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第一章 矢量分析第一章 矢量分析1 场的概念一. 矢量与标量1.概念 标量 实数域内只有大小的量。如：电压、温度、时间、电荷等。 矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。如：力、电场强度、磁场强度、速度等。常矢：矢量的模和方向都不变。如：、。变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。如：、。 物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。2.矢量的表示 印刷 黑体 A；A(白体)表示的模。 手写 模和方向均表示出。 表示的方向(模为1)。A表示矢量的模。 零矢（空矢）：模为零的矢量。 单位矢量：模为1的矢量。如直角坐标系坐标轴方向、（参考书）。也有用、或、或 、 等表示。若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。如直角坐标系中，矢量 的三个分量模值分别是Ax , Ay , Az，则直角坐标系：的模为 的单位矢量为 K 判断以下手写表示是否正确： （矢量标量） （标量矢量） L 常见手写表示错误：二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系： 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： 叉乘 平行 垂直注意： 叉乘不符合交换律：三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。“场”是一个函数，描述空间一定区域所有点的一个物理量。2.场的分类a.矢量场与标量场物理量为矢量矢量场。如：万有引力(重力)场、电场。物理量为标量标量场。如：温度场、压力场、电位场。b.静态场与时变场物理量与时间无关静态场。如：静电场。物理量与时间有关时变场或动态场。如：时变电磁场。3.标量场的等值面和矢量场的矢量线a.标量场的等值面 等值面（线） 标量场 中 的所有点组成的曲面(线)。 等温面：温度场中温度相同的所有点组成的面。 等位面：电场中电位相同的所有点组成的面，二维空间为等位线。b.矢量场的矢量线矢量场 可用矢量线形象表示矢量 的空间分布。如电场(力)线、磁场(力)线。 矢量线 曲线上的每一点的切线方向为该点的矢量 的方向；矢量线的疏密正比于场的大小。2 标量场的方向导数和梯度一仅用大小就可以表征的场为标量场。标量场 可以用一个标量函数来表示(直角坐标系)。 为考察标量场在空间的分布引入等值面。令标量场 的等值面，C为任意常数。随着C的取值不同， 得到一系列不同的等值面。为考察标量场在空间的变化规律引入方向导数和梯度。如电位 的变化决定了场强 。一.标量场的方向导数1.方向导数设M0是标量场=(M)中一点，沿l方向邻近M0取一点M，MM0=l。若当M趋于M0时(即l趋于零时)， 的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数。 方向导数说明：方向导数是函数(M)在一点处沿某一方向对距离的变化率。沿l方向增加； 沿l方向减小。2.方向导数的计算公式若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，则 为l0时的高阶无穷小cos、cos、cos为l的方向余弦，当l0时，上式的极限值为(为高阶无穷小)：（方向导数的计算公式）二.梯度方向导数解决了函数= (M)在给定点处沿某个方向的变化率问题； 但场中沿给定点的不同方向，函数的变化率一般是不同的。函数在哪个方向上变化率最大？为此定义一个矢量！1.梯度方向：函数在点P处变化率为最大的方向。大小：最大变化率的值。矢量 ，称为函数在点P处的梯度。 记为： 且2.梯度的表达式（直角坐标系） 方向导数记矢量： ； 的单位向量。 则 J 在 上的投影就是 方向的方向导数。J 梯度的计算公式（表达式）：理解： 的模 就是在P点的最大变化率； 的方向就是变化率最大的方向。3.哈密顿算子为了方便，引入一矢性微分算子： 哈密顿算子，读作“del(德尔)”。兼有矢量和微分运算双重作用。在直角坐标系中有： 梯度用哈密顿算子的表达式为： 4.梯度的性质梯度与等值面、方向导数均有关系，是标量场的一个重要矢量。a.梯度为矢量 方向：变化率最大的方向。大小：最大变化率的值。b.梯度与方向导数的关系 方向导数等于梯度在该方向的投影，由梯度计算方向导数。c.梯度垂直与等值面 即某点的梯度的方向为过该点等值面的法向矢量的方向。5.梯度的运算法则设c为一常数，u和v为标量函数，则有 例1 P点为场点，位置矢量为 ；P点为源点，位置矢量为 。场点P(x, y, z)与源点P(x, y,z)间的距离为R，即 证明： 其中表示对场源 (带撇坐标x, y, z)作微分运算；即将P(场点)取为定点，P(源点)视为动点，对源点坐标作微分运算； 对场点 (x, y, z)作微分运算。证： 则所以 成立。 例2 在由点电荷q产生的静电场中，已知P(x,y,z)点的电位为： 其中 ，求P点的电位梯度。 解： 由例1 得所以另外，已知点电荷q的电场强度比较有 J 电位与场强的微分关系！3 矢量场的通量和散度 一.矢量场的通量 面元法向方向的单位矢量。 面元矢量 面元大小。 矢量场 穿过 的通量 面元很小，可认为面元上矢量场在各点的值相同， 与面元的标量积称为矢量场穿过的通量。 矢量场穿过整个曲面S的通量如果曲面是一个封闭曲面，则闭合曲面的法线方向为外法线方向。 J 说明：a. 通量是标量。b. 封闭曲面： 有净流量流出，S面内有“源”。