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安徽工程大学安徽工程大学 数学建模 选修课 课程论文数学建模 选修课 课程论文 题目 题目 个人所得税分配方案个人所得税分配方案 摘 要 本方案是通过线性规划来解决个人年纳税额最小且年收入分配 月工资与 年终奖的分配 最优问题 在年收入一定的情况下 合理分配每月工资与年终 一次性奖金 从而使个人纳税符合国家规定的纳税要求 又满足纳税总额最小 的目的 对于问题一 根据题目给出的每月工资应纳税计算方案以及一次性奖金纳 税计算方案 得到了一个年纳税金最小的优化模型即模型一 用 C 语言编程 求得年收入为 10 万元的职员的年收入最优分配方案为最佳月收入 6834 元 年终奖金 17992 元 最低年纳税总额 3280 56 元 对于问题二 结合模型一 适当改进程序 得出结果从 30000 到 150000 步 长为 1000 的 M 各值对应的最优解 见附录 1 中的表五 对于问题三 通过对每月等额本息还款法和每月等额本金还款法 进行比 较 最终得出每月等额本息还款法比较适合该夫妇的情况 因为贷款方式 有个人住房银行抵押贷款和个人住房公积金贷款两种 通过对两种贷款方式的 年利率进行对比 可以发现个人公住房积金贷款的年利率要小很多 在还款年 限相同的条件下 贷款人要偿还的利息就相对少很多 但是由于住房公积金管 理机构发放的住房抵押贷款的对象是缴存住房公积金的在职职工和汇缴单位 的离退休职工 只有符合条件的人才能申请住房公积金贷款 所以本文把 此夫妇的情况分为两种 一种是不符合公积金贷款要求 只能全部采用个人 住房银行抵押贷款 建立模型二 通过C 语言编程求解就可得出最优解 即还款年数 10 年 每月还款额 5228 00 元 还贷利息及缴税总额 430431 62 元 月基本工资 3745 00 元 年终奖 60 00 元 另一种情况是该 夫妇符合公积金贷款申请条件 由于 国家规定夫妻公积金贷款的最高额度是 40 万元 而该夫妇买房需 55 万元 减去 20 即 11 万元的首付之后 还需要贷 款 44 万元 因此 为了使还款额最小 我们假设该夫妇可以申请最高额度贷款 剩余 4 万就采用个人住房银行抵押贷款 由此建立模型三 并通过 C 语言编程 求解得还款年数 8 12 年 月还款总额 5228 00 元 月还公积金贷款额 4622 63 元 月还个人银行抵押贷款额 605 37 元 公积金贷款利息总额 189870 88 元 个人银行抵押贷款利息总额 29551 06 元 缴税总额 1461 60 元 还贷利息及缴税总额 220883 54 元 月基本工资 3745 00 元 年终奖 60 00 元 关键词 关键词 线性规划 合理分配年收入 年纳税额最小 合理的贷款 还贷利息 及缴税总额最少 C 语言编程 1 队员队员 1 丁丁 鑫 电气鑫 电气 2112 3112116201 队员队员 2 展孝东 电气展孝东 电气 2112 3112116234 指导老师 指导老师 周周 金金 明明 成成 绩 绩 完成日期 完成日期 2012 11 7 2 一 问题重述一 问题重述 广受社会关注的个人所得税起征点标准 全国人民代表大会常务委员会关 于修改 中华人民共和国个人所得税法 的决定 2011 年 6 月 30 日第十一届 全国人民代表大会常务委员会第二十一次会议通过 第十一届全国人民代表大会常务委员会第二十一次会议决定对 中华人民 共和国个人所得税法 作如下修改 一 第三条第一项修改为 工资 薪金所得 适用超额累进税率 税率 为百分之三至百分之四十五 税率表附后 二 第六条第一款第一项修改为 工资 薪金所得 以每月收入额减除 费用三千五百元后的余额 为应纳税所得额 三 第九条中的 七日内 修改为 十五日内 四 个人所得税税率表一 工资 薪金所得适用 修改为 1 每月工资应纳税计算方案 月应纳税所得额 月工薪收入 费用扣除标准 3500 表一 超额累进税率 级数全月应纳税所得额税率 1不超过 1500 元的3 2超过 1500 元至 4500 元的部分10 3超过 4500 元至 9000 元的部分20 4超过 9000 元至 35000 元的部分25 5超过 35000 元至 55000 元的部分30 6超过 55000 元至 80000 