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文档简介

Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解谢大侠先。四月 22nd, 2010 by 大俠 本文的閱讀等級：初級設 為向量空間 的子空間，且 為其基底，因此 ，。在一些應用時機，如最小平方法，我們希望從已知基底建構出另一組正交正規基底 ，亦即 ，若 ，且對於任意 ，。下面先考慮實數幾何向量空間，稍後再推廣至一般內積空間（相關延伸閱讀有“內積的定義”，“從幾何向量空間到函數空間”）。Gram-Schmidt 正交化（orthogonalization）是基礎線性代數採用的標準做法，包含兩個部分：正交化：對於 ，由 的線性組合產生 ，且當 時，。正規化：將 的每個向量 正規化為單位向量 ，最後得到正交正規基底 。我們採用歸納法推導由給定基底 求得正交基底 的 Gram-Schmidt 正交化過程。為便於說明，考慮簡單情況 。因為 包含線性獨立基底向量，故可令見下圖，將 正交投影至 所指直線的分量扣除就得到 ：顯然，。上式的扣除量還有另一種表達方式，利用矩陣乘法結合律可得：其中 為 向量投影至 的正交投影矩陣，對此式疑惑的讀者請參閱“正交投影威力強大的代數工具”。繼續下一個步驟，將 投影至 和 所擴張的子空間分量扣除可得 ，因為 和 正交（如下圖所示），於是有上式也有對應於正交投影矩陣的推導。設 ，將 至 的行空間 的投影量從 扣除即得 ，計算式如下：最後再將得到的 正規化，令 ，。注意，Gram-Schmidt 正規化過程顯示新基底向量 可以表示為舊基底向量 的線性組合。反過來說也對，亦即 可寫為 的線性組合，如下：如果進一步將正規化結果納入上式，直接替換 為 ，就有利用 為正交正規向量集性質，各組合權重 即為 與 內積：，例如，將前述方程組寫為矩陣形式即得到著名的 QR 分解式：因為 ，主對角元 亦可表示為我們以一個例子來說明 Gram-Schmidt 正交化演算程序，考慮矩陣 的行向量就是 ，下面用演算法形式記錄計算步驟。正交化：，正規化：整理結果便得到 QR 分解矩陣：上述實數矩陣的 QR 分解可以推廣至廣義內積空間 ，做法是把幾何內積算式 取代為廣義內積 ，將數字 代回 ，再加上一些即可。設 階矩陣 包含 -維線性獨立行向量 ，其 QR 分解式為其中 階矩陣 包含正交正規行向量， 則為 階上三角形矩陣，主對角元的計算如下：，當 如果 的行空間與 的行空間相等，則 必須是可逆矩陣，也就是說 的主對角元皆不為零。利用 QR 分解可化簡線性方程 ，將 代入前式，並左乘 ，利用 ，就有再使用反向迭代即能得出解。讀者或許納悶：以高斯消去法解線性方程式比 QR 分解簡單容易，何須如此費事呢？從表面上看，似乎如此。然而，在一些特定的問題中，QR 分解的精確度比高斯消去法高；另外，QR 分解有它自己的典型應用求解最小平方法。當方程式 無解時，我們可以考慮它的最小平方近似解，問題轉而求正規方程
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