第18、19、22章量子论.doc

教学内容：（1）黑体辐射现象，普朗克能量子假设；（2）光电效应；光子概念、爱因斯坦的光电效应方程；（3）光子和自由电子相互作用的康普顿效应；（4）光的波粒二象性。重点难点：光的波粒二象性基本要求：理解光子概念、爱因斯坦方程、光的波粒二象性。第十九章 量子物理引言：从经典物理到现代物理一、物理学的分支及发展的总趋势物理学经典物理力学、热学、电磁学、光学；现代物理相对论、量子论、非线性物理学；二、关键概念的发展历史三、近年来的发展1. 粒子物理高能加速器产生新粒子，已发现300种。麦克斯韦理论、狄拉克量子电动力学、规范场理论、重整化方法。2. 天体物理运用物理学实验方法和理论对宇宙各种星球进行观测和研究，从而得出相应的天文规律的学科。应用经典、量子、广义相对论、等离子体物理和粒子物理。太阳中微子短缺问题；引力波存在的问题；物体的速度能否超过光速的问题；3. 生物物理有机体遗传程序的研究有机体遗传程序的研究（须运用量子力学、统计物理、X射线、电子能谱 和核磁共振技术等）。非平衡热力学及统计物理。四、物理学发展的总趋向：1. 学科之间的大综合。2. 相互渗透结合成边缘学科。例如：生物物理、生物化学、物理化学、量子化学、量子电子学、量子统计力学、固体量子论。3. 二十世纪物理学中两个重要的概念场和对称性从经典物理学到量子力学过渡时期的三个重大问题的提出：（1）黑体辐射问题，即所谓“紫外灾难”问题；（2）光电效应和康普顿效应的解释问题；（3）原子的稳定性和大小问题。第一节 黑体辐射 普朗克能量子假设引言：连续和分立（量子化）的概念。一、黑体 黑体辐射1. 热辐射现象（1）热辐射：决定于物体温度的电磁辐射。（2）平衡热辐射：辐射与吸收平衡,温度恒定。2. 描述热辐射的物理量 （1）单色辐出度：在单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出的单位波长间隔内的电磁能量。记为：或。 （2）总辐射能：在单位时间内从物体表面单位面积上辐射的各种波长的能量。记为，且有：（3）单色吸收比和单色反射比单色吸收比：单色反射比： 对不透明物体：3. 黑体辐射（1）辐射(吸收)能力最强的物体，能全部吸收一切外来辐射。人造黑体模型：不透明材料制成的带小孔空腔，如图所示。（2）黑体的单色辐出度（单色辐射强度）或。意义：温度为T的黑体，在单位时间,单位面积上，单位波长间隔所辐射出的能量。定量说明了辐射强度的大小。二、斯特藩玻尔兹曼定律、维恩位移定律以下介绍绝对黑体辐射的规律1. 测定黑体的实验 （1）原理图（2）结果黑体辐射实验的曲线：如右图。2. 基尔霍夫定律在热平衡下，任何物体的单色辐出度与吸收比之比，是个普适函数。即：，这一普适函数就是绝对黑体的单色辐出度M0(l,T)，而且绝对黑体的辐射出射度为：3. 斯特藩玻尔兹曼定律，W/(m2K4)；1879年，斯特藩从实验中发现此规律，五年后玻尔兹曼从理论上得到。4. 维恩位移定律 如图所示，曲线峰值对应的波长lm与温度T的关系：，1893年，维恩得到他们之间关系为：表明：（1）温度T，曲线峰值对应的波长lm 向短波方向移动；温度T，曲线峰值对应的波长lm 向高频方向移动。三、瑞利金斯公式 经典物理的困难1. 瑞利金斯公式瑞利和金斯用能量均分定理以及电磁理论得出：。它只适于长波，存在所谓的“紫外灾难”问题。2. 维恩公式维恩根据经典热力学得出： 作出理论曲线与实验曲线比较：（1） 在低频(长波)部分符合很好；（2）在高频(紫外)部分出现巨大分歧。 实验指出：；理论得到：四、普朗克量子假设 黑体辐射公式普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck, 8581947)，德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人，1918年诺贝尔物理学奖金的获得者。普朗克的伟大成就，就是创立了量子理论，这是物理学史上的一次巨大变革。从此结束了经典物理学一统天下的局面。1900年，普朗克抛弃了能量是连续的传统经典物理观念，导出了与实验完全符合的黑体辐射经验公式。在理论上导出这个公式，必须假设物质辐射的能量是不连续的，只能是某一个最小能量的整数倍。普朗克把这一最小能量单位称为“能量子”。普朗克的假设解决了黑体辐射的理论困难。普朗克还进一步提出了能量子与频率成正比的观点，并引入了普朗克常数h。量子理论现已成为现代理论和实验的不可缺少的基本理论。普朗克由于创立了量子理论而获得了诺贝尔奖金。1. 