元的部分35 7超过 80000 元的部分45 注 本表所称全月应纳税所得额是指依照本法第六条的规定 以每月收入 额减除费用三千五百元以及附加减除费用后的余额 五 个人所得税税率表二 个体工商户的生产 经营所得和对企事业单位的 承包经营 承租经营所得适用 修改为 表二 级数全年应纳税所得额税率 1不超过 15000 元的5 2超过 15000 元至 30000 元的部分10 3超过 30000 元至 60000 元的部分20 4超过 60000 元至 100000 元的部分30 5超过 100000 元的部分35 注 本表所称全年应纳税所得额是指依照本法第六条的规定 以每一纳 税年度的收入总额减除成本 费用以及损失后的余额 3 2 年终一次性奖金纳税计算方案 请查阅最新计算公示 先将雇员当月内取得的全年一次性奖金 除以12个月 按其商数确定 适用税率和速算扣除数 将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金 按所确定的适用税率计算 征税 注 年终一次性奖金纳税计算与每月收入纳税计算独立进行 本文需要解决的问题 1 请根据以上新的纳税方案 为某公司职员制定其每年收入分配方案使其 年度纳税总额最少 假设其年收入为10万元 公司允许其自行决定每月 收入和年终一次性奖金的分配数额 2 请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表 年收入从3万元以 1000元为间隔到15万元 3 现假设该公司某夫妇年收入为9万元 并打算贷款购买住房 银行贷款 利率如下表 如果新房的售价为55万元 请替该夫妇制定一个合理的贷 款方案 包括分几年还清 每月还款额和全年收入分配方案 二 模型假设二 模型假设 1 假设该公司允许员工自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额 2 假设个人的年收入仅分为 每月的月工资和年终一次性奖金收入 3 对于模型一 假设每月工资不小于 3500 4 对于问题三 假设该夫妇的每月所交的公积金额不在 9 万元的收入内 且还 款时未用到公积金 5 假设该夫妇满足申请公积金贷款买房 并且可申请到夫妻最高额度的贷款即 40 万 6 假设该夫妇在还款期间的月基本费用为月工资的 30 且无其他支出 并保 持不变 7 假设该夫妇还款期间月工资不变 贷款利率不变 个人所得税政策不变 8 假设新房面积小于 90 平米 首付为售价的 20 即 11 万 且该夫妇能承担得 起 9 贷款期限以年为单位 10 对于模型三 假设年终一次性奖全部用来偿还公积金贷款 11 对于模型三 个人住房公积金贷款和个人住房银行抵押贷款用相同的时间 来偿还 12 假设两夫妇的年收入时相等即每人每年收入 45000 元 三 符号说明三 符号说明 表三 符号符号说明 t 月工资 y 年终奖 4 M年收入 x月应纳税所得额 f y 年终奖纳税额 f x 月工资纳税额 z 全年纳税额 n A 第 n 年后还欠银行的钱 n还款年限 a月还款总额 1 a 月公积金贷款的还款额 2 a 月银行抵押贷款的还款额 0 A 公积金贷款金额 0 A 银行抵押贷款金额 W 偿还银行的利息 1 W 公积金贷款总利息 2 W 银行抵押贷款总利息 y 年终奖与年纳税额之差 Y 还贷利息及缴税总额 个人住房银行抵押贷款五年以上年利率 1 个人住房公积金贷款五年以上年利率 四 问题分析四 问题分析 对于问题一 全年纳税总额 z 分为 2 部分 一部分为月工资部分的所需上 交的税额 f x 另外一部分为年终奖部分所需上交的税额 f y 要使 z 最小的 就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少 通过直观的分析 企业发放年终 一次性奖金以及员工每月工资发放的不均衡 必然导致个人所得税负税提高 实际到手的收人减少 每月均匀发放工资薪金会降低个人所得税的税率 会减 少应纳个人所得税金额 企业在发放年终一次性奖金时应抓住税率临界点 本 方案即在寻找这个税率的临界点 对于问题二 由题一所得的最优分配方案通过 C 语言编程就可以容易得出 5 该公司职员的年度收入最优分配方案表 对于问题三 一个合理的贷款方案 是在贷款相同数额的情况下 贷款时间 越短最终所付利息越少越好 