2014年全国高考试卷导数部分汇编(下).docx

2014年全国高考试卷导数部分汇编（下）1. （2014山东理6）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A B C2 D4【解析】 D2. （2014山东理20）设函数（为常数，是自然对数的底数）当时，求函数的单调区间；若函数在内存在两个极值点，求的取值范围【解析】 当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增 令，则当时，恒成立，上单调递增，不符合题意当时,令，综上：的取值范围为3. （2014山东文20）设函数 ，其中为常数若，求曲线在点处的切线方程；讨论函数的单调性【解析】 当时又，故直线过点 当时，恒大于，在定义域上单调递增当时，在定义域上单调递增当时，即；开口向下，在定义域上单调递减当时，对称轴方程为且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减4. （2014陕西理3）定积分的值为（ ）ABCD【解析】 C，故选C 5. （2014陕西理10）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）ABCD【解析】 A根据题意，所求函数在上单调递减，对于A，在内为减函数，同理可研究B、C、D均不满足此条件，故选A6. （2014陕西理21）设函数其中是的导函数令求的表达式；若恒成立，求实数的取值范围；设，比较与的大小，并加以证明【解析】 由题设得，. 由已知，可得.下面用数学归纳法证明.当时，结论成立.假设时结论成立，即.那么，当时，即结论成立.由可知，结论对成立.已知恒成立，即恒成立.设，即，当时，（仅当时等号成立），在上单调递增，又，在上恒成立，时，恒成立（仅当时等号成立）.当时，对有，在上单调递减，.即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是.由题设知，比较结果为.证明如下：证法一：上述不等式等价于，在中取，可得.令，则.下面用数学归纳法证明.当时，结论成立.假设当时结论成立，即.那么，当时，即结论成立.由可知，结论对，成立.证法二：上述不等式等价于，在中取，可得.令，则.故有，上述各式相加可得.结论得证.证法三：如图，是由曲线及辆所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，结论得证.7. （2014陕西文10）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为ABCD【解析】 A8. （2014陕西文21）设函数当（为自然数的底数）时，求的极小值；讨论函数零点的个数；若对任意恒成立，求的取值范围【解析】 当时，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增当时，取得极小值，的极小值为2 由题设知，令，得设，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点.的最大值为又，结合的图象（如图），可知当时，函数无零点；当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点;综上所述，当 时，函数 又且只有一个零点当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点. 对任意的，恒成立，等价于恒成立（*）设，（*）等价于在上单调递减.由在上恒成立，得恒成立,（对，仅在时成立），的取值范围是9. （2014四川理9）已知，现有下列命题：；其中的所有正确命题的序号是（ ）A B C D【解析】 A故正确，故正确当时，令（）因为，所以在上单增，即，又与为奇函数，所以成立，故正确10. （2014四川理21）已知函数，其中，为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；若，函数在区间内有零点，求的取值范围【解析】 因为，所以 又因为， 所以：若，则，所以函数在区间上单增，若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单减，在区间上单增，若，则，所以函数在区间上单减，综上：在区间上的最小值为 由，又若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间由知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求若，则令（）则由所以在区间上单增，在区间上单减，即恒成立于是，函数在区间内至少有三个单调区间又 所以综上，的取值范围为11. （2014四川文21）已知函数，其中，为自然对数的底数设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；若，函数在区间内有零点，证明：【解析】 由，有，所以当时，当时，所以在上单调递增，因此在上的最小值是；当时，所以在上单调递减因此在上的最小值是；当时，令，得所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增于是，在上的最小值是综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是 设为在区间内的一个零点，则由可知在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减则不可能恒为正，也不可能恒为负故在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点由知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，所以此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此，必有，由有，有，解得所以函数在区间内有零点时，12. （2014天津理20）设，已知函数有两个零点，且求的取值范围；证明随着的减小而增大；证明随着的减小而增大【解析】 由，可得下面分两种情况讨论：时，在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意时，由，得当变化时，的变化情况如下表：+0这时，的单调递增区间是；单调递减区间是于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：；存在，；存在，满足由，即，解得而此时，取，满足，且；取，满足，且所以，的取值范围是 