能量量子化假设黑体空腔壁上带电谐振子(电子)只吸收或辐射hn 的整数倍的能量，即能量的变化不连续。 频率为n 的谐振子，其能量只能取e = nhn 等一系列不连续的值。其中：h=6.62610-34焦耳。为普朗克常数。2. 普朗克辐射公式普朗克从理论上推导出：在单位时间内，从温度为T的黑体单位面积上，频率为nndn范围内所辐射的能量为： 也可以表示为：这里k和c分别是玻尔兹曼常数和光速。 上述理论公式与实验曲线符合得很好。普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题，还解释了固体的比热问题等等。它成为现代物理理论的重要组成部分。3. 黑体辐射定律的应用光测高温、光测高温计实验。第二节 光电效应 光的波粒二象性引言：历史背景（1887年赫兹发现；905年，爱恩斯坦提出光子论解释；1916年，密立根实验验证）。一、光电效应及其实验规律1. 实验装置和相关概念(1)K阴极，逸出电子；A阳极，电子从KA在电路中形成光电流。(2)光电效应：金属及其化合物在光照射下发射电子，这个现象称为光电效应(photoelectric effect)；从金属表面逸出的电子称为光电子(photoelectron),光电子运动形成光电流(photocurrent)。(3)遏止电压：电子能从KA，说明电子具有动能；加反向电压，当时，检流计G中的电流,此时。(4)饱和光电流：加正向电压,使逸出金属表面的电子全部到达阳极A，此时光电流为最大值。2.实验规律 （1）对于某种材料制成的金属K极，存在一个截止频率。当外光频率n ，则出现光电子，并且随着频率增高，光电子逸出的初动能也相应地线性增大。（2）遏止电压（对应光电子的初动能）随入射光频率线性增加,与光的强度无关。右图为遏止电势差与频率的关系（3）只要入射光频率高于截止频率，光电子是即时发射的，驰豫时间。当一定频率的光照射到 K 表面时，真空管内几乎立刻出现光电子，很快形成光电流。（4）当光源频率和外加电压固定时，饱和光电流强度im与入射光强度 I 成正比。右图为伏安特性曲线3. 经典理论的困难（1）认为不存在截止频率n0，只要光强足够大，即能发生光电效应。但实验证明：只要n v0，被撞击出来的光电子数目就按比例增大，饱和光电流也就越来越大。（3）电子的初动能和照射光频率成正比由光电效应方程即可解释。（4）存在截止频率n0可得为发生光电效应，必须。 至此，爱因斯坦不仅完美解释了光电效应，还使人们对光的本性的认识有了质的飞跃 波动性兼具粒子性（量子性）。(2002-11-11上午1、2节讲到这里)三、光电效应在近代技术中的应用1. 内、外光电效应的概念（课本230页）2. 应用例子 （1）概述利用光电效应中光电流与入射光强成正比的特性,可以制造光电转换器-实现光信号与电信号之间的相互转换。这些光电转换器如光电管(photoelement)等，广泛应用于光功率测量、光信号记录、电影、电视和自动控制等诸多方面。（2）实例光电控制电路、光电法测转速、光电倍增管、鼠标器等等。四、光的波粒二象性1. 光子的能量、质量和动量（1）能量：（2）质量：由相对论质能关系，可得光子的质量为：；因为，所以，光子的静止质量为零。（3）动量：光子的动量为：，2. 光的本质和光的量子行为密立根1916年的实验，证实了光子论的正确性，并求得h=6.5710-34 焦耳秒。光的波动性（p） 和粒子性（l）是通过普朗克常数联系在一起的。上世纪70年代的单光子干涉实验，证明光本质上服从量子力学的规律，比波粒二象性进一步阐明了光的本性。布置作业课本310页 第1和第3题教学内容：1. 光子和自由电子相互作用的康普顿效应、光的波粒二象性；2. 氢原子光谱的实验规律及波尔的氢原子理论；重点难点： 光谱规律、波尔理论的内容及其应用。基本要求：1. 理解康普顿效应及其解释；2. 理解氢原子光谱规律；3. 理解波尔理论对氢原子光谱的解释及其应用。 第三节 康普顿效应一、实验装置二、实验结果 X射线通过物质散射时，波长发生变化，散射后的波长有两个峰值，一个与原来波长相同，而另一个l与散射角有关。 三、对康普顿效应的解释1. 经典解释 单色电磁波作用于比波长尺寸小的带电粒子上时，引起受迫振动，向各方向辐射同频率的电磁波。对于的存在经典理论不能作出合理解释！2. 光子理论的解释 （1）定性说明光子与电子的弹性碰撞，光子传递一部分能量给电子，光子的能量减少，波长变长。（2）定量计算如图所示，电子的相对论质量：系统能量守恒：，可得 （1）系统动量守恒：，可得 （2）（1)2 (2) c2 得出：将代入上式得到：即有： 可见与散射物质无关。