但必需考虑贷款人的还款能力 月还款额不能超 出其可支配金额 贷款年限虽然稍长一点 但可以降低月还款额 所以需要找 一个平衡点即满意解 在考虑个人收入时 要尽可能使个人所得税最少 同时又要使所缴纳的利 息最少 这就构成了一个典型的多目标规划模型 因为钱存在银行的金额越多时间越长 所得到的利息就越多 同理 向银 行贷款也一样 由银行利息的计算公式 利息 所贷资金 利率 占用时间可知 贷款多用一天 就要多付一天的利息 贷款的金额越大 支付给银行的利息也 就越多 因此 利息的多少 在利率和所贷资金不变的情况下 决定于所贷资 金的实际占用时间和还款的方式 在还按揭贷款时 有每月等额本息还款 和每 月等额本金还款 两种基本方式 每月等额本息还款法是指借款人每月偿还的贷款本金和利息总额不变 但每月还款额中贷款本金逐月增加 贷款利息逐月减少的还款方式 由于 每月的还款额相等 因此 再贷款初期每月的还款中 剔除按月结清的利息 后 所还得贷款本金就较少 而在贷款后期因贷款本金不断减少 每月的还 款额中贷款的利息就不断的减少 每月所还的本金就较多 这种还款方式 实际占用银行贷款的资金更多 占用时间更长 但它便于借款人合理安排每 月的生活和进行理财 也能减轻借款人的负担 每月等额本金还款法是指借款人每月偿还的本金固定不变 贷款利息逐 月递减的还款方 式 等额本金还款法的计算公式 每季还款额 贷款本金 贷款期季数 本金 已归还本金累计额 季利率 由此可见 随着本金的不断归还 后期未归还的本金的利息也就越来越少 每个季度的还款额也就逐渐减少 这种方式较适合于已经有一定的积蓄 但预 期收入可能逐渐减少的借款人 如中老年职工家庭 其现有一定的积蓄 但今 后随着退休临近收入将递减 通过上述我们可以知道 虽然等额本金法 算下来要比等额本息划算的多 但是有一个问题 等额本金法每月的还款金额是递减的 而一般情况下 如果 一味考虑节省利息选用等额本金法 也就是说目前的压力会比较大 该公司夫 妇的收入理论上会是递增的 所以很多时候出于这种考虑 选择等额本息法对 于该夫妇比较合理 在本题中 我们选用等额本息还款 这样的话 上述多目标规划问题就变成 了单目标规划问题 即把个人收入作为一个约束条件 把还贷利息及缴税总额 作为目标函数值 因为贷款方式有个人住房银行抵押贷款和个人住房公积金贷款两种 通过 对两种贷款方式的年利率进行对比 可以发现个人公住房积金贷款的年利率要 小很多 在还款年限相同的条件下 贷款人要偿还的利息就相对少很多 但是 由于住房公积金管理机构发放的住房抵押贷款的对象是缴存住房公积金的在 职职工和汇缴单位的离退休职工 只有符合条件的人才能申请住房公积金 1 贷款 所以我们把此夫妇的情况分为两种 一种是不符合公积金贷款要求 只能全部采用个人银行抵押贷款 建立模型二 通过C 语言编程求解就可 得出最优解 另一种情况是该夫妇符合公积金贷款申请条件 由于国家规 定夫妻公积金贷款的最高额度是 40 万元 而该夫妇买房需 55 万元 减去 20 6 即 11 万元的首付之后 还需要贷款 44 万元 因此 为了使还款额最小 我 2 们假设该夫妇可以申请最高额度贷款 剩余 4 万就采用个人银行抵押贷款 由 此建立模型三 并通过 C 语言编程求解出最优解 五 模型建立与求解五 模型建立与求解 5 15 1 问题一的解答问题一的解答 5 1 15 1 1 年纳税金额最小的优化模型的建立年纳税金额最小的优化模型的建立 根据表一与速算扣除数公式得表四速算扣除数 表四 速算扣除数 超额累进税率 级数全月应纳税所得额税率 速算扣除数 1不超过 1500 元的30 2超过 1500 元至 4500 元的部分10105 3超过 4500 元至 9000 元的部分20555 4超过 9000 元至 35000 元的部分251005 5超过 35000 元至 55000 元的部分302755 6超过 55000 元至 80000 元的部分355505 7超过 80000 元的部分4513505 根据每月工资应纳税计算方案 对于问题 1 2 我们建立一个以全月应纳 所得额 x 为自变量 月工资总税额为因变量的分段函数 f x 同理 根据一次性奖金纳税计算方案 建立一次性年终一次性奖税额对年 终一次性奖 y 的分段函数 f y 要使得年纳税总额最小 即最小 12 f xf y 且符合建立模型一为 12Mty