刘小芹 -金融 -障碍期权的理论及数值定价方法.doc

Liaoning Normal University（2012届）本科生毕业论文(设计)题 目： 障碍期权的理论及数值定价方法学 院： 数学学院专 业： 数学与应用数学（金融数学）班级序号： 6班17号学 号： 20081808020070学生姓名： 刘小芹指导教师： 王静 2012年5月目 录摘要(关键词)1Abstract(Key words)1前言11障碍期权11.1障碍期权的概念及分类11.2障碍期权的性质22在Black-Scholes偏微分方程框架中为障碍期权定价32.1障碍期权的定价基本原理32.2障碍期权的具体定价公式42.3障碍期权定价的扩展53障碍期权的数值定价方法63.1将结点设置在障碍上73.2结点不在障碍水平上的调整73.3适应性网状模型（The adaptive mesh model）74障碍期权的套期保值84.1静态套期保值84.2反射保值85总结8参考文献9致 谢10i障碍期权的理论及数值定价方法障碍期权的理论及数值定价方法摘要：期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。下面将介绍其中一种新型期权障碍期权,有障碍的期权要比完全没有障碍的期权的价格来的低。障碍期权是经典的依赖路径的期权，购买障碍期权的投资者往往对标的资产的走向有很明确的看法，或是为了对冲相似的现金流。本文首先将给出障碍期权的概念，然后分析其性质和其定价基本原理，接着分析障碍期权的数值定价方法，最后分析障碍期权的套期保值。 关键词：障碍期权；依赖路径；数值定价方法 Abstract：The options market is one of the worlds most dynamic and changing market, Profit and hedging needs to continuously promote the new tool in the generation of. The following will be introduced in which a novel option - barrier option, A barrier option than no barrier option price low.Barrier options is the classic path dependent options. The purchase of barrier options investors often underlying asset to have a clear view, or for similar cash flow hedge. This paper first gives the concept of barrier option. Then analyze the nature and the pricing principle, The analysis of numerical methods for pricing barrier options, The final analysis of barrier option hedging.Key words：Barrier options; dependent pathway; numerical pricing methods前言 奇异期权是世界上最具有生命力的金融工具之一，它的内涵和外延无时不处在变化和拓展当中，没有人能够说出究竟有多少种奇异期权，也没有人能够精确地对它们进行分类和完全描述, 只要市场需要，奇异期权就会不断延展不断衍生，我们过去或现在称之为奇异期权的东西，也正在成为进一步衍生的基础。而期权是风险管理的核心工具,1973年,Black和Scholes建立了著名的期权定价模型-Black-Scholes模型,此后,期权定价理论得到迅猛发展。近年来, 国际金融衍生市场除了人们熟知的欧式期权和美式期权之外,还涌现出了大量由标准期权变化、组合、派生出的新品种。障碍期权便是新型期权的一种,障碍期权要比普通欧式期权价格便宜,因此受到市场的青睐,被广泛的用来进行风险管理。障碍期权推出初期，交易量不大，很少人能很熟练地为它们定价。但现在，障碍期权的市场容量急剧扩大，人们还根据市场需求对它们作了进一步的变形。有障碍的期权要比完全没有障碍的期权的价格来的低，这也是为什么人们对障碍期权感兴趣的一个原因。障碍期权是经典的依赖路径的期权，购买障碍期权的投资者往往对标的资产的走向有很明确的看法，或是为了对冲相似的现金流。1障碍期权 1.1障碍期权的概念及分类障碍期权（Barrier Options）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。