39-直接证明与间接证明.doc

8.2 直接证明与间接证明教学目标：重点：综合法，分析法与反证法的运用难点：分析法和综合法的综合应用能力点：能用三种方法解决简单的证明问题及三种证明方法的综合应用 教育点：体会数学证明的思考过程及特点，提升分析解决问题的能力自主探究点：主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时要综合运用数学知识进行推理论证，以及化归与转化的思想易错点： 利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的； 不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口； 不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范学法与教具：1学法：自主探究、练习法 2教具：多媒体一、【知识结构】证 明演绎法证明归纳法证明直接证明数学归纳法枚举法分析法间接证明综合法反证法同一法二、【知识梳理】1直接证明（1）综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法框图表示： （其中表示已知条件，表示要证的结论） （2）分析法定义：从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）这种证明的方法叫做分析法框图表示：2 间接证明反证法：假设原命题_（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立简言之，否定归谬断言三、【范例导航】例1已知，求证：【分析】综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用由基本不等式,得到关于的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用得从而可证【解答】法一：,即，法二：法三：证明：，则成立构造函数因为对于一切，都有，所以从而证得：，当时，即成立【点评】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确其基本流程表述如下： 分析条件选择方向转化条件，组织过程适当调整回顾反思分析题目的已知条件及已知和结论之间的联系和区别，选择相关的定理，公式等，确定恰当解题方法把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字，符号，图形三种语言之间的转化回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取变式训练：设求证【解答】方法一：，又方法二：例2 （1）用分析法证明：（2）已知，求证：【分析】（1）由于,故要分或两种情况，然后用分析法证明（2）要证明成立，不等式两边都是整数，可通过同时平方，化为有理式运算，通过化简得出已知条件，可得证【解答】证明（1）若，结论显然成立；若，要证成立，只需证即证，显然成立，综上所述（2）要证成立，只需证，只需证,即，只需证，即由已知成立，【点评】分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范在解答本题时有两点容易造成失分：（1）不去分类，而是直接平方作差判断（2）在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分注意解题技巧： 1逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用“分析-综合法”即两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证变式训练： 已知三边的倒数成等差数列，证明：为锐角【解答】要证明为锐角，根据余弦定理，也就是证明，即需证，由于，要证，只需证，的倒数成等差数列，即要证，只需证，即上述不等式显然成立 必为锐角例3若都是正实数，且，求证：中至少有一个成立【分析】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，分析可得本题适合用反证法，从题目中可以看出“至少”这样的存在量词，于是可设结论的反面成立，即两个不等式都不成立通过推理可得出的结论，与已知矛盾，所以假设不成立，原命题正确【解答】假设都不成立，则有同时成立，因为且，所以，且，两式相加得，所以，这与已知相矛盾，因此中至少有一个成立【点评】用反证法证明问题的一般步骤：（1）反设: 假定所要证的结论不成立，即结论的反面（否定命题）成立；（否定结论） （2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾） （3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立（结论成立）注意：（1）当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的 （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误（3）反证法中常见词语的否定形式原 词否定形式至多有个（即）至少有个（即）至少有个（即）至多有个（即）个都是个不都是（即至少有一个不是）特例至多有一个至少有两个至少有一个至多有0个，即一个也没有变式训练：（2011安徽）设直线，其中实数满足证明：相交【解答】反证法假设与不相交，则与平行，有，代入，得，这与为实数的事实相矛盾，从而，即相交四、【解法小结】1分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步：分清命题“”的条件和结论；第二步：作出与命题结论相矛盾的假定；第三步：由和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况五、【布置作业】必做题：1关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是_2设，则的大小关系是_3设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是_（填写所有正确条件的代号）为直线，为平面；为平面；为直线，为平面；为平面，为直线；为直线4如果，则应满足的条件是_5（1）设是正实数，求证：；（2）若，不等式是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的的值必做题答案：1 23 45（1）证明是正实数，由基本不等式知，故（当且仅当时等号成立）（2）解：若，不等式仍然成立由（1）知，当时，不等式成立；当时，而，此时不等式仍然成立选做题：1若为的三边，其中为斜边，那么当，时，与的大小关系为_2下面有3个命题：当时，的最小值为2；将函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象；在中，则的外接圆半径类比到空间，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为则三棱锥的外接球