Min 5 1 12 zf xf y s t 0 0 5 2 12Mty xy 式 5 1 为年纳税额最小 5 1 25 1 2 模型一的求解模型一的求解 要求式 5 2 的最优值可利用模拟仿真的方法 若 M 为常数 每确定一 个 x 值 则有唯一的 y 值与之对应来满足条件 根据工资应纳税计算方案和年终一次性奖金纳税计算方案有 7 1350545 0 550535 0 27553 0 100525 0 5552 0 1051 0 03 0 x x x x x x x xf 80000 8000055000 5500035000 350009000 90004500 45001500 15000 x x x x x x x 1350545 0 550535 0 27553 0 100525 0 5552 0 1051 0 03 0 y y y y y y y yf 80000 12 80000 12 55000 55000 12 35000 35000 12 9000 9000 12 4500 4500 12 1500 1500 12 0 y y y y y y y 由模型 Min 12 zf xf y s t 3500 0 12Mty t y t x 3500 已知 M 100000 通过 C 言编程 程序见附录 3 程序一 求解得 该公司年 收入为 10 万元的职员每年收入最优分配方案为 月收入 6834 00 年终一次性奖金 17992 00 全年纳税总额 3280 56 以上只考虑的月工资大于 3500 的情况 我们在此考虑月工资小于等于 3500 的情况 在此情况下月工资是不收税的 只有年终一次性奖金需纳税 因 此当月工资等于 3500 时 年终一次性奖金纳税额是最小的 为 100000 3500 12 0 2 555 11045 大于模型一中所求得的最优解 3280 56 所以模 型一所得出的结果是比较合理的 而且全年纳税额达到了最小 满足了题目的 要求 5 25 2 问题二的解答问题二的解答 8 利用问题一所建立的模型 应用 C 语言编程 程序见附录 3 程序二 加 以适当的改进 输入 M 分别为 30000 和 150000 结果产生从 30000 到 150000 步长为 1000 的 M 各值对应的最优解 见附录 1 中的表五 由表中的数据 我们可以直观的看出不同年收入的员工的最佳工资与年终 奖金的分配以及全年的最低纳税额 帮助公司不同阶薪的员工在年收入一定的 情况下合理分配每月工资与年终一次性奖金 从而使个人纳税符合国家规定的 纳税要求 又满足纳税总额最小的目的 5 35 3 问题三的解答问题三的解答 鉴于还贷方式包括每月还款额和年终奖金 且在还款过程中 还要考虑纳 税问题 则建立模型时 可以力求还贷额与纳税的总额尽可能的少 如此 便 可以保证在一定的生活质量的条件下完成购房 5 3 15 3 1 只考虑个人银行抵押贷款模型只考虑个人银行抵押贷款模型 此模型适用于未申请公积金贷款的人或不用公积金贷款买房的人 由本题 要求 把还贷利息及缴税总额作为目标函数值 是其值最小 即可达到最优 因此我们建立模型二 Min Y nz 5 3 W 00 0 12 1 12 22 0 6 12 ln 12 ln 1 n Mty WAA zf xf y taf xt st ay ayA n 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 其中 式子 5 7 为月工资 每月还款额 月纳税额 基本生活费用 n 由 后面解答得出 模型二的求解 假设除掉生活费之后 剩余的收入全部用来偿还银行的钱 则此时还款年数 最短为 因为 n 5 所以贷款年限必定在 5 年以上 则7 301 90000 201 550000 n 7 05 因为首付为 20 所以向银行的贷款金额为 550000 1 20 440000 n 年后仍欠银行的钱数为 开始时 0 44000A 第一年后 1 A 0 1 12 Aay 第二年后 21 1 12 AAay 9 第 n 年后 1 1 0 0 12 1 12 1 1 1 1 1 1 12 1 nn nn n n AAay Aay Aay 当时 表示还清贷款 则有 0 n A 0 1 1 1 12 0 n n Aay 整理后得 0 12 ln 12 ln 1 ay