这里叫做康普顿波长。3. 讨论（1）康普顿散射进一步证实了Einstein的光子理论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒两象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。（2）为什么还有原波长的峰值？光子与束缚电子碰撞，是与整个原子碰撞，失去能量较少，散射后频率几乎不变。 （3）反冲电子的运动方向。第四节 氢原子的玻尔（Bohr）理论引言1. 研究原子结构的两种方法 利用高能粒子轰击原子轰出未知粒子来研究(高能物理)； 通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究（光谱分析）。 2. 光谱 3. 光谱的获得及其分类 （1）摄谱仪（2）发射光谱连续光谱：炽热固体、液体、黑体；线状光谱（原子）：彼此分立亮线，气体放电、火花电弧等。（3）吸收光谱连续谱通过物质时，有些谱线被吸收形成的暗线。 两者都能反映物质特性及其内部组成结构特征谱线最简单的原子发射光谱是氢原子光谱。一、氢原子光谱的规律性 1. 原子光谱及其规律 （1）线状谱，特征谱； （2）形成线系；2. 氢原子光谱规律（1）巴尔末（Balmer）公式1885年，瑞士中学教师巴尔末发现氢原子光谱的可见光部分的波长可以用如下公式表示：这里B=364.56nm。（2）波数及其物理意义（3）里德伯（Rydberg，瑞典人）公式 将巴尔末公式中的波长改为波数，可得：这里称为氢原子的里德伯常数。（4）其他线系，=1,赖曼（Lyman）线系,1916年发现；=3, 帕邢（Packen）线系,1908年发现；=4, 布喇开（Brackett）线系,1922年发现；=5, 普丰德（Pfund）线系,1924年发现；二、卢瑟福核式结构模型 1. 历史背景 （1）葡萄干面包模型 （2）粒子散射实验及其结果绝大多数粒子经过金属箔后与原运动方向偏离不多，只有少数子粒子发生大角度散射。2. 原子的有核模型卢瑟福根据粒子散射实验的结果，提出了原子的有核模型。在原子序数为Z的元素的原子内包含一个正电荷为的原子核，原子的质量几乎全部集中于核上，核半径的数量级为米，位于原子中央，核外有Z个电子，分别绕核旋转。3. 原子的有核模型与经典物理学的矛盾卢瑟福提出的有核模型有充分的实验基础。但由经典电磁理论，绕核运动的电子既然在作变速运动，必将不断地以电磁波的形式辐射能量，辐射频率等于电子绕核转动的频率。于是，整个原子系统的能量就会不断减少，频率也将逐渐改变，所发光谱应是连续的。这与原子线状光谱的实验事实不符。同时，由于电子不断辐射能量，最终会落在核上。因此，按经典理论，卢瑟福的有核模型就不可能是稳定的系统。这样看来，经典理论在处理原子内电子的运动时遇到了不可克服的困难。三、玻尔氢原子理论为了克服经典理论的困难，1913年玻尔在卢瑟福的核式结构的基础上，将普朗克的能量子概念和爱因斯坦的光子概念应用于原子系统，提出三个基本假设作为他的氢原子理论的出发点，使氢光谱的规律得到较好的解释。1. 三个基本假设（1）定态假设电子的轨道和能量是量子化的，即它们只能取一系列不连续的值，处于这些状态的电子不向外辐射电磁能量，称为定态。（2）轨道角动量量子化处于定态的电子，其绕核的轨道角动量等于的整数倍，n称主量子数 （量子化条件（3）量子跃迁假设当原子从较高的定态En跃迁到另一个较低的定态Ek时，才会有辐射产生，发出光子 。*说明:这些假设的地位和意义。 2. 氢原子的电子轨道半径和能级（1）轨道量子化由上式三个假设，根据牛顿定律和库仑定律，得： 其中称为玻尔半径，数量级和实验相符。结论，电子轨道是量子化的。（2）氢原子的能级假设原子核不动，则原子的能量等于电子的动能与以及它与原子核组成系的统的势能之和，即：这里为主量子数n=1时即氢原子的最低能级（称为基态能级）。n1的各态则称为激发态。 可见氢原子的能级也是量子化的。 3. 对光谱规律解释（1）里德伯常数的理论值由能级公式及玻尔的第三假设（跃迁定则），可得电子由高能态En跃迁到低能态Ek时，放出的光子的频率为：，光谱线的波数为：与氢原子光谱谱线波数的经验公式（粒德伯公式）比较得：而实验值R=1.0967758107m-1，两者符合得非常好。这样，玻尔用半经典（电子的轨道运动）、半量子化（定态）的方法成功地解释了氢原子的光谱所呈现的规律性。（2）能级和光谱线系的形成由E1=-hcR，可以画出能级高低次序图，并作出跃迁图，从而表示出氢原子光谱线系的形成过程。