高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修22.ppt

利用导数研究函数单调性 1 函数f x 在点x0处的导数定义 2 某点处导数的几何意义 3 导函数的定义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点m x0 y0 处的切线的斜率 一 复习回顾 导数的相关概念 引例已知函数y x2 4x 3 求证 这个函数在区间 2 上是单调递增的 1 任取x1 x2 2 作差f x1 f x2 并变形 3 判断符号 4 下结论 用定义法判断函数单调性的步骤 新课讲授 引入函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢 这表明 导数的正 负与函数的单调性密切相关 2 再观察函数y x2 4x 3的图象 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 从函数的图像可以看到 函数的导数与函数的单调性的关系 增函数 减函数 正 负 0 0 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的减函数 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 图像法 3 导数法 结论 y 0 增函数 y 0 减函数 判断函数单调性 1 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递增 2 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递减 一般地 函数y f x 在某个区间 a b 内 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 例1 已知导函数的下列信息 当10 当x 4 或x 1时 0 当x 4 或x 1时 0 试画出函数f x 图象的大致形状 临界点 例2 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 f x x2 2x 4 2x 2 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是减函数 你们写对了吗 利用导数讨论函数单调的步骤 2 求导数 3 求解不等式f x 0 求得其解集再根据解集写出单调递增区间求解不等式f x 0 求得其解集再根据解集写出单调递减区间 1 求定义域d 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集单调区间不以 并集 出现 1 函数f x x3 3x 1的减区间为 a 1 1 b 1 2 c 1 d 1 1 课堂练习 答案 选a 2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 解 1 因为 所以 因此 函数在上单调递增 2 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 1 在某个区间 a b 内 如果导函数大于零 那么原函数在这个区间内单调递增 如果导函数小于零 那么原函数在这个区间内单调递减 2 求可导函数f x 单调区间的步骤 1 先求定义域 然后f x 2 解不等式f x 0 或f x 0 3 确认并指出递增区间 或递减区间