ayA n 利用 C 语言编程可以在任意给定的和 M 的值 便可输出最小的偿还银 0A 行利息与上缴的税额的总值 Y 和最佳的月工资 t 即可以得到合理的贷款方案 通过 C 语言编程 程序见附录 3 程序三 本题给定 0 440000A 可得到满足条件的最优解为 45000M 还款年数 n 10 每月还款额 a 5228 00 还贷利息及缴税总额 Y 430431 62 月基本工资 t 3745 00 年终一次性奖 y 60 00 5 2 15 2 1 个人住房公积金贷款与个人住房银行抵押贷款组合模型个人住房公积金贷款与个人住房银行抵押贷款组合模型 因为对照个人住房公积金贷款年利率表和个人住房银行抵押贷款年利率表 可以发现 个人公积金贷款的利息比个人银行抵押贷款的利息高得多 在符合 申请公积金贷款的前提下 如果所有贷款都采用公积金贷款 这无疑是最节省 利息的办法 但是国家规定夫妻申请公积金贷款买房的最高额度为 40 万 因此 在这道题中我们假设此夫妇符合申请最高额度的公积金贷款 由此 还是以偿 还银行利息与上缴的税额的总值作为目标函数值 建立以下模型三 Min Y nz W 10 1010 200 12 1 101 1 0 2 12 12 1 1 12 22 0 6 12 ln 12 ln 1 1 12 n n n Mty WAA WAA WWW zf xf y taf xt st ay ayA n A a n aaa yyf y 通过 C 语言编程 程序见附录 3 本题给定 45000M 0 400000A 0 40000A 可得到满足条件的最优解为 还款年数 8 12 月还款总额 5228 月还个人住房公积金贷款数 4622 63 月还个人住房银行抵押贷款数 605 37 个人住房公积金贷款利息总额 189870 88 个人住房银行抵押贷款利息总额 29551 06 缴税总额 1461 60 还贷利息及缴税总额 220883 54 月基本工资 3745 年终一次性奖 60 00 六 六 模型评价与改进模型评价与改进 6 16 1 模型的优点模型的优点 1 线性规划的数学方法能够合理制定年收入分配方案和贷款方案 使得个 人所得 税最少及还贷利息及缴税总额最少 且方法简单易懂 可行性高 2 本文充分考虑了该夫妇符合个人住房公积金贷款和不符合个人住房公积 金贷款两种情况 并且对等额本金还款和等额本息还款进行了比较 得出了较 合理的还款方式 3 对于问题三 结合题目要求 从实际情况出发考虑了两种贷款方式 用 个人住房公积金贷款和个人住房公积金贷款与个人住房银行抵押贷款组合型为 该夫妇制定了一个合理的贷款方案 11 6 26 2 模型的缺点模型的缺点 在问题一中我们只考虑了工资大于 3500 的情况 对于问题三我们假设较多 且较理想 在程序上我们只用了单一的用了 C 语言编程 6 36 3 模型的改进模型的改进 该模型在解决还按揭贷款时 只提供了等额本息还款方式的解决模型 而 没有讨论等额本金还款方式 如果要让模型更具普适性 应该提供等额本金还 款方式的解决模型 参考文献参考文献 1 百度百科 住房公积金 2011 9 3 2 百度百科 公积金贷款利率 2011 9 3 3 和讯银行 及时贷款利率查询 2011 9 3 4 张建勋 纪纲 C程序设计实用教程 中国铁道出版社 2009 5 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 第三版 高等教育出版社 203 222 2003 8 6 周永正 詹棠森 方成鸿 邱望仁 数学建模 同济大学出版社 7 14 205 212 2010 8 12 附录附录 附录 1 表五 年收入 M最佳月工资 t年终一次性奖 y年纳税总额 Z 30000250000 310002583 300 320002666 700 33000275000 340002833 300 350002916 700 36000300000 370003083 300 380003166 700 39000325000 400003333 300 410003416 700 42000350000 430003583304 440003666608 4500037459060 460003813120244 47000391515020 480003990180120 