4. Bohr的氢原子图像 电子围绕质子在一些特定的稳定轨道上运动而不发出电磁波；电子通过吸收或者放出一个特定频率的光子可以在不同的轨道之间跳跃。四、玻尔氢原子理论的缺陷玻尔理论第一次把光谱的事实纳入一个理论体系中。这个理论指出了经典物理的规律，不能完全适用于原子内部，提出了微观体系特有的量子规律。玻尔理论启发了当时原子物理向前发展的途径，推动了新的实验和理论工作。玻尔理论虽然有很大的成就，居重要地位，但也有很大的局限性。1. 不能解释复杂原子的光谱这理论只能计算氢原子和类氢原子的光谱频率，对于稍复杂的一些原子（核外有两个以上的电子）不能计算。2. 不能计算谱线的强度3. 不能说明原子、分子之间的相互作用4. 逻辑上不自洽玻尔理论的问题在于理论结构本身，这理论作了一些在经典规律中所没有的假定。例如说原子处在定态时不辐射，原子的能量是量子化的，不能连续变化，这都同经典理论不符的。玻尔理论是经典理论和量子条件并放在一起的一个结构，似乎缺乏逻辑的统一性。五、对应原理对于电子的绕核运动。若量子数n较小，此时各定态的角动量，能量和半径都是不连续的。如果量子数n很大 ，则各定态的角动量、能量和半径的不连续性就很不明显了。如由n=5000跃迁到4999，此时角动量，能量，轨道半径的改变可看成是连续改变的。可见当量子数很大时，玻尔理论和经典理论的结果完全相同，即经典理论对应于量子理论中量子数很大的极限情况，称对应原理。第五节 弗兰克赫兹实验（简介，学生自学为主）1914年完成，1925年诺贝尔奖。一、实验目的检验Bohr理论的正确性，证实原子能级量子化和定态的存在。二、实验装置灯丝F，栅极G，阳极P。栅极（反向）电压Ui的作用？三、实验原理三、实验结果结论：定态和能级是存在的。原子等微观系统的能量是量子化的。布置作业课本P. 310第5题、P.311第11、13题。教学内容：1. 德布罗意假设；2. 实物粒子的波粒二象性；3. 海森伯的不确定关系；重点难点：1. 实物粒子的波粒二象性的理解；2. 海森伯的不确定关系及其应用；基本要求： 1. 理解德布罗意波的含义和逻辑思辨过程；2. 理解海森伯的不确定关系的意义并掌握其应用。第六节 德布罗意波 实物粒子的二象性一、德布罗意假设德布罗意（de Broglie）1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。1. 德布罗意关于波粒二象性的思辨过程德布罗意之前，人们对自然界的认识，只局限于两种基本的物质类型：实物和场。前者由原子、电子等粒子构成，光则属于后者。但是，许多实验结果之间出现了难以解释的矛盾。物理学家们相信，这些表面上的矛盾，势必有其深刻的根源。1923年，德布罗意最早想到了这个问题，并且大胆地设想，人们对于光子建立起来的两个关系式E = h，P = mv = h/会不会也适用于实物粒子。如果成立的话，实物粒子也同样具有波动性。为了证实这一设想，1923年，德布罗意又提出了作电子衍射实验的设想。1924年，又提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。1927年，戴维孙和革末用实验证实了电子具有波动性，不久，G.P.汤姆孙与戴维孙完成了电子在晶体上的衍射实验。此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。德布罗意的设想最终都得到了完全的证实。这些实物所具有的波动称为德布罗意波，即物质波。2. 微观粒子波粒二象性要点德布罗意关于微观粒子波粒二象性(Wave-particle dualism)假设的要点是： （1）实物粒子既具有粒子性，又具有波动性，是粒子性和波动性的统一。 （2）质量为m的自由粒子以速率v运动时，它的粒子性表现在具有能量E和动量P；它的波动性表现在具有频率和波长。德布罗意认为，它们之间满足以下的对应关系: E = h P = mv = h/这种波称为德布罗意波(de-Broglie wave)，也叫物质波(matter wave)。 3. 讨论 （1）在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度V= 5.0 102m/s，对应的德布罗意波长为：，这个波长太小，目前我们没有办法测量！（2）在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s，对应的德布罗意波长为：，这个和x射线的波长同数量级。可见微观粒子的波动性是可见的。4. 