由，有，设，由，知在上单调递增，在上单调递减并且，当时，；当时，由已知，满足，由，及的单调性，可得，对于任意的，设，其中；，其中因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得又由，得所以，随着的减小而增大 由，可得，故设，则，且，解得，所以， 令，则令，得当时，因此，在上单调递增，故对于任意的，由此可得，故在上单调递增因此，由可得随着的增大而增大13. （2014天津文19）已知函数求的单调区间和极值；若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围【解析】 由已知，有令，解得或当变化时，的变化情况如下表：0000所以，的单调递增区间是；单调递减区间是当时，有极小值，且极小值；当时，有极大值，且极大值 由及知，当时，；当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于显然，下面分三种情况讨论：当，即时，由可知，而，所以不是的子集当，即时，有，且此时在上单调递减，故，因而；由，有在上的取值范围包含，则所以，当，即时，有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集综上，的取值范围是评析 本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的性质，考查化归思想、分类讨论思想、函数思想考查综合分析问题和解决问题的能力14. （2014新课标1理11文12）已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为（ ）A（2，+）B（1，+）C（-，-2）D（-，-1）【解析】 C时，不符合题意时，令，得，若，则由图象知有负数零点，不符合题意.则，由图象结合知，此时必有，即，化简得,又，所以，故选C15. （2014新课标1理21）设函数，曲线在点处的切线为求；证明：【解析】 函数的定义域为，由题意可得，故， 由知，从而等价于设函数，则所以当时，；当时，故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为设函数，则所以当时，；当时，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即16. （2014新课标1文21）设函数，曲线在点处的切线斜率为0求；若存在，使得，求的取值范围【解析】 由题设知，解得 的定义域为，由知，.(i)若，则，故当时，在上单调递增 .所以，存在，使得的充要条件为，即，解得(ii)若，则，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为而，所以不合题意（iii）若，则综上，的取值范围是17. （2014新课标2理8）设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则（ ）A0 B1 C2 D3【解析】 D18. （2014新课标2理21）已知函数=讨论的单调性；设，当时，求的最大值；已知，估计ln2的近似值（精确到0001）【解析】 ,等号仅当时成立所以在上单调递增 ，（i）当时，等号仅当时成立，所以在上单调递增而，所以对任意：（ii）当时，若满足，即，而，因此当时，综上，的最大值为2 由知，当时，；当时，所以的近似值为069319. （2014新课标2文3）函数在处导数存在若；是的极值点，则（ ）A是的充分必要条件B是的充分条件，但不是的必要条件C是的必要条件，但不是的充分条件D既不是的充分条件，也不是的必要条件【解析】 C在处可导，若是的极值点，则，故是的必要条件；反之，以为例，但不是极值点，故不是的充分条件故选C20. （2014新课标2文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】 D依题意得在上恒成立，即在上恒成立，故选D21. （2014新课标2文21）已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为求；证明：当时，曲线与直线只有一个交点【解析】 ，曲线在点处的切线方程为由题设得，所以 由知，设由题设知当时，单调递增，所以在上有唯一实根当时，令，则，在上单调递减，在上单调递增，所以所以在上没有实根综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点22. （2014浙江理22）已知函数若在上的最大值和最小值分别记为，求；设，若对恒成立，求的取值范围【解析】 因为所以由于，（）当时，有，故此时在上是增函数，因此，故M（）当时，若，则，在上是增函数；若，则，在上是减函数，所以，由于，因此，当时，；当时，（）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，故综上， 令，则因为对恒成立，即对恒成立，所以由知，（）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则且，矛盾（）当时，在上的最小值是，最大值是，所以且，从而且令，则，在上是增函数，故，因此（）当时，在上的最小值是，最大值是，所以且，解得（）当时，在上的最大值是，最小值是，所以且，解得综上，得的取值范围是评析 本题主要考查函数最大（最小）值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合题解题能力23. （2014浙江文21）已知函数，若在上的最小值记为求；证明：当时，恒有【解析】 因为，所以（i）当时，若，则，故在上是减函数;若，则，故在上是增函数所以（ii）当时，有，则，故在上是减函数，所以综上， 令，（i）当时，若，得，则在上是增函数，所以，在上的最大值是，且，所以故；若，得，则在上是减函数，所以，在上的最大值是令，则，知在上是增函数，所以，即故（ii）当时，故，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是故综上，当时，恒有24. （2014重庆理20）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为确定的值；若判断的单调性；若有极值，求的取值范围【解析】 对求导得，由为偶函数，知，即，因，所以又，故 当时，