2010年寒假数学讲义精选集.pdf

清北学堂2011年寒假 数学讲义精选集 李伟固教授 陶平生教授 葛军教授 北京清北学堂教育科技有限公司 www topschool org 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 2 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 代数问题选讲代数问题选讲 数列 数列 知识点 1 等差数列 1 1 n aand m anm d d 为公差 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n nad 1 nnn aaa 等差常数 12 2 nnn aaa n aknb 2 n SAnBn C 2 等比数列 1 1 n n aaq n m m a q 1 1 1 1 1 1 n n na q S aq q q 1 n n n a a a 等比常数 2 12 0 nnnn aa aa n n aAq An 1 1 1 n n q S A qq n S与 n a关系 1 1 1 2 n nn S n a SSn 11 2 n nkk k aaaa x a f xf af t dt 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 3 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 例题 题 1 已知数列 n a满足 1 42 1 nn San 1 1a 其中 n S是前项的和 求 n a n S 解析 1 42 nn Sa 1 1a 21 42 nn Sa 21 44 nnn aaa 211 22 2 nnnn aaaa 1 2 nnn baa 1 2 nn bb 121 23baa 1 3 2n n b 2 n n n a C 1 1 1 2 2 nn nn n aa CC 1 3 24 n n n b C 1 1 1 22 a C 31 44 n Cn 2 31 231 2 4 nn n n an 2 1 422342 n nnn Saan 题 2 已知数列 n a满足 2 249 632 nnn Saaa a a 成等比数列 求 n a 解析 2 632 nnn Saa 2 111 632 nnn Saa 22 11 63 nnnnn aaaaa 11 30 nnnn aaaa 1nn aa 为正数列 1 3 nn aa 2 111 632aaa 1 1 2a 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 4 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 当 1 1a 时 2 429 32 n anaa a 成立 当 1 2a 时 2 429 3 n anaa a 不成立 题 3 已知公差非 0 的等差数列 n a的子列 n k a是一个等比数列 其 中 123 1 5 17 kkk 求 12n kkk 解析 1 1 n aand 2 5117 aa a 2 111 4 16 adad a 2 11 22addad 1 2ad 5 6ad 17 18ad 公比为 3 1 1 3 i i k aa 1 23id 1 1 i akd 1 i kd 1 2 31 i i k 1 12 2 1 33n n kkkn 31 n n 题 4 等差数列首项和公差都为非负整数 项数不少于 3 各项和为 2 97 这样的数列有多少个 解析 首项 a 公差 d 1 2 n n n Snad 2 97 2 212 97and n 22 3 97 2 97 97 2 97nn 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 5 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 若 d 0 2 2 971n n 97n a 48d 97 d 1 a 49 d 2 a 1 若 d 0 na 2 97 n 97 a 97 n 2 97 a 1 题 5 n a是正等比数列 求证 1 21 loglog2log nnn SSS 2 是否存在 正常数 c 满足 21 loglog2log nnn ScScSc 解析 公比 q 1 q 1 n S 1 na 2 2111 2 nnn S SSna na 2 2 2 11 10naa 2 q 0 1q 2 2 211 0 nnn S SSa q 2 21 0 1 nnn n ScScSc Scn 当 q 1 时 2 21nnn ScScSc 1 0a 当1q 时 2 21nnn ScScSc 2 21 111 1 1 1 111 nnn aqaqaq ccc qqq 11 1 0 n aq acq 1 0 1 a c q 01q 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 6 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 11 0 11 n n aa q S qq 题 6 已知数列 n a满足对任意 n n a n b 1n b 成等差 n b 1n a 1n b 成等 比 112 1 2 3aba 求 n a n b 解析 11nn n ab b 212nnn abb 112 2 nnn baa 12 2 nnn bbb n b 等差 21 22 32abbb 2 9 2 b 2 2 1 2 n bn 2 1 2 n n b 1 2 n n n a 题 7 二次方程 2 1 10 mn a xax 的两个根 nn 满足 6263 nnnn 1 7 6 a 求 通项 n a 