氢原子轨道量子化的（一种）解释（1）驻波和轨道量子化德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整数倍，。再根据德布罗意关系，可以得出角动量量子化条件：，。（2）德布罗意关系的重要意义注意到，我们发现德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数h是个“小”常数。二、德布罗意波的实验证明德布罗意关于物质波的假设在微观粒子的衍射实验中得到了验证。其中最有代表性的是电子散射实验、透射实验和双缝干涉实验。这些实验有力地证明了德布罗意物质波假说的正确性。实物粒子的衍射效应在近代科技中有广泛的应用，例如中子衍射技术，已成为研究固体微观结构的最有效的手段之一。 1. 戴维孙革末实验电子散射实验的典型代表是1927年戴维孙革末实验(Davisson-Germer experiment)。戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。如图，此外干涉相长条件为：可得，和布洛格方程一致。当加速电压U=54伏，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长：再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数求得满足相干加强条件的电子出（入）射角度： ，和实验结果一致的。戴维孙革末实验结果表明：（1）散射电子束在某些方向上特别强；这种现象类似于x射线被单晶衍射的情形，从而显示了电子束的波动特性。（2）在某一角度下改变加速电压U以实现对电子波长的改变。实验测出的曲线反映出确实存在着电子的布喇格衍射，从而定量地证实了德布罗意所预言的实物粒子的波动性果真存在。2. 单晶透射实验 单晶透射实验将电子束或中子(neutron)束射向单晶箔片，其结果是得到了如图所示的衍射斑：这种衍射斑与右图所示的x射线透过单晶体的劳厄斑结果极为相似：3. 电子及中子的圆环形衍射图样1927年，G.P.汤姆逊将电子束和中子束射向多晶箔片，在屏上得到了圆环形的衍射图样:电子及中子的这种衍射图样与x 射线衍射结果非常相似。 4. 电子、中子双缝实验1961年约恩孙运用铜箔片形成的细微双缝进行电子干涉实验，1988年蔡林格等做了中子的双缝实验，得到了如下结果：这个结果与光波的双缝干涉实验结果极为相似，再次证明了德布罗意所假设的实物粒子的波动性确实存在！ 戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金。三、应用举例 前面我们已经介绍过光学仪器的分辨本领和所使用的射波波长成反比。由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。1932年德国的鲁斯卡（E. Ruska）成功制造出第一台电子显微镜，1981年德国的宾尼西（G. Binnig）制造出第一台扫描隧道显微镜（STM），两人分享1986年的诺贝尔物理学奖。我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为14.4nm，能分辨大个分子，有着广泛的应用。我国在上世纪90年代初也研制出STM。四、德布罗意波的统计解释 1. 物质波本性的认识（1）微观粒子不同于经典波历史上有人认为，微观粒子的波动性是最基本的，它是由若干列波组成的一种波包，即粒子性包含于波动性之中。这种观点与实验相矛盾，因而是错误的。现以单个电子射向媒质分界面为例说明之。如果电子是波包，那么，由于电子波在介质分界面上的反射和折射，电子将被分裂为反射部分和折射部分，也就是说，从两个方向观察到的只是电子的一部分。但实验中观察到的总是一个个具有一定质量和电荷的电子，从来没有观察到几分之一个电子。 （2）微观粒子波粒二象性费曼曾经设计了一个对比子弹、水波和电子分别通过双缝的理想实验，来说明微观粒子与经典粒子和经典波的区别。 这是对比子弹、水波和电子通过双缝的实验装置原理图：关下缝，子弹通过上缝到达屏上，观察到的子弹密度分布如曲线P1 所示。反之, 关上缝开下缝，得子弹密度分布曲线P2。将P1与P2叠加，得到曲线P1 P2。同时打开缝1和缝2，发射两倍数目的子弹，最后得到的子弹数目分布曲线是曲线P3。显然，曲线P3与P1P2完全一样，称为“非相干叠加”。 由此可见，子弹的波动性表现很不明显，子弹通过双缝后在屏上形成了非相干叠加，即主要表现了粒子性。 设想一下，对于水波的双缝实验，屏上观察到的分布是否与子弹实验结果一样，呈现为两个单缝分布的非相干叠加？