贵州省贵阳市高考数学专题复习 三角函数的诱导公式学案4.doc

任意角的三角函数、诱导公式基础归纳1设是一个任意角，它的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为p(x，y)(1)y叫做的正弦，记作sin_，即sin_y；(2)x叫做的余弦，记作cos_，即cos_x；(3)叫做的正切，记作tan_，即tan (x0)2三角函数的定义域如表所示：三角函数定义域sin rcos rtan |k，kz3.三角函数的值在各象限的符号如图所示4终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(k2)sin_ cos(k2)cos_ tan(k2)tan_(其中kz)5已知角的终边位置，角的三条三角函数线如图所示sin mp，cos om，tan at.6熟记各特殊角的三个三角函数值角度030456090180270360弧度02sin 01010cos 10101tan 01不存在0不存在0知识要点一：对三角函数定义的理解（1）三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应三角函数的自变量是角，比值是角的函数（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点p(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关知识要点二：三角函数值在各象限内的符号（1）三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的（2）对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值知识要点三：诱导公式一的理解及其应用（1）公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等（2）公式一的结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为k2，右边的角为.（3）公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值知识要点四：三角函数线（1）三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便（2）三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础7同角三角函数的基本关系式包括：平方关系式：sin2cos21；商数关系式：tan .8商数关系tan 成立的角的范围是|k，kz知识要点一：公式的推导（1）设p(x，y)是角的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：xcos ，ysin ，tan ，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x2y21，即cos2sin21，且tan .（2）由任意角的三角函数的定义也可求得设p(x，y)为角终边上的任一点，|op|r.则sin ，cos ，tan .易知sin2cos21，tan .知识要点二：公式应用时注意的问题（1）公式成立的条件sin2cos21对一切r均成立，tan 仅在k(kz)时成立（2）同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos221，tan 8等都成立，理由是式子中的角为“同角”（3）使用平方关系sin ，cos ，“”由角所在象限来确定（4）对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用如：sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2，sin tan cos ，cos ，tan 等9诱导公式二sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.10诱导公式三sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.11诱导公式四sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.即k2(kz)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号12诱导公式五 13诱导公式六sin()cos_，cos()sin_. sin()cos_，cos()sin_.即的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆其中2k(kz)，可统一表示成(kz)的形式当k为奇数时，函数的名称要改变，由sin 变为cos ，cos 变为sin ；当k为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思还有，在记忆公式时要把看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”典例解析第一部分：任意角的三角函数【例1】 已知角的终边经过点p(4a,3a)(a0)，求sin 、cos 、tan 的值思路点拨：先求出点p到原点的距离，再利用任意角三角函数的定义，求sin ，cos ，tan 的值解：r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a0，且cos 0，2k22k(kz)，kk(kz)当k为偶数，设k2m(mz)有：2m2m(mz)；当k为奇数，设k2m1(mz)有：2m2m(mz)为第一或第三象限角又cos 0，sin ，cos ，.【例4】 求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(34sin2 x)解：(1)如图(1)2cos x10，cos x.函数定义域为2k，2k(kz)(2)如图(2)34sin2x0，sin2x， sin x0；(2).解：(1)原不等式可化为3tan ，即tan ，则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，|kk，kz(2)原不等式组可化为即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，x|2kx2k，kz【例5】 求函数y的定义域解：要使函数有意义，需或x2k，2k)(2k，2k，kz，即定义域为2k，2k)(2k，2k，kz.第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】 已知cos ，求sin ，tan 的值解：cos 0且cos 1，是第二或第三象限角当为第二象限角时，sin ，tan .当为第三象限角时，sin ，tan .【例2】 已知tan 3，求下列各式的值(1)；(2)2sin23sin cos .解：(1)原式(2)原式.【例3】 已知0，sin cos ，求tan 的值解：由sin cos 两边平方易得sin cos 0，又00，cos 0，sin cos 由解得sin ，cos ，所以tan .变式训练31：已知x0，sin xcos x.求sin xcos x的值解：法一：由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，sin xcos x0，sin xcos x.【例4】 化简：.解：原式变式训练41：若tan ，则的值为_解析：tan ，4.【例5】 求证：.证明：左边右边原式成立变式训练51：证明：.证明：，.【例6】 若sin a，且a是三角形的一个内角，求的值解：因为sin a，所以cos a，当cos a时，6；当cos a时，.故所求的值为6或.变式训练61：已知在abc中，sin a