解析 623 nnnn 1 2 63 n nn a aa 1 11 23 nn aa 1 212 323 nn aa 1 1 212 323 n n aa 1 2n 12 23 n n a 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 7 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 题 8 已知数列 n a满足 1 1a 1 2 nn n aS n 1n 证明 1 4 1 nn Sa n 解析 11 2 nnnn nSnan SS 1 2 1 nn SS nn 故 n S n 是公比为 2 的等比数列 11 4 11 nn SS nn 11 1 4 1 nn n SS n 4 2 n a n n 1 时 21 3 3aS 2121 44Saaa 证毕 题 9 F m表示 2 log m的整数部分 求 1 2 FFF n 解析 1 22 nn m 1F mn 这样的数有 11 222 nnn 个 1 2 FFF n 21 0 1 22 2 1 2nnn 2 22 n nn 题 10 正数列 n a满足 2 3 11 nn ii ii aa 1n 求证 1 1 n k k ak 4 1 117 8 m aa 4 为偶 454561 11111111 mmm aaaaaaaa 34m 2 13111 22 222 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 12 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 2 13 17 22 28 题 16 已知 1 3a 22 1 1 1 nnn aanan 求证 1 111 112 n aa 解析 1 12 1 kk aa 2 222 kkk akaa 2 k ak 1k 成立 1 1 kkk aa ak 2 2 13kk 成立 题 17 1 1a 1 1 1 2 nn n aan a n n a b n 求证 n b单调下降 解析 22 1 1 nn aa nn 2 2 2 11 2 1 n n n a a nan 2 2 11 2 0 1 n n a nan 22 n annn 2 21 n an 22 1 2 1 2 nn n aa a 23n 题 18 1 1a 2 1 1 nnn aaa 求证 1 2 3 n n a 解析 1 2n n a 2 1 1 12 2 nnnn n aaaa a 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 13 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 12 1 222 nn nnn n aa a n时 1 12 7 n n 11 1 12 7 n nnn n aaa n 1 1 11 nn aa nnn 000 111 000000 111 12 nnkn aaa nnnknnkn 111 1 ln 23 knC n 对 题 26 n a是公比为 2 的无穷等比数列满足cos0 n a 1k 1 1a 求 通 项 n a 解析 1 11 2 2 2 3 n n aaam 1 cos 2 n a 2 22 111 cos42cos 212 2cos1 1aaa 1 1 cos 4 a 同理 1 cos 4 n an 1 13 24 n a a 111 cos22 coscos 222 xxx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 20 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 2 2 123 1 1 cos 121212 coscoscos 123232 2 cos 2 a aaa a 1 21 cos 32 n n an 2 3 n n 1 1 cos 2 a 函数问题函数问题 题 1已知 1 1 x f xfx x 0 1x 求 f x 解析 1 1 x f xfx x 11 1 x yx xy 12 11 y ffy yy 12 11 x ff x xx 11 1 1 y xyxyy yx 1 11 1 1 xy y xy y 1121 1 yy ff yyy 1121 1 xx ff xxx 111221 1 121 xxx f xffx xxxx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 21 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1221 1 21 xx f xx xx 题 2 已知 sincosf xf yg xg yxy 求 f x g y 解析 sincos 2 xx xyf x sincosf xg xxg yf yy sincos sin 2 xx g xxf xCC 1111yf xffx 令 x y x 1令x f111xf xf 01f 2f xfx 11 22222f xxxfxxf xxfxxf x xx 1 f xxx 题 3 已知 f xg yxy h xy x yR 求 f x g x h x 解析 令yxgf 令 0 0ycf f xcxh x fycyh y f xf yxh xyh yxy h xy 令 0yx hb 2xbx h xhx 2h xhxb 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 22 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org xxyyy 2xy h xyyhyxy h x 2xy