正电荷负电荷 有净流量流入，S面内有“负源”。如电通量： 通量反映闭合曲面包围的(通量)源的性质和大小。通量联系通量源！二.矢量场的散度通量说明的是一个有限(大)范围面积的积分量，反映该面积包围的空间（体积）中场源总的特性，未反映出场源分布的特性，即空间中每一点上源的特性。为此引入散度！1.矢量场的散度设有矢量场，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S，设S所限定的体积为V，当体积V以任意方式缩向P点时， 取下列极限： 如果该式的极限存在，则称此极限为矢量场在点P处的散度，记作：J 说明：a. 散度的意义：通量体密度，即从P 点处单位体积中散发出的通量。b. 的散度是标量。c.无源区(通量源)： 称此场为无散场或管形场。2.散度的表达式 哈密顿算子与矢量的标量积(点乘)，结果为标量。 直角坐标系：J 梯度的计算公式（直角坐标系）：3.散度的运算规则4.散度定理J 说明：a. 对上述定理的理解： ： 的通量体密度，即单位体积散发出的通量。 ：体积V中散发出的通量。 ：穿过闭合曲面S的通量。两者为同一物理量！b. 利用散度定理： 由高斯定理： 积分形式高斯定理；由场源 求场量 的分布！ 比较得 微分形式高斯定理；由场量 求场源 的分布！J 散度 联系(通量)源！c. 可将曲面积分 转化为 体积分，有时可以简化计算。4 矢量场的环量和旋度在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 一.矢量场的环量 矢量 沿某闭合曲线 的线积分，称为 沿该曲线的环量。J 说明： a.矢量的环量为标量。b.环量反映矢量场特性。环量不为零，闭合曲线内有存在另一种源：旋涡源 通量不为零闭合曲面中有通量源，如： 安培环路定律 如： 高斯定理电流为激发磁场的旋涡源！ 电荷为激发电场的通量源！环量联系旋涡源！ 通量联系通量源！矢量的环量和矢量的通量一样，都是描绘矢量场性质的重要物理量，同样也都是积分量。环量说明的是一有限(大)闭合曲线的线积分，反映闭合曲线内旋涡源的分布情况，为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入矢量场旋度。二.矢量场的旋度1.环量面密度闭合曲线 向P点收缩，其包围的面积S趋于零。 极限值的意义：环量面密度。K 不用环量面密度表示某点场的性质，因为当面元S的方向 不同时， 也不同。2.矢量场的旋度J 说明：a. 为矢量。 大小：最大环量面密度。方向：取最大环量面密度时的面元方向。b. 描述该点出处漩涡源的强度。 对映 描述通量源的强度。c. 无旋场或保守场。 无散场或管形场。3.旋度的表达式 哈密顿算子与矢量的矢量积（叉乘），结果为矢量。 直角坐标系：4.旋度的运算规则 拉普拉斯算子： 标量算子！ 直角坐标系： 矢量算子！如： 仍为矢量而 变为标量5.斯托克斯定理J 说明：a. ： 的最大环量面密度，即单位面积的环量。 ： 在闭合曲线 包围的面积S的环量。 两者为同一物理量！ ： 在闭合曲线 上的环量。 对上述定理的理解。 b.利用斯托克斯定理由安培环路定律和 斯托克斯定理： 微分形式安培环路定律；可由场量 求场源的分布！J 旋度 联系(旋)源！ 对映 联系通量源。 5 圆柱坐标系与球坐标系 两种常见的曲面（正交）坐标系。实际应用中，有时采用柱坐标系或球坐标系能使问题的分析更简洁、明了。一.圆柱坐标系 任一点P的位置由、z表示。变化范围： P (、z)点的三个坐标单位向量为：、 、 、，指向各自增大的方向。 其中 、 为变矢量， 为常矢量。 且三者保持正交： 矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示： P 点的位置矢量： 任一点P沿、z方向的长度增量： 与三个单位矢量相垂直的三个面积元： 体积元：J 哈密顿微分算子的表示式： J 拉普拉斯微分算子2的表示式： 注意： 原因:原因: 、 均为变矢量。二.球面坐标系 任一点P的位置由r、 、表示。变化范围： P (r、 、)点的三个坐标单位向量为：、 、 、，指向各自增大的方向。且三者保持正交： 矢量 在球坐标系中可用三个分量表示： P 点的位置矢量： 任一点P沿r、 、方向的长度增量：与三个单位矢量相垂直的三个面积元： 体积元：J 哈密顿微分算子的表示式： J 拉普拉斯微分算子2的表示式： 三. 梯度、散度、旋度和拉普拉斯运算在三种坐标系中的表示 梯度 散度 旋度 拉普拉斯算子 哈密顿算符在三种坐标系中的表示 直角坐标系： 圆柱坐标系： 球面坐标系：J 三种坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯运算公式见附录一。不同坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子表达式不同，要依据或的表达式判断坐标系，选择合适的坐标系形式。 6 亥姆霍兹定理标量场的梯度，矢量场的散度和旋度都是场的重要度量。标量场的梯度可说明标量场的性质：某场点处标量场变化率的最大值及方向。矢量场的散度和旋度与场的关系由亥姆霍兹定理表述。J 本节讨论亥姆霍兹定理。一.散度和旋度的比较 散度 （直角坐标系） 旋度 a. 标量。 量矢。b. 场点通量源强度的量度：通量体密度。 场点旋涡源强度的量度：最大环量面密度。c. 由场分量沿各自方向上的变化率决定。 由场分量在与之正交上的变化率决定。总之，散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系；旋度表示矢量场中各点的场与旋涡源的关系。而一旦散度和旋度给定，则通量源与旋涡源都确定了。二.亥姆霍兹定理若矢量场 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由