平方差公式教学设计 .doc

平方差公式教学设计佟晓东 山海关第二中学 初二年级一、教学理念：新课程标准中明确指出：数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习所教班级的学生学习基础较好，理解和接受能力较强，而且有较强的求知欲，本节课是根据学生的这一特点而设计.二、教材分析本节课的主要内容是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用.它是在学生已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和创造性应用；是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的第一种归纳、总结；是从一般到特殊的认识过程的范例.它应用十分广泛，通过乘法公式的学习，可以丰富教学内容，开拓学生视野.更是今后学习因式公解、分式运算及其它代数式变形的重要基础.三、教学目标：1、知识目标：使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算。2、能力目标：使学生掌握平方差公式的一些应用。3、德育目标：注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力。4、情感目标: 让学生在民主,和谐的共同学习过程中感受学习的乐趣.四、教学重点：1、平方差公式的应用.2、学生能力的培养.五、教学难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式。六、教学方法：根据创新教育、主体教育以及建构主义的数学教育观,为了激发学生的主体意识，面向全体学生, 使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养，本节课采用自主探究，讲练结合的教学方法。遵循“先学后导，先练后讲”的原则，让学生在寻求解决问题方法的尝试过程中获得自信和体验成功，以激发学习兴趣。具体操作主要由教师提供资源，创设情景，引导学生主动参与，自主进行问题的探究学习。其中“创设情景,提出问题”是前提,“自主探究,教师点拨”是核心,“质疑反思,深化提高”是升华。七、教学准备：多媒体课件八、学具准备:自主学习提纲、刻度尺、方格纸、剪刀、作业纸九、教学流程：活动1、创设问题情境，引入新课活动2、复习多项式乘法法则活动3、合作探究平方差公式活动4、平方差公式的几何论证活动5、探索平方差公式应用的条件活动6、平方差公式的交流活动7、平方差公式的应用活动8、小结本节课知识活动9、创新提升十、教与学互动设计：（一）活动1、创设问题情境，引入新课猜一猜：（1）在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字（10以内）（2）计算100与这个数的和，乘以100与这个数的差的积（屏幕打出，给学生半分钟思考、计算的时间）师：同学们算得很投入，只要告诉我，你运算的结果，我就能马上说出你的幸运数字是几，信吗？并请两位学生来试验师：等我们学了今天的知识以后，大家也能像老师一样，马上猜出其他同学的幸运数字了设计意图通过游戏使学生产生对新知识的强烈求知欲在游戏的过程中，学生的思维是活跃的，注意力是高度集中状态，在游戏中能让学生获得知识，发展能力，提高学习兴趣（二）活动2：复习多项式乘法法则1、师：还记得多项式的乘法吗？哪位同学愿意说一说呢？屏幕展示(a+b)(m+n)=？ （学生回答）(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn教师叙述并屏幕展示“多项式乘以多项式的法则” 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。设计意图以复习多项式乘法计算法则作为引入，诱导学生探索引出下阶段的教学。2.师 ：好，下面让我们运用多项式的乘法来进行计算以下几道题：（如果有同类项进行合并）。请同学们拿出学习提纲（一）（三）活动3、合作探究平方差公式完成自主学习提纲（一）屏幕展示：我会很快做好。组内讨论，交流体会。选代表发言，交流讨论结果。（1） (x+1)(x-1)=_ x2-1 =( x )2-( 1 )2（2）(1+3a)(1-3a)=_ 1-9a2 =( 1 )2-( 3a )2（3）(m+5n)(m-5n)= m2-25n2 = ( m)2-( 25n )2（4）(3y+z)(3y-z)=_ 9y2-z2 =( 3y )2-( z )21、【议一议】它们的结果有什么共同点？（答：平方差的形式）2、【议一议】算式有什么特点？（两个数的和乘以两个数的差）3、【猜一猜】（a+b）（a-b）=？_答： a2-b2 你能验证你的猜想是正确的吗?【做一做】将a,b取一些具体数值检验，看猜想是否成立。【归 纳】试一试用语言文字表述你的发现。（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。）选一个学生上黑板用语言写出本节所需要的结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。设计意图在这设计过程中，充分考虑发挥的学生主体作用。学生练习：一使学生进入状态，二巩固以前所学知识，三引入今天学习内容。这节课的主题两数和与两数差的积等于两数的平方差及其特点，由学生发现得出结论。在这过程中，学生一方面要动用他全部的知识经验；另一方面，要运用许多思维操作，如比较、类比、观察、想象、分析、综合等等。师：在多项式与多项式相乘时，有时每个多项式很有规律，它的结果也很特殊，（如刚才我们探究过的这几道题），等式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，等式的右边是这两个数先平方在相减。