h xyxhxyx h y 22xhxyhyyx h yxy h x 22x hxhyy hyh yxh yyh x bxbyxh yyh x 0 h xbh yb ax y xy h xaxb 2 f xcxh xaxbxc f xfyxy h xy fxh xyxy h xy 0h xyh xyxy hxy 0 xy hxy 0hhaxb f xfyf xy fxfxy 题4 已知f Z Z 满足 10 01ff 2 f mnf mnf m f nm nZ 求 f 解析 令1n 110f mf m 11f mf m 31f mf m 4f mf m 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 23 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 201mff 0 311mff 题5 是否存在定义在整个实数轴上的有界函数 f x满足 2 2 11 11 0ffxff xx xx 解析 取0c 使得 C 是 f 的上界 1 4 c 不是上界 21 21112 12 ffff 2c 因为 1 4 c 不是上界 00 1 4 xf xc 22 00 2 000 1111 4 cfxf xfcf xxx 0 11 2 f x 2 2 2 00 00 1111 24 cfxff xc xx 11111 121 221622 c c 题6 f x是 0 1 的正函数满足 1 2 f xfx fyfy 求f 解析 1 2 1 f xfx fyfy 0 1x y 令1yx 1 2 1 f xfx fxf x 1f xfx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 24 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 f x x y fy f xf yx y fyf x 0fC 题 7 f NN 上单调上升 满足 22 ff mnf m f n 对任 意 m nN m n 1 求f 解析 1mn 2 1111fff 351518292922 545fffffffff 3433ff 归纳法证 f nn 设 3nk k 成立 11k k 1111fk kf k f kk kk 11f kk 题8 axb f x cxd 求 n fx 解析 0 fxx 1nn fxffx n f xxb fxxnb f xaxb 11 nn bb fxax aa 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 25 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 相似法 11 f xgxgx 称 f 与 g 相似 fg 12 ff xgx 1nn fxgx 1 fg 0 x 是 f 的不动点 则 0 x 是 g 的不动点 1 000 xf xgx 00 xgx axb fxx cxd 有 两个根 x x x 1 gg 00 gg ax gx a 2 21 x f x 0 1f xx x 12 1 x ggx x 0 axb f xcadbc cxd 1 f xx 两个不同根 12 x x 令 1 2 xx xx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 26 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 2 acx gxx acx nn gxx 1nn fxx 2 f xx 有唯一根 0 x 令 0 1 xx 2c gx ad 1 fg 1 2 n nc fxx ad 题 9 n 是给定正整数 求最小常数 C 使得对任意非负实数 12 n x xx 都 有 222 1223112 nnn x xx xxxC xxx 解析 22 1 1212 1 1 22 xxx x 22 2 2323 2 1 22 xxx x 22 1 11 1 1 22 n nnnn n xxxx 22222 311 123112231 11221 11111 22222222 n nnnn nnn xxxxxx xx xxx 311 11221 11111 22222222 n nnn 1 1 11x f x xx 2233 ff 1 1 21 i i fin 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 27 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org f xx 11 2 1 1x x 1 2 x x x 112 121 g xkx k 1 k 1 f xg 2211211 1111 1 1 nnnn n fgkk 1 1 11 1 112 2 1 1 11 1 1 n k 2 121212 12111 2 1221122212 k 1 1 n k 2 1 i n ke 2 1 1 12 2 1 i n e 11 21 ii nn ee 112 2cos 1n 1 Ccos 21n 不等式问题不等式问题 知识点 1 A G 不等式 1 2 ab ab 当 a b 时 等号成立 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 28 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 3 n a 3 bc abc 个 1 n 11 a nn n i i ii a n 个 2 由 22 2abab 2 4abab 2 4 ab ab 2 4 ab ab 4ab abab 114 abab 当 a b 时 等号成立 令 a