内积空间的基本概念.doc

第四章空间一内积空间的基本概念设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足1） ；0，当且仅当；2） ；3） ；4） ；称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。定理1.1设是内积空间，则对任意有：。设是内积空间，对任意，命则是上的一个范数。例设是区间上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意，定义则与类似，是一个内积，由内积产生的范数为上一个内积介不是空间。定理1.2设是内积空间，则内积是的连续函数，即时，。定理1.3设是内积空间，对任意，有以下关系式成立，1） 平行四边形法则：2；2） 极化恒等式：（定理1.4设是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在中定义一个内积，使得由它产生的范数正是中原来的范数。二正交性，正交系1 正交性设是内积空间，如果，称与正交，记为。设是的任意子集，如果与中每一元正交，称与正交，记为；如果是中两个子集，对于任意，称与正交，记。设是的子集，所有中与正交的元的全体称为的正交补，记为。定理2.1设是内积空间1） 如果，且，则；2） 如果是的一个稠密子集，即，并且，则；3） 是的任意子集，则是的闭子空间。定理2.2设是内积空间中的完备凸集，则对任意，存在，使得定理2.3（正交分解）设是空间的闭子空间，则对任意，存在唯一的及，使得2 正交系设，是内积空间中的子集，如果时，称,是中的一个正交系。设,是一个正交系，如果对每一上，,称,是一个标准正交系。设，是的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间，称,是的正交基。定理2.4设是内积空间中的标准正交系，是个数，则当且当仅时，取最小值。定理2.5（不等式）设是内积空间中的标准正交系，则对任意，有定理2.6设是内积空间中的一个标准正交系，则是完备的，当且仅当张成的子空间在中稠密。定理2.7设是空间，是中的标准正交系，则是完备的，当且仅当是完全的。定理2.8设是空间，是中的标准正交系，则存在，使得并且定理2.9（正交化定理）设是内积空间中的可数子集，则在中存在标准正交系，使得与张成的子空间相同。3 可分空间的同构定理2.10设是任一可分的无穷维的空间，则存在上到同构映射，且保持内积。这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式” 三表示定理，空间的共轭空间1 表示定理定理3.1（表示定理）设是空间，是上任意有界线性泛函，则存在唯一的，使得对于每一个，有，并且有。2空间的共轭空间设是空间，于是对任意，易见是上的一个有界线性泛函，因此由表示定理，存在唯一的，使得（1）定义。定义设是空间，把（1）式确定的有界线性算子称为的共轭算子。注意区别第三章第四节中定义上的有界线性算子的共轭算子。以后说到空间上的有界算子的共轭算子均指（1）定义的算子，并且把它记为，即的共轭算子是由下式定义的算子：。定义设是空间，是上的有界线性算子，如果，即对任意则称是自共轭算子。设是空间的有界共轭算子，以下是算子的一些简单性质。1） 对任意，是实的。2）3） 算子的特征值是实的。4） 对应于算子的不同特征值的特征向量是正交的。四空间中的自共轭紧算子引理4.1设是空间，是上的有界共轭算子，如果存在，使得泛函在点达到极大，则由可推出0。定理4.2