49000408021040 500004151240188 510004239270132 52000433130028 53000441433032 540004489360132 55000458139028 13 56000466042080 570004727450276 58000482748076 590004902510176 600004987540156 6100049875701156 6200049876002156 6300049876303156 6400049876604156 6500049856905180 6600049857206180 6700049857507180 6800049857808180 6900049858109180 70000498584010180 71000498587011180 72000498590012180 73000498593013180 74000498596014180 75000498599015180 760004985102016180 770005000105017000 780005000108018000 790005084118017992 8000051671280 2817996 810005250138018000 8200053341480 5617992 8300054171580 2817996 840005500168018000 8500055841780 5617992 8600056671880 2817996 870005750198018000 8800058342080 5617992 8900059172180 2817996 900006000228018000 910005584239928070 9200060842380 5617992 930006250258018000 9400063342680 5617992 9500064172780 2817996 960006500288018000 9700065842980 5617992 9800066673080 2817996 990006750318018000 10000068343280 5617992 10100069173380 2817996 1020007000348018000 10300070843580 5617992 10400071673680 2817996 14 1050007250378018000 10600073343880 5617992 10700074173980 2817996 1080007500408018000 10900075844180 5617992 11000076674280 2817996 1110007750438018000 11200078344480 5617992 11300079174580 2817996 1140008000468018000 11500080844881 3617992 11600081675080 6817996 1170008250528018000 11800083345481 3617992 11900084175680 6817996 1200008500588018000 12100085846081 3617992 12200086676280 6817996 1230008750648018000 12400088346681 3617992 12500089176880 6817996 1260008000703730000 1270008000713531000 1280008000723532000 1290008000733533000 1300008000743534000 1310008000753535000 1320008000763536000 1330008000773537000 1340008000783538000 1350008000793539000 1360008000803540000 1370008000813541000 1380008000823542000 1390008000833543000 1400008000843544000 1410008000853545000 1420008000863546