a b b b c 则 a b a c 114 abbcac 由 4ab abab 可知 4ab ab ab 4 1 bb aab 4 1 1 b a a b 类推 333 3abcabc 已知 3333 1234 1234 1111 aaaak aaaa 且 1 2 3 4 1 i aa a aaR 求 k 的值 解析 由 1 234 1 i aa a aaR 可知 234 1 1 a a a a 所以 4 3 123234341412 1 i i ak a a aa a aa a aa a a 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 29 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 4 3 123234341412 1 i i ak a a aa a aa a aa a a 333 1231 23 3aaaaa a 1k 此题推广 已知 44 11 1 m i ii i a a 求正整数 m 的最小值 解析 由以上结论 试得 m 1 m 2 不成立 m 3 时成立 2 等式 不等式 由 2 222 2 ababab 又因 2 0ab 所以 2 22 22 abab 当 ab a bZ 时 可得 2 22 1 224 abab 例如 柯西不等式的推导 由 22 2222 abcdacbdadbc 又因 2 0adbc 所以可知 2 2222 abcdacbd 由 1 即可推出 n 即 由 22 2222 akbckdackbdk adbc 可推出 22 2222 akbckdackbdk adbc 2 2222 akbckdackbd 由以上结论 可得 著名不等式背后有什么 凸函数 f x的根 1 x 2 x 且 f x单调可得琴生不等式 12 12 22 f xf xxx f 基本不等关系 例题 题 1 已知01 1 2 3 i xi 试证明 122331 1111xxxxxx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 30 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 解析 2112 111xxxx 123 1110 xxx 12312233 1123 10 xxxx xx xx xx x x 1223311 23 11111xxxxxxx x x 题 12 若 d 是正数 a b c d 中最大的 那么 2 a dbb dcc dad 解析 0dadbdc 110ab 1 1a ba b 1abab 题 2 设实数 a b c 满足12abc 且abcabc 试说明 6abc 解析 说明 当 0abc 时 11abc 恒成立 推广 例当 A 37 lna bC时 无论 A 多么复杂 0A 均可推出 11A 12abc 01221abc 6abc 另解 1 2 2ax by cz abcabc 5122txyzxyz 令a 1 x b 1 y c 1 z 0 x 1 yz 1111xyzxyzxyyzzxxyz 3 x y z 若化简 则有2xyyzzxxyz 不易做 故先不化简 3 1 xyyzzxxyz 1yzx yzx 得证 类推 已知 1221 1 nnn xxxxx 1 11 nn i ii xx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 31 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 求证 1 2 n i i ixn 解析 3n 成立 12n yyy 1211 1 nnnnn y yy yy yyy 1221 1 nnnnnn y yy yy yy y 1221 1 nnn yyyy y 类推 已知 1 i xN in 11 nn ii ii xx 求证 1 1 2 n i i xn 2 的个数 11 nn ii ii xx 解析 1 排序 1221 12 nnn xxxxx 1 2 n x 1 1 n x 1 1 1 1 nn nxx 2 1 2 n xxn 1 1 n xx 1 的个数 k 个 1 12 1 k xxx 1 2 kn xx n 1 1 211 2 k n k nxx 个 估算 5n 1 1 1 2 51 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 2 2 2 n 题 4 对于所有实数1x 证明 22 1 1 1 2112 xx x xxxx 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 32 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 解析 1 111 2 xxx 2 1tanxxx 由 2 1 1121 11 x xxx xx 2 1 1 1 1 211 x xx xx 所以有 2 1 1 111 11 1 11 222211 x xxxxx x xx 又因为221xxx 所以有 11 1 2211 xx x xxx 11xxx 所以 22 1 1 1 2112 xx x xxxx 题 16 证明对任意实数 4 1 0 2 tt 解析 1 1t 成立 2 0t 成立 1 3 0 2 t 成立 1 4 1 2 t 2 1 0 4 tt 422 11 0 44 tttt 63 1 0 4 tt 令tt 则 3 1 0 4 tt t 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 33 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 6 1 0 2 tt t 题 