通常有许多种不同的障碍期权在场外市场进行交易，它们一般可以归为两种类型：1. 敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被“敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个常规期权。2. 敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：1. 如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。2. 如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。将以上分类进行组合，我们起码可以得到八种不同的障碍期权：（1） 向上敲入看涨期权（up and in call）；（2） 向下敲入看涨期权（down and in call）；（3） 向上敲入看跌期权（up and in put）；（4） 向下敲出看跌期权（down and in put ）；（5） 向上敲出看涨期权（up and out call）；（6） 向下敲出看涨期权（down and out call）；（7） 向上敲出看跌期权（up and out put）；（8） 向下敲出看跌期权（down and out put）。障碍期权推出初期，交易量不大，很少人能很熟练地为它们定价。但现在，障碍期权的市场容量急剧扩大，人们还根据市场需求对它们作了进一步的变形。现在，也许只有那些在以上这些基本的障碍期权之上增加了许多新的特殊交易条款的期权才能被叫做奇异期权了。这些条款包括：1. 障碍水平的时间依赖性，即随时间不同障碍水平将发生变化，比如障碍水平从某一个位置开始，逐渐上升。通常来说，障碍水平会是一个时间的分段常数函数（即在一段时间之内维持一个固定的水平，之后发生变化再维持一个水平）。其中的极端例子是被保护或是部分障碍期权（Protected or Partial Barrier Options）。在这类期权中，障碍是间歇性的，在一段特定的时间内，障碍会完全消失。其中又可以分为两类，一种是在障碍有效的时间内，只要资产价格处于障碍水平之外，障碍条件就被引发；第二种则是只有资产价格在有效时间内越过障碍，才被引发，如果价格已经位于障碍水平之外则不会引发。2. 双重障碍(Double Barrier)：期权条款中包含一个障碍上限和障碍下限。上限高于现价，而下限则低于现价。在一个双重敲出期权中，如果任何一个障碍水平被触及，期权就作废。在一个双重敲入期权中，规定时间内价格至少要达到其中一个障碍水平期权才可有效。我们还可以想象其他的情况：一个障碍水平是敲入，而另一个则是敲出。到期时，这个合约可能是一个敲入或是敲出的期权的回报。3. 多次触及障碍水平（Repeated Hitting of the Barrier）：双重障碍期权可以进一步变得更复杂：有一类期权要求在障碍条件被引发之前，两重障碍水平都要被触及。实际上当其中一个障碍水平第一次被触及，这个合约就变成了一个常规的障碍期权，因此，这种期权可以看成一个在较低的障碍水平上的向上期权和一个在较高水平上的向下期权之和。4. 障碍水平的重新设定：这种期权叫做重设障碍期权（Reset barrier）。当触及到障碍水平的时候，合约变成另一个不同障碍水平的障碍期权。由于如果在规定时间之内障碍被触及的话，我们就会得到一个新的障碍期权，而如果在一定时间之后被触及，则仍然是常规期权，在此意义上，这类合约可以看作是依赖于时间的。和这类合约相关的一类期权是上卷期权（Roll-up）和下卷期权（Roll-down）。这类期权开始时是常规期权，但如果资产价格达到某一事先确定的水平，就变为一个障碍期权。比如，一个上卷看跌期权，如果上卷水平达到，合约就变成一个向上敲出看跌期权，上卷价格就是障碍看跌期权的执行价，相应的障碍水平则是事先确定好的。5. 外部障碍期权（Outside Barrier Options）：外部或称为彩虹障碍期权（Rainbow Barrier Option）的回报特征取决于第二种标的资产。这样这个期权中的障碍水平可能被一个资产价格的变动触发，而期权的回报则取决于另一种资产价格。这类产品显然属于多因素合约。6. 提前执行的可能性：除了以上对障碍的多种创新之外，还可以在障碍期权中加入美式提前执行的条款，这时合约中一定要列明如果合约提前执行的话，期权回报将如何。7. 部分折扣（Rebate）：有时障碍期权合约中会规定，如果触及障碍水平，可以部分退款（折扣）。