这就是我们今天要学习的平方差公式 板书：平方差公式（黑板中间）师：平方差公式的字母表达式为(a+b)(a-b)=a2-b2 教师板书(a+b)(a-b)=a2-b2 师：那位同学愿意再准确的语言表述一下这个表达式的意义？ （两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。）师：非常好。师板书强调重点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这两个数变没变？（三）活动4、平方差公式的几何论证师：这个平方差公式，也可以从几何图形的角度进行验证，想试一试吗？ 活动探究：学生动手剪拼并简述过程和结果。 在一个边长为a正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，并请用等式来表示你剪拼前后的图形的面积关系（ab0）。 师：请同学们拿出准备好的正方形纸片，在这张纸片上剪去一个小正方形，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，请用代数式表示出剩余部分的面积。（学生按教师要求进行操作和计算）师：剩余部分的面积怎样表示？ 生：求剩余部分的面积应用大正方形的面积减去小正方形的面积，是a2-b2。师：我们还可以关注一下，对于这个正方形剩余部分的面积，我们还可以有什么样的表示方法呢？如果 我们把这个多余的部分的面积给他拼接一下，可以看到什么现象呢？（学生动手操作，可以讨论）生：剪掉多余部分的面积，之后，拼接到a的右边（或左边）那么就组成了长方形，这个长方形的长是a+b，宽是a-b，所以这个长方形的面积，也就是这个剩余部分的面积还可以表达成（a+b）（a-b）师：很好，还有别的方法表示吗？生：我把剩余的图形沿原大正方形的对角线剪开，然后把剪开的两个图形拼成了一个长方形，拼出的长方形长是（ab），宽是（ab），因此剩余部分的面积可表示为（a+b）（a-b）。师：非常好，请把你的做法贴到黑板上。生：我和他的剪法一样，但拼法不一样，我把剪开的两个图形拼成了一个平行四边形，拼出的平行四边形底是（ab），高是（ab），剩余部分的面积也可表示为（a+b）（a-b）。师：把你的做法贴到黑板上好吗？生：还可以把剪开的两个图形拼成等腰梯形，上底是2b，下底是2a，高是（ab），剩余部分的面积表示为（2a+2b）（a-b）/2，即（a+b）（a-b）。师：请你也贴到黑板上。师：你们真棒，剪法都很有创意，我能把不规则的图形通过剪、拼转化成了规则图形，并求出面积，这种转化的思想在数学学习中会经常用到，我们要领会它的作用。师：我们用各种不同的剪拼方法得出了在大正方形中减去小正方形后，剩余部分的面积都可以表示为（a+b）（a-b）。再想想，它与a2b2有怎样的关系？生：（a+b）（a-b）=a2-b2。师屏幕展示并小结：同学们小手灵巧，头脑聪明，通过切割拼接，再次验证了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2即：这两个数的和与着两个数的差的积，等于这两个数的平方差。设计意图学生运用正方形纸片进行动手操作试验，分组讨论，教师指导学生观察，讲解，分析，并用多媒体演示平方差公式的形成过程。通过安排学生动手操作，上台展示，一是提高兴趣，二是消除疲劳。将抽象的平方差公式作了具体化的呈现，加深了对公式的理解。体会了数形结合的思想。直观演示的形象性，鲜明性克服了数学的抽象性，化枯燥为乐趣。（四）活动5、探索平方差公式应用的条件完成学习提纲（二）【想一想】下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式？哪些不能用？(1)(2x-3y)(3y-2x) (2)(-2x+3y)(2x+3y) (3)(2x-3y)(2x-3y) (4)(2x+3y)(2x-3y) 【议一议】为什么（1）（3）不能用？为什么（2）（4）能用？ 指导学生发现公式的特点：师：在运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，怎样才能对号入座不出错呢？下面我们一起来概括一下平方差公式应用的条件，好吗？等号左边等号右边1、 两个数的和乘以两个数的差，【即是 两个二项式相乘】，2、 在这两个二项式相乘中有一项（a）完全相同，另一项（b与-b）互为相反数。 这两个数的平方差。a2-b2【即完全相同项的平方减去互为相反项的平方】公式中的a和b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式、多项式等代数式。 例如( 2x + 3y ) ( 2x - 3y ) a b a b师小结：我们学了平方差公式就能简化我们计算题中的一些过程，所以对于形如两数和与两数差相乘的这样的形式，我们就可以运用上述的平方差公式来计算。设计意图认识平方差公式的特点，平方差公式的左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式（五）活动6、平方差公式的交流师：你理解平方差公式的特征了吗？下面我们就来做下面的题。问题1屏幕展示：按要求填写下列表格：算式与平方差公式中a对应的项与平方差公式中b对应的项写成“a2-b2”的形式计算结果（x+y）(x-y)（m+3）(m-3)（2x+1(2x-1)（-3x+y(-3x-y)问题2. 你能运用刚才的规律，口答下列各题吗？