高考数学总复习 7.7立体几何的向量方法(理)提高分课时作业（含模拟题） 新人教A版.doc

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 7.7立体几何的向量方法(理)（含2013年模拟题）【考点排查表】难度及题号错题记录考查考点及角度基础中档稍难平行、垂直问题1711线线角、线面角46,813二面角及距离2,35,910,12一、选择题1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1上的动点，则直线no、am的位置关系是()a平行b相交c异面垂直 d异面不垂直【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线no、am的位置关系是异面垂直【答案】c2已知在长方体abcda1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离是()a. b.c. d.【解析】如图，建立坐标系dxyz，则a1(2,0,4)，a(2,0,0)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)，1(2,0,4)，1(0,2,4)，1(0,0,4)，设平面ab1d1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点a1到平面ab1d1的距离为d，则d.【答案】c3如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a. b.c2 d.【解析】如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，1(0,2,2)，设平面b1cd的一个法向量为m(x，y，z)则令z1，得m(a,1，1)，又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos 60，得，即a，故ad.【答案】a4在三棱柱abca1b1c1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点d是侧面bb1c1c的中心，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是()a30 b45c60 d90【解析】建立坐标系如图，设棱长为2，设ad与面bb1c1c所成角为，c(0,1,0)，d(0,0,1)，a(，0,0)则平面bb1c1c的一个法向量为n(1,0,0)，(，0,1)；cos，n，sin ，60.【答案】c5已知直角abc中，c90，b30，ab4，d为ab的中点，沿中线将acd折起使得ab，则二面角acdb的大小为()a60 b90c120 d150【解析】取cd中点e，在平面bcd内过b点作bfcd，交cd延长线于f.据题意知aecd，aebf，ef2，ab.且，为二面角的平面角，由()2得1333423cos，cos，120.即所求的二面角为120.【答案】c6如图，设动点p在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上，记.当apc为钝角时，则的取值范围是()a0， b0，c.，1 d.，1【解析】由题设可知，以、1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)由(1,1，1)得(，)，所以1(，)(1,0，1)(1，1)，1(，)(0,1，1)(，1，1)显然apc不是平角，所以apc为钝角等价于cosapccos，0，这等价于0，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得1.因此，的取值范围为，1.【答案】d二、填空题7已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为_【解析】由题知：，可得：即：解得：x，y，z4.【答案】，48已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上当apc最大时，三棱锥pabc的体积为_【解析】以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设1，可得p(，)，再由cosapc可求得当时，apc最大，故vpabc11.【答案】9如图，在直三棱柱abca1b1c1中，aa1bcab2，abbc，则二面角b1a1cc1的大小为_【解析】如图，建立空间直角坐标系则a(2,0,0)，c(0,2,0)，a1(2,0,2)，b1(0,0,2)，c1(0,2,2)，设ac的中点为m，bmac，bmcc1.bm平面a1c1c，即b(1,1,0)是平面a1c1c的一个法向量设平面a1b1c的一个法向量是n(x，y，z)(2,2，2)，(2,0,0)，令z1，解得x0，y1.n(0,1,1)，设法向量n与b的夹角为，二面角b1a1cc1的大小为，显然为锐角 cos |cos |，解得.二面角b1a1cc1的大小为.【答案】三、解答题10(2012全国新课标高考)如图，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd.(1)证明：dc1bc；(2)求二面角a1bdc1的大小【解】(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc.而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.因为bc平面bcd，所以dc1bc.(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1a1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，1(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m(x，y，z)是平面c1bd的法向量，则即可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角a1bdc1的大小为30.11(2012浙江高考)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值【解】(1)证明：连接bd，因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是pbd的中位线，所以mnbd.又因为mn平面abcd，bd平面abcd，所以mn平面abcd.(2)连接ac交bd于o，以o为原点，oc，od所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示在菱形abcd中，bad120，得acab2，bdab6.又因为pa平面abcd，所以paac.在直角pac中，ac2，pa2，aqpc，得qc2，pq4.由此知各点坐标如下：a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m，n，q，0，.设m(x，y，z)为平面amn的法向量，由，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量，由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.12.(2012辽宁高考)如图，直三棱柱abcabc，bac90，abacaa，点m，n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平面aacc；(2)若二面角amnc为直二面角，求的值【解】(1)证明法一：连接ab，ac，由已知bac90，abac，三棱柱abcabc为直三棱柱，所以m为ab的中点又因为n为bc的中点，所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.法二：取ab的中点p，连接mp，np.而m，n分别为ab与bc的中点，所以mpaa，pnac，所以mp平面aacc，pn平面aacc.又mpnpp，因此平面mpn平面aacc.而mn平面mpn，所以mn平面aacc.(2)以a为坐标原点，分别以直线ab，ac，aa为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系oxyz，如图所示设aa1，则abac，于是a(0,0,0)，b(，0,0)，c(0，0)，a(0,0,1)，b(，0,1)，c(0，1)，所以m，n.设m(x1，y1，z1)是平面amn的法向量，由得可得m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面mnc的法向量，由得可取n(3，1，)因为amnc为直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得(负值舍去)四、选做题13(2012四川高考)如图，在三棱锥pabc中，apb90，pab60，abbcca，平面pab平面abc.(1)求直线pc与平面abc所成的角的正切值；(2)求二面角bapc的余弦值【解】法一：(1)如图，设ab的中点为d，ad的中点为o，连接po、pd、co、cd.由已知，pad为等边三角形，所以poad.又平面pab平面abc，平面pab平面abcad，所以po平面abc.所以ocp为直线pc与平面abc所成的角不妨设ab4，则pd2，cd2，od1，po.在rtocd中，co.所以，在rtpoc中，tanocp.故直线pc与平面abc所成的角的正切值为.(2)过d作deap于e，连接ce.由已知可得，cd平面pab.根据三垂线定理知，cepa.所以ced为二面角bapc的平面角由(1)知，de.在rtcde中，tanced2，易求cosced.所以，二面角bapc的余弦值为.法二：(1)如图，设ab的中点为d，作poab于点o，连接cd.因为平面pab平面abc，平面pab平面abcad，所以po平面abc.所以pocd.由abbcca，知cdab.设e为ac的中点，则eocd，从而oepo，oeab.如图，以o为坐标原点，ob、oe、op所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系oxyz.不妨设pa2，由已知可得，ab4，oaod1，op，cd2.所以o(0,0,0)，a(1,0,0)，c(1,2，0)，p(0,0，