这常常发生在敲出期权的情况下，这时这部分退款可以看作是对失去的回报部分的缓冲。这部分退款可以在障碍被引发时或是到期时才支付。1.2障碍期权的性质分析障碍期权的性质之前我们先了解一下什么是路径依赖期权。所谓的路径依赖（Path Dependence）性质是指期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖（Weak Path Dependence）和强式路径依赖（Strong Path Dependence）两种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。与弱式路径依赖对应的强式路径依赖，在奇异期权中也相当常见。这些期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说我们不能将期权价格简单写作，我们还需要获得资产价格路径的更多信息。从障碍期权的基本分析中我们可以看到，障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。比如，一个向上敲出看涨期权在到期时同样支付，除非在此之前资产交易价格达到或超过障碍水平。在这个例子中，如果资产价格到达这个价位（显然是从下面向上达到），那么该期权敲出。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。这和我们在后面将看到的那些强式路径依赖的期权如亚式期权等是不同的。关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。障碍期权受欢迎的主要原因在于：它们通常比常规期权便宜，这对那些相信障碍水平不会（或会）被引发的投资者很有吸引力。而且，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。通常来说，购买者对于市场方向都有相当精确的观点，如果他相信标的资产价格的上升运动在到期之前会有一定的限制，希望获得看涨期权的回报，但并不想为所有上升的可能性付款，那么他就有可能去购买一份向上敲出期权。由于上升运动受到限制，这个期权的价格就会比相应的普通看涨期权价格便宜。如果他是对的，那么这个障碍水平并不会被引发，他就可以得到他所想要的回报。障碍距离资产价格现价越近，期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相应的普通期权便宜。2在Black-Scholes偏微分方程框架中为障碍期权定价2.1障碍期权的定价基本原理障碍期权是弱式路径依赖的，这使得我们仍然可以直接应用Black-Scholes期权定价偏微分方程来为其定价。在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足： 而障碍条件则反映在相应的边界条件上。1. 敲出障碍当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为当时， （2.1）其中可以是向上或向下的障碍水平。对于一个向上敲出障碍期权来说，我们要在的条件下解出Black-Scholes偏微分方程，同时考虑资产价格达到时的边界条件（2.1），最后如果障碍水平没有达到，还需要考虑回报。如一个看涨期权，我们有： （2.2）这一边界条件。如果是一个向下敲出障碍期权，则将范围改为，考虑相应的两个边界条件，解出偏微分方程。注意如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件（2.1）可以修改为：其中R为折扣数。2. 敲入障碍敲入期权只有在障碍水平被触及的时候才有价值，因此，如果没有到达障碍水平，则对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值就等于一个相应的常规期权价值。当时，对于敲入期权来说，当障碍被触及时，我们得到的是衍生工具本身，因此一个敲入期权实际上是一个二阶合约。在解敲入期权价值的时候，我们必须先得到常规期权的价值，因此要花解敲出期权两倍的时间，才能得到敲入期权的价值。3. 敲入和敲出障碍期权的关系在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系：敲入期权敲出期权执行价格和时间相同的常规期权这是因为无论资产价格是否触及障碍水平，敲入期权和敲出期权的组合总能得到与常规期权相同的回报。这个关系在障碍期权定价中很有意义，只需要求出其中一个障碍期权，即可得到另一个的价值。2.2障碍期权的具体定价公式 对于某些特殊的障碍期权，使用Black-Scholes 定价公式很难计算它们的价格。