江苏省高考数学一轮复习 试题选编6 函数的应用问题 苏教版.doc

江苏省2014届一轮复习数学试题选编6：函数的应用问题一、解答题 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为.)(1)设室内,室外温度均分别为,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为,且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用,及表示);(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计的大小?图1图2墙墙8t1t2室内室外墙墙x4t1t2室内室外4（第17题） 【答案】解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为, 则, (2)由(1)知, 当4%时,解得(mm). 答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图所示,有两条道路与,现要铺设三条下水管道,(其中,分别在,上),若下水管道的总长度为,设,.(1)求关于的函数表达式,并指出的取值范围;(2)已知点处有一个污水总管的接口,点到的距离为,到点的距离为,问下水管道能否经过污水总管的接口点?若能,求出的值,若不能,请说明理由.【答案】 （江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在一个矩形体育馆的一角man内(如图所示),用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域,已知b是墙角线am上的一点,c是墙角线an上的一点.(1)若bc=a=10,求储存区域三角形abc面积的最大值;(2)若ab=ac=10,在折线mbcn内选一点d,使db+dc=a=20,求储存区域四边形dbac面积的最大值.abcmnd(第17题图)【答案】(1)因为三角形的面积为倍abac,所以当ab=ac时其值才最大,可求得为25 (2)求四边形dbac面积可分为abc跟bcd两个三角形来计算,而abc为定值可先不考虑,进而只考虑三角形bcd的面积变化,以bc为底边,故当d点bc 的距离最长时面积取得最大值.因为db+dc=a=20总成立,所以点d的轨迹是一个椭圆,b.c是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有当d点在bc的中垂线上时点d到bc的距离才能取得最大值,再结合题意四边形dbac刚好是一个边长为10的正方形,其面积为100 （江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷.这个人每月应还贷多少元?为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:)【答案】设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元 （江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成的总面积为19.5(米2),其中abcd是一个矩形,efcd是一个等腰梯形,梯形高h=ab, tan fed=,设ab=x米,bc=y米.()求y关于x的表达式;()如何设计x,y的长度,才能使所用材料最少?【答案】 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知一块半径为的残缺的半圆形材料,o为半圆的圆心,残缺部分位于过点的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以为斜边;如图乙,直角顶点在线段上,且另一个顶点在上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.abocd（第17题甲图）abocd（第17题乙图）e【答案】如图甲,设, 则, 所以 , 当且仅当时取等号, 此时点到的距离为,可以保证点在半圆形材料内部,因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为 abocd（第17题甲图）abocd（第17题乙图）e 如图乙,设,则, 所以, 设,则, 当时,所以时,即点与点重合时, 的面积最大值为 因为, 所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为 （江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在海岸线一侧c处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了a、b两个报名点,满足a、b、c中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将a、b两处游客分别乘车集中到ab之间的中转点d处(点d异于a、b两点),然后乘同一艘游轮前往c岛.据统计,每批游客a处需发车2辆,b处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设,每批游客从各自报名点到c岛所需运输成本s元.写出s关于的函数表达式,并指出的取值范围;问中转点d距离a处多远时,s最小?【答案】解: (1)由题在中,. 由正弦定理知,得 (2),令,得 当时,;当时,当时取得最小值 此时, 中转站距处千米时,运输成本最小 （江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边ad为半圆的直径,o为半圆的圆心,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形,其底边.(1)设备,求三角形铁皮的面积;(2)求剪下的铁皮三角形面积的最大值.【答案】(1)设mn交ad交于q点 mqd=30,mq=,oq=(算出一个得2分) spmn=mnaq=(1+)= (2)设moq=,0,mq=sin,oq=cos spmn=mnaq=(1+sin)(1+cos) =(1+sincos+sin+cos) 令sin+cos=t1,spmn=(t+1+) =,当t=,spmn的最大值为 （南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,为长方形薄板,沿ac折叠后,交dc于点p.当adp的面积最大时最节能,凹多边形的面积最大时制冷效果最好.(1)设ab=x米,用x表示图中dp的长度,并写出x的取值范围;(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?abcd（第17题）p【答案】解:(1)由题意,.因,故 设,则. 因,故. 由 ,得 , (2)记的面积为,则 , 当且仅当(1,2)时,s1取得最大值 故当薄板长为米,宽为米时,节能效果最好 (3)记的面积为,则 , 于是, 关于的函数在上递增,在上递减. 所以当时,取得最大值 故当薄板长为米,宽为米时,制冷效果最好 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值情况. （2012年江苏理）如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【答案】解:(1)在中,令,得.由实际意义和题设条件知.,当且仅当时取等号.炮的最大射程是10千米.(2),炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,即关于的方程有正根.由得.此时,(不考虑另一根).当不超过6千米时,炮弹可以击中目标.（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,某广场中间有一块扇形绿地oab,其中o为扇形所在圆的圆心,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在上选一点c,过c修建与ob平行的小路cd,与oa平行的小路ce,问c应选在何处,才能使得修建的道路cd与ce的总长最大,并说明理由.【答案】 （江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为,半径为(米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托,所在圆的圆心都是、半径都是(米)、圆弧的圆心角都是(弧度);灯杆垂直于地面,杆顶到地面的距离为(米),且;灯脚,是正四棱锥的四条侧棱,正方形的外接圆半径为(米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为(弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元),灯托造价是每米(元),其中,都为常数.设该灯架的总造价为(元) .(1)求关于的函数关系式;(2)当取何值时,取得最小值?【答案】 （江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）随着机构改革开作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员人(140420,且为偶数,每人每年可创利万元. 据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?【答案】解答:设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,则 依题意 (1)当取到最大值; (2)当取到最大值; 答:当70a0,则f (x)=2x-=,x0.故x(,4)4(4,8)8f (x)-0+f(x)646480所以f(x)的取值范围为64,80,从而l的范围是8,4; 当折痕是情形时,设am=xcm,dn=ycm,则(x+y)6=16,即y=-x.由得0x.所以l=,0x.所以l的范围为6,; 当折痕是情形时,设bn=xcm,am=ycm,则(x+y)8=16,即y=4-x.由得0x4.所以l=,0x4.所以l的取值范围为8,4.综上,l的取值范围为6,4 （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）如图所示,已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上.()设米,米,将表示成的函数,求该函数的解析式及定义域;()求矩形面积的最大值.【答案】 （南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;(2)当为多少平方米时, 取得最小值?最小值是多少万元?【答案】解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 由,得 所以 (2)因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元 (说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分) （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1270元. (每平方米平均综合费用=).(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?【答案】【解】(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为1010005平方米,所有建筑费用为 (k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)100010,所以, 1270=,解之得:k=50 (2)设小区每幢为n(nn*)层时,每平方米平均综合费用为f (n),由题设可知 f (n) = =+25n+8252+825=1225(元) 当且仅当=25n,即n=8时等号成立 答:该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元 （连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加;报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;(2)若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a(