13 方程 32 0 xaxbxc 的三个根为 均为实数 2 22ab 证明 2ac 解析 分析 2 0 axbxc ca xx 32 0 xaxbxc xxx a b c 2 2 2 222 2 a c 2 4 222 222 222 22 2 222 2 2 3 3 222 222 同理 1 1 解 1 1 1 abc abcabbccaabc 令 abc 1 1 1 222 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 34 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 2222 22 1 1 1 2 4 题 9 已知 222 21a b cRabcabc 求证 1 2 2 abbccaabc 解析 222 21abcabc 2 222 3 3 abcabc 2 3 3 21abcabc 2 3 321f ttt 1 0 8 f 1 8 abc 必有两个数 不大于 1 2 或不小于 1 2 1 2 a b 或 1 2 a b 11 0 22 ab 11 0 24 abab 2 41abab 224acbcabcc 21abc 222 21abcabc 2 221abcabc 2 2 1 1 1 1 abcccc 21abc 222 21abcabc 3 3 abc 2 221abcabc 222 1s abckabc 22241abbccaabc 222 21s abcs sabc 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 35 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 2 2 abbccasabc s 1s 成立 1 4 s 不成立 题 3 设 a b c 都是正实数 证明 3 2 abc bccaab 解析 令abcs 1 as sasa 同理 1 bs sbsb 1 cs scsc 3 2 abc bccaab 令 111 abc mnp 则有 3 2 nppmmn mnpmnpnmpmpn 222222 1113 2mnpm npmn pn mp mp n 类推 1 ab abab 3 2 abc bccaab 4 3 abcd bcdcadabdabc 结论 1 i xR 1 1 n i i i xn sxn 2 海伦公式 1 2 sabc 相关结论 sxyz s az tan 11 2 tan A rA zzzsar 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 36 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 3 abc sasbsc tantantan 222 aAbBcC rk zxy tantantan 222 ABC abcrk 2 sin tantantan 222 ABCsc abck abc 补 充 题 已 知 六 边 形ABCDEF AB BC CD DE EF FA 外 接 圆 半 径 为1 且 3 2 ABCDEF BEDAFC 求 S ABC 解析 111 3 abc s sasbscsasbsc 1 2 sabc 111 9s sasbsc 1 sabc k 6 abc sasbsc tan 2 rA sa 212 tan6tan6 22 SSaAA ar rabcabc 题 7 a b c d 为正数 证明 2 abcd bccdadab 解析 因为 a为最大一个 1 bd dbbd bcadcdab 2 adbc c bccd 2 bd bbdc cdab 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 37 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org acacdb bcadcdab 2 adbc bccd 题 10 设非负的实数 x y z 求证 333 0 xxyxzyyxyzzzyzx 解析 推广30t 0 ttt xxyxzyyxyzzzyzx xyz xzxyyz tt xyxyyz 当 1t 时 333 3xyzxyzxy xyyz yzzx zx 333 6xyzxyzzxyxyyzzx 333222 3xyzxyzzxyxyzxyyzzx 222 9zxyxyzxyyzzxxyzzxyxyyzzx 222 9222zxyxyzxyzzxyxyyzzx 222 9 222 xyz xyzxyyzzx xyz 令 111 xyz mnp xyzxyz xyz 1costanx 2 1 tanx 22 2 tan2 xy xy 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 38 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 2 2 1 y x y x 题 6 设 123 0 n xxxx 且满足 123 400 n xxxx 22224 123 10 n xxxx 求证 12 10 xx 解析 若证 12 10 xx 只需证 2 121 212212 223100 xxx xxxxxx 因为 22224 123 10 n xxxx 且 2 2 2 ii xxxi 2 122 n xxxx 又因为 21 400 n xxx 则原式 2 1211122 400400 xxxx xxx 4 122 10040010 xxx 12 3100 xx 成立 即 12 10 xx 成立 补充题 1 已知函数 f x 存在 a b 均为实数 f abaf bbf a 且 fxM M 为常数 求 所有函数 f x 解析 