并且有一些障碍期权只能利用数值算法进行定价。当假设波动率为常数、资产价格服从对数正态分布时，我们可以使用Black-Scholes偏微分方程解出很多种障碍期权的理论价格。在前面我们已经讨论过这些假设并不符合实际，而障碍期权的价格常常对这些假设很敏感，因此事实上这些理论价格公式在实际中很少使用，而是需要其他的技巧和方法来加以改进。所以这里我们只给出一些障碍期权理论价格的例子，目的是帮助理解障碍期权的定价。1.向下敲出看涨期权仍然用来表示与障碍期权具有相同的执行价格和到期时间的常规期权的Black-Scholes解析解，表示障碍水平，则一个的下降敲出看涨期权价格为 （2.3）我们可以用倒推法来证明它确实满足我们上面给出的方程和边界条件。首先，由于是Black-Scholes偏微分方程的解，容易证明对于任何的值，也是方程的解。其次，当时，显然，满足边界条件（2.1）。最后，当时，导致，边界条件（2.2）也得到了满足。从式（2.3）我们可以很容易地看到， ，即一个向下敲出看涨期权比相应的常规欧式看涨期权要便宜一些。2. 向上敲入看涨期权应用敲入和敲出期权之间的关系，我们可以得到，相应的向下敲入看涨期权价格为值得注意的是，如果H和执行价格X的位置关系不同，这里的价格也会变化。障碍期权由于运动方向（向上和向下）、敲入敲出和看涨看跌的不同组合，会形成八种不同的类型，只有在向下看涨期权和向上看跌期权中，才会因为H和X的位置关系不同而导致价格变化。其他情形下H和执行价格X只可能有一种位置关系，否则或者障碍或者期权没有意义。例如在向上敲出看涨期权中，必然，不然的话这个障碍期权是没有价值的。2.3 障碍期权定价的扩展1.障碍期权合约中增加条款的考虑以上我们给出的是常规障碍期权的定价，如果在合约中还加入对障碍水平和执行时间等方面的创新条款，定价时就必须增加考虑这些具体因素。比如美式提前执行条款是对组合价值增加一个简单的约束条件；双重障碍期权的价值等于一个在较低的障碍水平上的向上期权和一个在较高水平上的向下期权之和，可以以此为边界条件，解出Black-Scholes偏微分方程；而重设障碍期权价值则可以使用两次解出障碍期权价值的方法来求得；等等。有些扩展条款无法得到精确的解析解，就需要运用数值方法来为其定价。2. 波动率的选择正如我们之前已经讨论过的，Black-Scholes偏微分方程中对常数波动率的假设是不成立的，由此计算出来的理论价格在实际中并不适用，因此市场交易人员在为障碍期权定价时，并不会采用这个假设，而是利用其他的一些交易技巧来对此加以改进。其中一个常用的方法就是使用从常规期权市场中计算出来的隐含波动率矩阵，从中获得波动率的有关信息。之前我们强调了这种应用常规期权中得到的信息来为奇异期权定价的方法要小心使用，需要同时使用常规期权来为奇异期权套期保值，以降低模型风险，提高内部一致性。这与我们后面即将谈到的静态期权复制的关系十分密切。3. 标的资产价格的观察频率和障碍期权定价有关的另一个重要问题是：在检验资产价格是否达到障碍时，观测的频率为多少。以上给出的解析公式都假定连续观测。在实践中，障碍期权合约里常常会规定资产价格是每天一次的观测值，比如每天的收盘价。Broadie，Glasserman和Kou在他们的一篇论文里给出了当资产价格离散观测时对上述所有公式的一个调整：如果设m为股票价格观测的次数（这样就是每次观测之间的时间间隔），则公式中的障碍水平H要进行调整，对于向上的障碍期权，H应调整为 ，而向下的障碍期权则应为。3障碍期权的数值定价方法由于Black-Scholes偏微分方程得到的理论价格有时并不令人满意，那些增加了新的创新条款的障碍期权（如美式障碍期权）也常常无法得到精确的解析解，这时我们可以考虑使用数值方法来为障碍期权定价。我们这里主要介绍树图方法。在理论上，障碍期权可以用二叉树或是三叉树模型来定价，只要在原先模型的倒推过程中，在结点上增加考虑障碍的影响就可以了。但是，由于树图结点设置的障碍不同于真实的障碍水平，树图模型收敛缓慢。从图3-1和图3-2可以看到，在真实障碍附近，二叉树和三叉树图都形成了相应的内部障碍（Inner barrier，即紧邻于真实障碍内部的那些结点形成的障碍水平）和外部障碍（Outer barrier，即紧邻于真实障碍外部的那些结点形成的障碍水平），它们与真实障碍之差就形成了误差。实践中人们采用三种方法来克服这个问题，无论哪种方法，三叉树模型都比二叉树模型更有效率。图3-1三叉树图中的障碍水平图3-2 二叉树图中的障碍水平3.1将结点设置在障碍上这个方法的主要思想就是在构造树图的时候，通过参数设置，使得障碍水平正好能落在结点上。假设有两个水平障碍，那么在三叉树图中，使 （3.1）其中为整数。由于一般的三叉树中的隐含值为，要使得尽量与式（3.1）一致，即构造满足和的三叉树图。