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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、 函数的单调性1、函数单调性的判定定理定理4.3 设函数在内可导，那么如果时，恒有 在内递增（等号仅在有限个点处成立）如果时，恒有 在内递减（等号仅在有限个点处成立）注：定理中的区间也可换成其它形式的各种区间2、补充概念1 驻点：使的点，称为的驻点。2 临界点：函数的驻点与函数的导数不存在的点统称为临界点。例1 确定的单调增减区间 -1 1+-+注：（1）复习序轴标根法：每个因子中的系数为正数轴上只标出单重根画波浪线时总是从右上侧入手。（2）单调性的一般步骤解方程求出所有的根及导数不存在的点，即临界点将所有的临界点从小到大排列划分函数的定义域，列表，由判定定理写出结果最后写出综合的结果例2 确定的增减性例3（补充） 确定的单调区间3、利用单调性证明不等式例4（补充） 当时，求证：当时，求证：补充(900406)当时，求证：二、曲线的凹向与拐点1曲线的凹向概念定义4.2 曲线弧位于其上任意一点切线的上方 曲线在这个区间上上凹的U曲线弧位于其上任意一点切线的下方 曲线在这个区间上下凹的 下凹 上凹U定义：设在区间I内连续，如果对I上任意的两点恒有：凹的凸的注：常用凸凹性来证明不等式。如习题34： 8（3）设即可。特别的：如果曲线是凹的，且则对有利用它来证明不等式。例：习题34： 8（5）设凸的又，故对任意的有2、曲线凸凹性的判定定理定理7 设在内具有二阶导数，则有 上凹有 下凹3曲线的拐点及其判断1）定义3 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。2）拐点的判定定理区间+ U-拐点- n+ U拐点+ U+ U无拐点- n- n注： （1）只关心在左右邻近，存在且符号相反，则为拐点。与，存在与否无关。（2）拐点的可能取值：或不存在的点（可能存在，也可能不存在）例1 求的凹向与拐点解： 0 1区间+-+ Un U 拐点 拐点例2 求的凹向与拐点解：（不存在的点） 2区间-+n U 拐点三、小结：（1）单调性与极值：求出的根，不存在的点，然后再列表讨论。（2）凸凹性与拐点：求出的根，不存在的点，然后再列表讨论。作业：课堂练习34： 1，2 习题34： 1，2，4
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