0 f xxR 下面用反证法证明 假设存在 0 x使得 0f x 取 0 0 1 1 Mx a f x 则有 00000 Mf axf xaxf af xax MM 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 39 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 矛盾 故假设不成立 补充题 2 给定 nN 010 1 2 i n a aaa 2 1 1 1 2 3 k kk a aakn n 证明 1 11 n a n 解析 2 11 11 kk kkk ana aaa nn 11kkk naana 11 11 kkk naana 11 111 kkk aana 11 111 kkk naaa 1 01 111 n k nk aana 又 2 1 1 k kk a aa n 所以 1kk aa 由此可知 11 1 nn aaa 0 所以 1 0 111 1 0 n k n aan 1 n a 且 1 0 1111 1 1 n k n aann 综上 1 11 n a n 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 40 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 数论问题选讲数论问题选讲 同余同余 知识点 0m 若m ab 称 a 与 b 模 m 同余 记为 modabm 1 同余是等价关系 自反性 对称性 传递性 2 mod modabm cdm mod acbdm acbd 3 若 mod acbdm 则 mod m ab c m 若 1c m 则 mod abm 4 mod i abm i 1 2 3 n 1 2 mod n abm m mm 5 1a m 则 1个c 使得 modcam 称c为a的倒数 mod m 0 1 2 1cm mca模 互异 camodcam 0 mod cc am m c c mod ccm 0 1 1 aama 除以 m 所得余数两两不同 余数为 0 1 2 m 1 的一个排列 其中恰有一个为 1 例题 例题 题 1 证明 11 101 1001 10001 中没有平方数 解析 2 3131nk 题 2 证明对任意正整数 n 3217 nn 不是平方数 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 41 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 解析 mod 8 33 1 mod 8 n 2 172 mod 8 n 32 173 5 mod8 nn 题 3 是否存在 4 个正整数使得其中任意两个的积都是平方数 解析 设存在这样的 4 个数 a b c d 其中 a b c d 中至少 3 个奇数 其中两个 mod 4 同余 设 mod4 ab 为奇 则1 mod4 ab 20103 mod4 ab 题 4 证明存在无穷多个正整数 n 使得 50 50 501 n n 为合数 解析 50 50 501 n n 50 1 501 n n 1 1 n 若3 n 0 n 为奇 63nk 1 可否存在 1 2 9 的一个排列 129 a aa s t 129 1 1 1aaa 两两不同 2 对 1 2 10 结论如何 1 08 i ai 0 1 2 8 i ai 19 9 2aa 9 8 7 1 5 4 6 3 2 2 若 i ai 两两不同 则 0 1 2 9 i ai 1010 11 0 mod2 45 ii ii aiai 题 5 1221 1 nnn FFFFF 证明数列 n F的任意连续十项的和是 11 的倍数 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 42 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 解析 mod11 nn FF n F 为 n F除以 11 得余数 21 mod11 nnn FFF 1 nn FF 1 1 2 3 5 8 2 10 1 n F 0 1 1 周期为 10 连续 10 项和 mod11 不变 1 1 2 3 5 8 2 10 10 mod11 题 6 1 2 n pp 是 121 1 n p pp 的最大素因数 11 在这个数列中出现吗 解析 1 2 n pp 是 121 1 n p pp 的最大素因数 则有 234 3 7 43 ppp n p与 3 7 2 互素 设11 n p 121 1 n p pp 511 0 1 121 1 n p pp 1 12 3 7 n p 3 mod4 1 mod4 11 1 为奇 mod3 1 1 1 为奇 mod7 2 1 2 42 2 216 mod7 21 2 4 mod7 n 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 43 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 题 7 已知 3 1 2 nm 求 m n 解析 当1mn 时 成立 当2n 时 3 3 m 3 27 m 27 1 2 n 当8n 时 1 2 n 1 2 8 mod 27 当28n 时 验证无解 题 8 求最小素数3p 使得不存在非负整数 a b 满足32 ab p 解析 3241 ab 3241 ab 3a 1 2 b mod 3 1 1 b mod 3 20bn 1 1 a mod 4 20am 32 32 41 mnmn 321 mn 3241 mn 321 m 矛盾 2341 ba 3b 31 mod8 a 37 mod8 a 又3 1 a 3 mod8 1 3 7 m 