其中，我们选择第一个中心结点为且要尽量接近初始股票价格，即。通过以上设置构造出来的树图使得障碍水平落在结点上，能有效的克服障碍水平问题。像通常一样，树图中所有分支的概率选择都应与资产价格所遵循的随机过程的前两阶矩相匹配。3.2结点不在障碍水平上的调整 处理障碍的另一种方法是不变化树图，而是在倒推过程中进行相应的调整，计算当资产价格位于内部障碍结点上时衍生证券的两个值：第一个值假设内部障碍是真实障碍，第二个值假设外部障碍是真实障碍。然后通过内插法得到基于内部障碍的期权价值。我们可以举一个例子来说明。假设在某一时刻真实障碍距离内部障碍0.4，距离外部障碍0.6，这时分别计算出内、外部障碍是正确的情况下的期权价值为0和2，那么基于内部障碍的期权价值内插值就为0.8，用这种方法我们可以得到所有结点的基于内部障碍的期权价值，从而获得期权初始价值。这种方法可以推广到多个障碍的情况和障碍非水平的情况。3.3适应性网状模型（The adaptive mesh model）适应性网状模型也许是为障碍期权定价的最好方法。具体来说，就是当资产价格接近障碍水平时，我们使用高密度的树图使得结点能够落在障碍水平上，当然，在高密度的数图的参数设计中，要采用第一种方法（即将结点设置在障碍上）的设计思想。Figlewski和Gao对前述第一种方法和适应性网状模型进行了比较，他们发现适应性网状模型在计算效率上有了极大的改进，尤其在资产初始价格接近障碍水平时，第一种方法效果不太好，而适应性网状模型的效果则相当不错。4障碍期权的套期保值4.1静态套期保值 实现套期保值和风险管理是期权交易人员非常重视的一个问题。对于奇异期权来说这个问题尤其重要，因为它往往比常规期权更难保值。在障碍期权中，障碍水平的存在导致了期权中的（期权和资产的无套利组合中，期权价格变化对标的资产价格变化的比率）是不连续的，这时继续运用单位的标的资产为其动态保值就不可能了，而且保值成本也非常高。这时我们往往需要运用静态保值（Static Option Hedge）的方法。所谓的静态保值方法就是尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，如果期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。在静态套期保值中所用到的思想是：在边界条件上，构造那些常规期权组合的价值等于障碍期权的价值，从而为障碍期权保值，如果在边界上两个组合的价值都相等的话，那么边界之内它们的价值也必然相等，所以只需要考虑边界条件就可以了。这种保值方法由于不需要进行频繁的再调整而被称为“静态”保值，这使得它具有相当的优越性。对于许多无法用普通标的资产实现保值的衍生证券，这是行之有效的一个保值方法。前文在讨论使用隐含波动率的时候已经两次提及了这个问题。由于我们从交易活跃的常规期权中得到隐含波动率，并使用其中的信息为奇异期权定价，这时必须要使用相应的常规期权为之保值，才能减少模型使用错误的风险，保证定价的内在一致性。4.2反射保值下面我们给出另一种为障碍期权保值的方法，这个方法建立在反射原理（Reflection Principle）和看涨看跌对称(Put-call Symmetry)的基础上，很简单但效果相当不错，但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列的时候才有效。最简单的看涨看跌对称关系就是PCP平价关系。即假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水平H和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常规看跌期权空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们的组合头寸价值为，其中第一项来自障碍期权，第二项来自常规期权。根据平价关系和，组合价值正好等于。这是一个接近0的数。此时我们将两个期权平仓，就可实现保值。如果障碍水平没有触及，则两个期权到期时都没有价值。在执行价格和障碍水平不同的情况下，如果，我们可以用份执行价格为的看跌期权来为这个向下敲入看涨期权保值。因为如果资产价格触及障碍水平，向下敲入看涨期权就是一个执行价格为的常规看涨期权。如果利率为零，很容易从Black-Scholes看涨和看跌期权公式中看到这个看涨期权的价格等于份执行价格为的看跌期权的价值。可以看到这个看涨期权的执行价格和看跌期权执行价格的几何平均等于障碍水平。这就是反射原理：保值看跌期权的执行价格是看涨期权执行价格相对于障碍水平的反射。当利率非零时，在这个保值中有点误差，