二次函数与数学思想教学设计.doc

湖南师大附中高新实验中学 教案 课 题数学思想方法掘金之二次函数教学目标1、 理解数形结合思想、转化思想、建模思想、待定系数法、方程思想、分类讨论思想的定义及在二次函数中的作用和体现；2、 通过数学思想在二次函数问题中的运用，逐步养成运用数学思想思考和解决问题的习惯，体会数学的实质。教学重点 1通过数学思想在二次函数问题中的运用，逐步养成运用数学思想思考和解决问题的习惯，使得问题得到简化2数学结合思想、分类讨论思想的应用。教学难点 1通过数学思想在二次函数问题中的运用，逐步养成运用数学思想思考和解决问题的习惯，使得问题得到简化2数学结合思想、分类讨论思想的应用思想方法 数形结合思想、转化思想、建模思想、待定系数法、方程思想、分类讨论思想一、 回顾我们所了解的数学思想方法有哪些？它有什么作用？二、 新知探究1、数形结合思想：数形结合思想是把代数和几何相结合，对几何问题用代数方法，对代数问题用几何方法思考与解答的思想方法。 著名数学家华罗庚对数形结合思想的描述：数缺形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。数形结合思想的运用包括数推形和形推数。例1.（1）已知二次函数ya(x-1)2-c的图象 如图所示，则一次函数yax+c的大致图象可 能是（ A ）此题用的是：例1.（2）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：9a-3b+c=0 a-b+c0 abc 0，b0，cy2y3By1y3y2Cy3y2y1 Dy3y1y2 2.转化思想： 转化思想是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想. 例2 .抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ C ） A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明练习4. 已知函数y(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ B ）3.建模思想： 转化思想是运用数学的语言和方法，通过抽象、 简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种的数学思想方法。例3.(2005河北)某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；求y与x之间的函数关系式；当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？解：每个面包的利润为(x5)角卖出的面包个数为（30020x）（或160（x7）20） 当x=10时，y的最大值为500。当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得 的利润最大，最大利润为500角 例4. 如图,一位篮球运动员在点A处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮框.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数解析式(2)若该运动员身高1.8米,这次跳投时,球在他头顶上方0.25米处出手,他跳离地面多高?练习5.如图是一个汽车隧道，形状成抛物线，隧道路面宽10米，顶部到地面的距离为10米.高4米，宽4米的一辆厢式货车能否顺利经过这条单向行车的隧道？ 若此隧道是双向车道，那么这辆货车又能否顺利经过隧道？4.待定系数法： 待定系数法是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 例5.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。解：依题意把点（2，0）（-6，0）（0，3） 可得： 4a+2b+c=0 36a-6b+c=0 c=3 解得： a= b= -1 c=3所以二次函数的解析式为：练习.已知一次函数的图象经过点(3,5)与（4，9）.求这个一次函数的解析式解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b把点（3，5）与（-4，-9）代入所设解析式得, 3k+b= 5 - 4k+b= -9这个一次函数的解析式为y=2x-15.方程思想 方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式 。 一般的，要求几个未知数就通过几个方程来求得。例6. 已知二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+（a-3）x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。解:设M （x1，0），N （x2，0），且x1 x2，则x1、 x2是方程x2+2ax-2b+1=0的两个根。由根与系数的关系，得x1+ x2=-2a， x1 x2=-2b+1又 x1,x2是方程-x2+（a-3）x+b2-1 =0的两根，x1+ x2=a-3， x1 x2=1-b2 -2a =a-3且-2b+1 =1-b2，解得a=1，b=0或a=1，b=2。当a=1，b=0，二次函数的图象与x轴只有一个交点，应舍去。 a=1，b=2练习6.已知抛物线的顶点是（1，2）,且过点 （2，3)，求出对应的二次函数解析式. 练习7.已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与 x 轴的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式. 6.分类讨论思想把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。例7. 当 时，二次函数 有最大值 ，则实数m 的值为( C ) A. B. C. D. 三、小结：1、请同学们谈谈数学思想方法的意义和作用？ 2、这节课我们学习了一些什么数学思想方法？ 3、请大家要养成用数学思想方法思考和解决问题的习惯。备 注教学后记学生之前学习了二次函数的图象与性质，用函数观点看一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，对二次函数的相关概念和方法能比较熟练的掌握。本堂课着眼于数学思想方法的渗透和强化，这将有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，有助于提高学生的数学能力和数学水平，从而有助于培养学生