因为水波通过双缝时被分为两个相干的次波源，它们在空间将进行相干叠加，所以在屏上将呈现出双缝干涉图样。电子通过狭缝后在屏上出现的位置是不可预测的，观察时间较短时，屏上记录点的分布看起来没有什么规律。当时间足够长，屏上接收的电子数越来越多，有些地方很密，有些地方则很疏，其分布将形成有规律的单缝衍射图样。 同时打开双缝，电子象子弹那样，只能通过其中一条缝；但是，电子在接收屏上出现的结果却显示出了确定分布的干涉图样。 实验结果表明：电子的行为既不等同于经典粒子，也不等同于经典波动，它兼有粒子和波动的某些特性，这就是波粒二象性。2. 德布罗意波的统计解释考察电子的双缝干涉实验结果：电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。 由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对德布罗意波的物理意义的解释，即德布罗意波的强度和微观粒子在某处附近出现的概率密度(probability density)成正比：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。 本部分内容我们在下次课将继续讨论。第七节 不确定关系（测不准原理）一、不确定关系的物理表述及物理意义1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。 约化普朗克常数：1. 位置动量不确定关系（1）表述，Dx表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，Dpx表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。在经典力学中，物体的坐标和动量可以同时具有确定的值，但是，对于微观粒子来说，由于它具有波粒二象性，轨道的概念已失去了意义。如果要同时测量微观粒子的位置和动量，则其测量结果有：位置的不确定量与动量的不确定量的乘积必须大于或等于。 （2）例子宏观例子：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒，Dx=10-6米，则：。因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的不确定性远在宏观实验的测量精度之内。微观例子：电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的Dx10-10米，则：结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体说明。又例如：在示波管中电子的Dx10-4米，V107米/秒，则：，可见，。这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子具有确定的轨道，可用经典理论来描述。（3）电子单缝衍射的分析电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性，并验证了不确定关系。根据单缝衍射公式，中央亮纹半角宽：；电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少为：，；电子通过单缝位置的不确定范围，代入德布罗意关系：得出。上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：2. 能量、时间测不准关系孤立原子系统能级并非只有单一数值而是有一定的宽度DE，DE和电子处于激发态的时间之间也有类似的关系。（1）越大，越小，级越稳定，不易跃迁；（2）越小，越大，能级越不稳定，寿命短，易跃迁。二、不确定关系的应用 在原子尺度内，是个良好的近似。，1. 估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为r 的球内，所以。按不确定关系，。当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：；代入上式得：基态能级应该满足：，由此得出基态氢原子半径：。基态氢原子的能量：与波尔理论结果一致。本例还说明：量子体系有所谓的零点能。因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实相违背。2. 