(l)(-a+b)(a+b)= b2-a2 (2)(a-b)(b+a) = a2-b2 (3)(-a-b)(-a+b)= _ a2-b2_(4)(a-b)(-a-b) = _b2-a2_师：这些运算都可以通过变形后利用平方差公式其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想（六）活动7、平方差公式的应用1、想好再做 自学例题1下列习题,你能用公式来计算吗? 同学们在作业纸上完成。找同学板演。共同订正答案10（1）（2x+y）(2x-y)(2) （ +5y）（-5y） (3) （-5a+3b）(-5a-3b) (4) （m+n）(n-m)2、知识拓展,提高能力 师：知道1002 是多少吗？生：10000（很快齐答）师：那么99101的多少呢？生：10000-1=9999（思考几秒钟，又个别学生能回答）师：你做的真快，能说说你是怎么想的么？生：把99101改写成（100-1）（100+1）利用平方差公式求得。你的方法很好。师：老师就是用这种方法，猜出大家幸运数字是多少的。那么学习了平方差公式会有什么收获呢？生：利用平方差公式可以使计算更加简便。师：同学们真聪明，领会知识真快啊！你会用今天的知识完成下列计算吗？（学生在练习纸上做，两名同学板演，教师巡视、指导）屏幕订正。自学例题2（1）98102解：原式=（100-2）（100+2） =1002-22 =10000-4 =9996（2）19.520.5解：原式=（20-0.5）（20+0.5） =202-0.52 =400-0.25 =399.7设计意图先让学生练习，然后分组交流，接着选一名同学讲解各题方法。平方差公式由于省略了计算过程，所以相当简洁通过练习巩固，让学生在计算的过程中，进一步体验公式的简洁性为满足学生的表现欲，选一名同学上台讲解一题，其它题再做练习。启发提问：要运用平方差公式进行简便运算，就要变为两数的和与这两数的积的形式，关键是找到这两个数。（七）活动8、小结本节课知识师：哪位同学想说一说，这节课你有哪些收获？1.知道了什么是平方差公式，也掌握了用平方差公式可以使计算很简便。语言表述平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差。2.应用平方差公式 时要注意一些什么？（1） 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出符号相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式：相同项的平方减去互为相反项的平方。（2）有些式子表面不能应用公式，但实质是能应用公式，要注意变形,归纳易错的地方。（3）指出公式中的a、b可以代表数字、字母，还可以代表式子。设计意图教师提出问题，这节课你学到了什么？先分组交流，然后选代表发言，其余记录。这样有利于人人参与，克服一节课下来，注意力不集中的毛病，同时通过学生的思考，可以提高学生归纳和创新思维能力。（八）活动9、创新提升一、思考：在横线上填上适当的代数式，使它能用平方差公式进行计算： （2a3b） （2a-3b） 横线上还可以填 （-2a3b）、（3b-2a）、（-3b+2a）（2a3b） (2a+3b) 横线上还可以填 （-2a-3b）、（-3b-2a）、（3b+2a）设计意图1.进一步认识公式结构特点;2.因每题有多个答案，培养学生开放性思维. 二、判断正误：根据学生的回答，教师强调指出，运用平方差公式时应注意：(l)判断两个二项式相乘能否利用平方差公式计算的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差；(2)结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；(3)必须注意系数、指数的变化，还要注意字母的不同。一培养细心能力，二突破难点）三、仔细填一填 反向思维训练(1) (x+3)( X-3 )=x2-9(2) (-1-2x)( 2x-1)=1-4x2(3) ( -1+y )(-y-1)=1-y2(4) ( m+n )( n-m )=n2-m2(5) (-3a2+2b2)(-3a2-2b2 )=9a4-4b4设计意图在理解公式结构特征的同时，锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫 四、编一编师：以上大家做得非常好,那么,能根据你的理解编几道利用平方差公式求解的题吗? 生：能.(大部分学生回答，很多学生跃跃欲试.) 师：试试看. （学生以小组为单位对答,相互评价. 师：同学们还有什么问题吗? 设计意图教师给学生充足的时间和空间, 由浅入深,创造性地自主学习和探究.提出问题和思考问题,充分体现学生的主体地位.五、速算pk（九）布置作业：小试牛刀，挑战自我。1.计算：（1）（2x+y）（2x-y） （2）（）（）（3）（b3+3a2）（3a2-b3） （4） （0.2a+0.7b2）（0.7b2-0.2a）2.在下列括号中填上合适的多项式：（1）( 5x+2y )( )=25x2-4y2（2）( )( )=81-a23.看谁算得快：0.652-0.352 2019（十）课后反思：教学创新点： 1.创设情境，诱发主动。 通过游戏使学生产生对新知识的强烈求知欲在游戏的过程中，学生的思维是活跃的，注意力是高度集中状态，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。2.动手操作。组织开展动手操作实验。让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战、勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质.通过学生动手操作，实物演示，媒体演示，将抽象的平方差公式作了具体化的呈现，加深了对公式