333 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 44 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 不妨设 10 1m 3 33 333 不妨设 33 p 33 q mod m 同余 其差 333 p q 00 为 m 的倍数 333 p q 是 m 的倍数 m3333 p q 是 m 的倍数 不是素数 题 9 求所有素数 p 使得 1 2 21 p p 是一个整数的 k k 1 次幂 p 2 1 21 2 p p 不成立 p 3 12 21 3 p p 成立 p 5 75 不成立 p 7 22 73 成立 p11 1 21 pk py 2k p y 1 21 p p 1 2 21 p 1 2 21 p 之一为 p 的倍数 11 22 21 21 pp k py 1 2 21 p k x 或 1 2 21 p k x 若 1 2 21 p k x x奇 模 4 1 k x k 奇 1 2 2 p 1 k x 12 1 1 kk x xx 1k 矛盾 1 2 21 p k x 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 45 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 2 21 p k x 1 1 1 k xx 12tx 1 2 2 p 21 1 tk 2 22 tt k 2km 1 2 2 p 1 1 mm xx 1 2 m x 1 2 2 p 3 2 7p 成立 欧拉定理欧拉定理 知识点 知识点 欧拉定理 1 2 1mm 中 与 m 互素的元素个数 定理 1 a m 则 1m a mod m 定理 m 素数 则 a m 1 1 1 m a mod m 定理 p 素数 1 1p mod p 例题 例题 题 1 P 是一个素数 0 pn 求证 1 1 nnpn mod p 解析 1 kpk mod p k 1 2 n 1 1 1 1 1 2 1 mod n npppnp 1 1 1 1 n npnp 1 mod n p 题 2 求出所有正整数对 n p 满足 P 是素数 2np 且 1 1 1 pn np 解析 n 1 时 p 为任意素数 n 1 时 p 2 1 12 n n p 2n 3p 1 1 n p 为奇 n 为奇 321np 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 46 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 令 q 为 n 最小素因数 1 1 mod n pq 2 1 1 mod n pq 设 k 是满足 1 1 mod k pq 最小正整数 引理设 1 1 m o d r pq 则 k r 证 设 01rukvvk 1 1 1 1 rkuv ppp 1 vp 0v 由引理 2 kn k n 由费马定理 1 1 1 mod q pq 由引理 1k q 2 1 kn q 1 2q 2 又12kk 2 1 1q p 2 1 1 mod pq p n 0 mod pq pq 又 n2 素数 2 mod3 p 则对 11mnp 有 33 mod mnp 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 48 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 设 t 是满足 mod rr mnp 的最小正整数 若 r 满足 mod rr mnp 则t r m o d rr mnp 1 mo d r nmp 其中1 mod n np 1 mod t tt mnn mp 反设 33 mod mnp 设 t 为满足 mod tt mnp 的最小正整数 显然 1t 又33tt 又 11 1 mod pp mnp 31t p 与2 mod3 p 矛盾 由引理 3333 0 1 2 1 mod pp 两两不同 它的 modp 为 0 1 2 p 1 的一个排列 对 给 定01yp 存 在 唯 一 0 1 2 1xp 使 得 32 1 mod xyp S 中至多 p 个元素为 p 的倍数 2323 0101321 被表示至少 2 次 S 中至多 p 1 个 p 的倍数 题 5 1221 0 1 1 nnn aaaaa 求证 若 m 6 为素数 则 1 mm m aa 解析 1221 0 1 1 nnn aaaaa 0 0a 1 nn ba 21nnn bbb 01 1bb 11 11515 225 nn n b 11 1 1 21515 5 nn n n b 清北学堂 2011 寒假数学讲义精选集 电话 电话 010 88400903 88400806 49 网址 网址 www topschool org 手机 手机 0论坛 论坛 bbs topschool org 1 352 2 11 2 1 52521 5 n nn nCCn n 为奇 m 6 为奇数 1 352 2 11 2 1 5251 5 m m mmm bmCCm 1 352 2 11 15255 m mm CC 1 2 1 5 m 1 2 22521 m mmm m b 1 2 51 mod m m 1 41 m mmmm aabb 1 510 mod m m 题 6 1 a dN a d 求证 等差数列 an d 中有无穷多项具有相同的素因数 解析 不妨设 a 1 1 mod d ad 1 d k k a na d 1 d k k an da 与 a 有相同素因数 题 7 12 2pp 为素数 12 1m p p 求证 12 pp 12 pp mm 解析 当 12 pp 时 成立 不妨设 12 pp 只需证 12 pp 12 1