解答 2 若f x 是单调函数 求a的取值范围 由题意知ax2 2ax 1 0有两相等实根或无根 当a 0时 方程无根 符合题意 当a 0时 2a 2 4a 0 得0 a 1