高中数学 第一章 常用逻辑用语 2.3 充要条件课件 北师大版选修11.ppt

第一章 2充分条件与必要条件 2 3充要条件 学习目标1 理解充要条件的意义 2 会判断 证明充要条件 3 通过学习 弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一充要条件的概念 思考1 命题 若整数a是6的倍数 则整数a是2和3的倍数 中条件和结论有什么关系 它的逆命题成立吗 只要满足条件 必有结论成立 它的逆命题成立 答案 思考2 若设p 整数a是6的倍数 q 整数a是2和3的倍数 则p是q的什么条件 q是p的什么条件 因为p q且q p 所以p是q的充分条件也是必要条件 同理 q是p的充分条件 也是必要条件 答案 梳理 一般地 如果既有p q 又有q p 就记作 此时 我们说 p是q的 简称 p q 充分必要条件 充要条件 知识点二充要条件的判断 1 由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件 必要条件和充要条件若原命题为 若p 则q 则逆命题为 若q 则p 那么p与q有以下四种情形 p q 但q p q p 但p q p q q p 即p q 由上表可得充要条件的判断方法 原命题和逆命题均为真命题 p才是q的充要条件 p q q p 2 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p a x p x 成立 q b x q x 成立 题型探究 例1下列各题中 p是q的什么条件 指充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要条件 1 p 四边形的对角线互相平分 q 四边形是矩形 解答 类型一充要条件的判断 四边形的对角线互相平分 四边形是矩形 四边形是矩形 四边形的对角线互相平分 p是q的必要不充分条件 2 p a2 b2 0 q a b 0 解答 a2 b2 0 a b 0 a b 0 a b 0 a2 b2 0 p是q的充分不必要条件 解答 4 p sin sin q 解答 由sin sin 不能推出 反过来由 也不能推出sin sin p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件 则p是q的既不充分又不必要条件 充要条件的常用判断方法 1 命题判断法设 若p 则q 为原命题 那么 原命题为真 逆命题为假时 p是q的充分不必要条件 原命题为假 逆命题为真时 p是q的必要不充分条件 原命题与逆命题都为真时 p是q的充要条件 原命题与逆命题都为假时 p是q的既不充分又不必要条件 2 集合法若p与q确定的集合分别是a b 则当且仅当a b时 p是q的充要条件 反思与感悟 跟踪训练1 1 x 1 是 x 2 0 的a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分又不必要条件 答案 解析 由x 1 x 2 3 x 2 0 x 2 0 x 2 1 x 1 故 x 1 是 x 2 0 成立的充分不必要条件 故选b 2 设x 0 y r 则 x y 是 x y 的a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分又不必要条件 答案 解析 当x 1 y 2时 x y 但x y 不成立 因为 y y 所以若x y 则x y 所以x y是x y 的必要不充分条件 命题角度1探求充要条件例2求关于x的一元二次不等式ax2 ax 1 a 0对于一切实数x都成立的充要条件 类型二充要条件的探求与证明 解答 充分性 当00对一切实数x都成立 而当a 0时 不等式ax2 ax 1 a 0化为1 0 显然当a 0时 不等式ax2 ax 1 a 0对一切实数x都成立 必要性 因为ax2 ax 1 a 0对一切实数x都成立 故0 a0对一切实数x都成立的充要条件 探求一个命题的充要条件 可以利用定义法进行探求 即分别证明 条件 结论 和 结论 条件 也可以寻求结论的等价命题 还可以先寻求结论成立的必要条件 再证明它也是其充分条件 反思与感悟 跟踪训练2设a b c为 abc的三边 求方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件 解答 先由题意求出条件 设 是两方程的公共根 显然 0 则 2 2a b2 0 2 2c b2 0 得2 2 2 a c 0 a c 代入 得 a c 2 2a a c b2 0 即a2 b2 c2 以上求条件的过程就是必要性的证明过程 再证明充分性 a2 b2 c2 方程x2 2ax b2 0 可化为x2 2ax a2 c2 0 它的解为x1 a c x2 c a 同理方程x2 2cx b2 0可化为x2 2cx a2 c2 0 它的解为x3 a c x4 a c x1 x3 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根 综上所述 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是a2 b2 c2 命题角度2充要条件的证明例3求证 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 证明 充分性 ac0 方程一定有两个不等实根 方程的两根异号 即方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 必要性 方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 设两实根为x1 x2 则由根与系数的关系得x1x2 0 即ac 0 综上可知 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 一般地 证明 p成立的充要条件为q 在证充分性时 应以q为 已知条件 p是要证明的 结论 即q p 证明必要性时 则是以p为 已知条件 q是要证明的 结论 即p q 反思与感悟 跟踪训练3求证 一次函数f x kx b k 0 是奇函数的充要条件是b 0 证明 充分性 如果b 0 那么f x kx 因为f x k x kx 所以f x f x 所以f x 为奇函数 必要性 因为f x kx b k 0 是奇函数 所以f x f x 对任意x均成立 即k x b kx b 所以b 0 综上 一次函数f x kx b k 0 是奇函数的充要条件是b 0 类型三充分条件与必要条件的应用 例4已知p 3x m0 若p是q的一个充分不必要条件 求m的取值范围 解答 由x2 2x 3 0得 x3 q b x x3 m 3 即m的取值范围是 3 首先应把p与q之间的关系转化为p q确定的集合之间的包含关系 然后 构建满足条件的不等式 组 求解 同时要注意命题的等价性的应用 反思与感悟 q x2 由题意知 x x k x x2 则k 2 k的取值范围是 2 跟踪训练4已知p x k q 1 如果p是q的充分不必要条件 则k的取值范围是a 2 b 2 c 1 d 1 答案 解析 当堂训练 2 3 4 5 1 1 x2 2017 是 x2 2016 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 答案 2 a b 是 a b 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分又不必要条件 由a b a b 而a b推不出a b 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 已知实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 下列结论中正确的是 b2 4ac 0是这个方程有实根的充分条件 b2 4ac 0是这个方程有实根的必要条件 b2 4ac 0是这个方程有实根的充要条件 b2 4ac 0是这个方程有实根的充分条件 a b c d b2 4ac 0是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有实根的充要条件 利用该结论可知 正确 由于 b2 4ac 0时 方程有相等实根 故 是正确的 答案 解析 2 3 4 5 1 4 直线x y m 0与圆 x 1 2 y 1 2 2相切的充要条件是 答案 解析 m 4或 m 0 解得m 4或m 0 5 已知p 3x m0 若p是q的一个充分不必要条件 求m的取值范围 解答 2 3 4 5 1 由x2 2x 3 0 得x3 q b x x3 p q而q p a b m 3 即m的取值范围是 3 规律与方法 1 充要条件的判断有三种方法 定义法 命题等价法 集合法 2 充要条件