构造函数或构造方程解决有关问题.doc

高中数学专题复习一函数与方程思想第二节 构造函数或构造方程解决有关问题如果给出的问题本质上是关于函数的理论或符合方程的某些特点,可考虑构造一个辅助函数或一个方程,把问题转化为函数或方程的研究,从而使问题获得解决.一、求值例1设x，y为实数，且满足，则_。解：由已知条件，可得：故若设，则上述条件即为：。又易知函数在R上是单调增函数，所以由上式有：，即：。二、解方程例2解方程。解：原方程变为：。设，则原方程即为：，又，从而原方程即为：。又易知函数在R上单调递增，所以有，解得原方程的解为：。三、求最值例3已知点B（0，6），C（0，2），试在x轴正半轴上求一点A，使得BAC最大。解：设A（a，0），则a0，BAC=，易知。因为，所以。又因为a0所以。所以，当且仅当时有最大值为。又函数在（0，）上是单调递增的，所以的最大值为。即BAC的最大值为，此时A（，0）。四、比较大小例4已知a1，且，试比较的大小。解：由条件得：。引入函数，则上式即为：。易知函数在（0，+）上是增函数，所以。例5设，试比较a、b的大小。解析：如果比较与0或与1的大小，即作差法、作商法来做较繁杂不易判断由于a、b两数的结构特点可构造函数，则a=f(33)，b=f(34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小。3x+1在R上递增，在R上递减 在R上递减 f(33)f(34)，即ab五、证明不等式例6设：a、b、cR，证明：成立，并指出等号何时成立。解析：令 b、cR，0即：，恒成立。当0时，此时，时，不等式取等号。例7已知，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析：t，8，f(t)，3原题转化为：0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x2时，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3问题转化为g(m)在m，3上恒对于0，则：；解得：x2或x1例8.设 a1、a2、an 为任意正数，证明对任意正整数n不等式(a1 + a2 + + an)2 n ( a12 + a22 + + an2 )均成立简析与证明：原不等式即为 4 (a1 + a2 + + an)24n ( a12 + a22 + + an2 ) 0由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：( a12 + a22 + + an2 ) x 2 + 2 (a1 + a2 + + an ) x + n=0（）因方程左边 (a1 x + 1)2 + (a2 x + 1)2 + (an x + 1)2 0当a1、a2、an不全相等时，a1 x+1、a2 x+1、an x+1至少有一个不为0，方程（）左边恒为正数，方程（）显然无解。当a1a2an 时，方程（）有唯一解 x故4 ( a1 + a2 + + an )2 4n ( a12 + a22 + + an2 ) 0即(a1 + a2 + +an )2 n ( a12 + a22 + + an2 ) 对任意正整数n均成立六、求参数范围例9.关于n的不等式对一切大于1的自然数都成立，试求实数a的取值范围。解：设。因为所以是关于n的单调增函数且当时，故而要使对一切，nN恒成立，则需且只需，即成立即可。所以，解得：。故所求a的取值范围为。【专题小结】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、