3.1.1数系的扩充和复数的概念(教师版).doc

东升学校高二数学组1-2学案3.1.1 数系的扩充和复数的概念（两课时）学习目标：1理解复数的有关概念以及符号表示；2掌握复数的代数表示形式及其有关概念；3在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用和数与现实世界的联系学习重点：引进虚数单位的必要性、对的规定以及复数的有关概念学习难点：复数概念的理解学习过程： 一、课前准备： 阅读教材的内容，了解复数概念的建立过程，并注意以下问题：1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？ （1）自然数：计数的需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集，整数集，有理数集，实数集.3. 为什么要进行数系的扩充？分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾.在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程无解，那么在什么范围内才有解？二、新课导学：（一）新知：1.实系数一元二次方程没有实数根实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数要解决这一问题，最根本的问题是要解决的开平方问题即一个什么样的数，它的平方会等于 2. 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定： （1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立这样，就可以解决前面提出的问题（1可以开平方，而且1的平方根是） 3复数的概念： 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数相乘，再与实数相加由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数；叫做实部，叫做虚部；这种形式的复数叫做复数的代数形式全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母表示，显然有： 4.实数、虚数、纯虚数： 对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当，它是实数0；当时，叫做虚数；当，时，叫做纯虚数. 5. 复数相等的充要条件： 在复数集中任取两个复数：，规定：且. 6.复数大小的比较： 如果两个复数都是实数，则可以比较大小，如果至少有一个是虚数，则不能比较大小；如与，与就不能比较大小.（二）典型例题：【例1】课本102页，自主学习，有问题请教小组内的同学或老师。变式训练题 当为何实数时，复数是：（1） 实数 ；（2）虚数 ；（3）纯虚数 ；【解析】动动手：1.下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ . 2.已知复数，当为何值时，是虚数？是纯虚数？【解析】 【例2】已知，其中，求与【解析】动动手：已知，求实数的值. 【解析】三、总结提升： 1.在中，实部是，虚部是，易错为虚部是； 2.两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等； 3.在复数集中，如果两个复数中至少有一个是虚数，则这两个数不能比较大小，只有这两个数都是实数才可以比较大小.四、反馈练习：1. 设、，则复数为实数的充要条件是 （ ）A. B. C. D.2.已知，则分别是 （ ） A. B. C. D. 3.方程的根是 . 4.若，则实数的值是 . 5.（1）已知关于的方程有