解释谱线的自然宽度原子中某激发态的平均寿命为，由不确定关系、以及普朗克能量子假说可得光解释谱线的自然宽度为：，这和实验结果相符合。注意不确定（测不准）关系是基于物质的波粒二象性建立起来的，其不确定量不可能通过提高仪器的精度及实验技术而得到改善。补充：维尔纳海森堡简介维尔纳海森堡（Wilner Heisenberg，19011976），1901年12月5日出生于巴伐利亚州的维尔茨堡，是著名的德国物理学家。从科学事业上看，他可算是继爱因斯坦之后最有作为的科学家之一。他于1925年创立了量子力学的矩阵力学，并提出测不准原理。由于对量子理论的贡献，他于1932年获得了诺贝尔物理学奖。海森堡对原子核也有很深的研究。他不仅发展了原子核基本粒子理论，而且在铀核分裂被发现后，还完成了核反应堆理论。他还完成了爱因斯坦想解决却一直没能解决的统一场理论。由于他取得的上述巨大成就，使他成了本世纪最重要的理论物理和原子物理学家。布置作业课本311页第17题、第20题教学内容：1. 波函数及其统计解释；2. 一维定态薛定鄂方程；3. 一维无限深势阱、势垒、隧道效应。重点难点： 1. 波函数的物理意义和波函数的标准条件； 2. 薛定格方程的建立过程及其求解方法基本要求： 1. 理解量子力学的基本假设； 2. 理解一维无限深势阱薛定格方程的求解过程和解的物理意义； 2. 了解隧道效应的物理原理及其应用。第八节 量子力学简介薛定谔简介：奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。一、波函数 概率密度微观粒子的运动遵循什么样的规律？1. 波函数上一讲中我们已经知道：德布罗意波的强度和微观粒子在某处附近出现的概率(probability density)成正比：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。按照薛定谔的观点，微观粒子的状态应由该粒子的德布罗意波（物质波）的波函数来描述，借助于物质波所遵从的波动方程即薛定谔方程(Schrodinger equation)，可以求出t 时刻在空间任一位置的波函数(wave function)。波函数又称为概率幅，它是一个复数，与机械波和电磁波不同，它并不代表任何实在的物理量的波动。2. 自由粒子的波函数自由平面机械波：自由平面电磁波： 一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意波具有频率和波长：，。或者用角频率和波矢量表示：，它的波函数的一种很自然的形式为：因此和自由粒子相对应的单色平面波的复数形式为：3. 概率密度（1）用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一。（2）波函数的物理意义波函数模的平方代表时刻t，在处附近空间单位体积中粒子出现的几率。因此也被称为概率密度。时刻t粒子出现在位置附近体积内的几率为：。电子衍射表明的波粒两象性，可用波函数解释。波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。（3）波函数的标准条件波函数必须满足以下几个条件：单值、连续、有限、归一化。*连续可微，且的一阶导数也连续可微。*归一化：。若一个未归一化的波函数，其归一化的形式的，它们描述同一个微观状态，则归一化系数：二、薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。1. 建立薛定谔方程的主要依据和思路（1）要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足德布罗意关系式；（2）满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E，质量为m，动量为P的粒子，存在：；（3）若是方程的解，则也是它的解；若波函数与是某粒子的可能态，则它们的线性组合也是该粒子的可能态。因此，波函数应遵从线性方程。(4)自由粒子的外势场应为零，即。2. 自由粒子的薛定谔方程一个具有动能E和动量P自由粒子的波函数为：，两边求对t的一阶导数可得： （1）对两边同时求对x的一阶导数可得： （2）同理可得： （3） （4）注意到拉普拉斯算符的定义：，由（2）、（3）、（4）式可得： （5）注意到自由粒子的能量和动量的关系： （6）由（1）、（5）、（6）式可得： 许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。3. 有势场存在时的薛定谔方程如果粒子在势场中运动，能量