1 二元一次方程组及代入法.doc

二元一次方程组及代入法一、本讲教学内容及要求了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。灵活运用代入法解二元一次方程组。了解代入法解二元一次方程组的思想方法。二、本讲的重点、难点和关键：1重点：一次方程组的解法代入法和加减法。2难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。3关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。灵活地运用“代入法”和“加减法”。三、本讲重要数学思想：1通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。2在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。四、主要数学能力：1通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。2通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。五、化归思想：“解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。本章中“化归”思想的突出运用有：1化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。2化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。3化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。六、例题分析第一阶梯例1 1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的5倍的差是1，试列出二元一次方程，并求出此两位数。提示： （1）设甲、乙二数分别为x、y，可列出什么方程？能到出几个方程？ （2）x、y应为什么范围的什么样的数？参考答案： 解：设甲、乙二数分别为x、y，由题意有3x-5y=1， 说明：二元一次方程有无数个解（或没有不定解），但就具体问题而言，可以讨论它的一些特殊解的情况，此题属于求整数解的问题。例2若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=-1有公共解，求m的值？提示： 什么是公共解？即同时满足这三个二元一次方程参考答案： 说明：注意理解和运用公共解的概念的实质，解有关的问题。第二阶梯例1已知方程2xn-1-4y4m+n+1=0是二元一次方程，则m=_, n=_.解： 据二元一次方程定义，未知数x,y的次数都是1。 即：n-1=1, 4m+n=1 评析： 利用方程（组）及其解的定义，求待定的字母的值，是数学中常见的方法，应扣紧定义，灵活应对。例2 在x+3y=3中，若用x表示y，则y=_,用y表示x,则x=_.解：评析： 用含x（或y）的代数式表示y(或x)是代入消元法的基础，在化简、整理的过程中切忌产生符号错误。第三阶梯例1求符号给定条件的二元一次方程的解。方程7x+2y=25的正整数解。解：欲求方程的正整数解，25-7x必须是正偶数，则x是正奇数。 当x=1时，y=9 当x=3时，y=2.评析： 未知数有附加条件的二元一次方程，它的解往往由无数个变为有限个，解这类题目一般要根据有关数的性质，采取最佳解题策略。例2李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？提示：这个问题涉及到的未知量有：李平和张力分别骑车的时间，速度以及他们各自在公园游玩的时间，根据路程=速度时间的关系，在相同的路程内速度的大小又可以用时间长短反映出来，因此，上述未知量可以减少两个，题目中又给出了他们二人游玩和骑车所花的时间数量关系，这样只剩下两个未知量了，即李平骑车时间和张力骑车时间。参考答案：解：设从学校到公园李平用x小时，张力用y小时，则李平游玩时间为4y小时，张力游玩时间为5x小时，根据题意，可以得到x + 4y = y + 5x整理后得3y = 4x 显然上面式子，从学校到公园，张力用的时间比李平长，他的速度必定慢，李平速度快！说明：像上述中 3y = 4x这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以写成一般式ax + by = c（其中a , b , c是常数，且a , b0）把这个方程变形，用含x的代数式表，同样也可以用含y的代数式表示，如上述方程。七、检测题1、已知x,y,z都是未知数，a,b是已知数，下列是二元一次方程的个数为（ ）y=3x2-1 2x-4y=3z 2y=y+a xy-x=3 ax-3y=b2A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、下列各式是二元一次方程的是（ ）A、2x2-y=1 B、x2+y=x2+x C、x2=2x2-1 D、x- =13、下列关于二元一次方程2x-y=3的解，说法正确的是（ ）A、2x-y=3的解是x=1, y=-1B、2x-y=3的解是x=2, y=7C、x=1, y=-1是2x-y=3的一个解D、x=2, y=7是方程2x-y=3的一个解4、若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程，那么m的值应是( )A、m0 B、m=0 C、m是正有理数 D、m是负有理数5、方程x+2y=7在自然数范围内的解( )A有无数个 B有一个 C有两个 D有三个6、两列各对数值中是方程的解是（ ）A B C D7、二元一次方程的解有_个。8、_才是二元一次方程的解。9、若x=2,y=-1是方程3x-my=10的一个解，则m=_。10、已知二元一次方程2x-y=1，若x=2时，则y=_；若x=_，则y=-1.11、方程组的解一定是方程_和_的解12、根据下列语句，列出二元一次方程：（1）甲数的一半与乙数的和为11（2）甲数和乙数的2倍的差为1713、任何一个二元一次的方程都有_解。14、若是二元一次方程mx-2y=1、4的一个解，则m= _15、写出二元一次方程5x-3y=1的一个正整数解 _16、根据下列语句，列出二元一次方程（1）甲数的2倍与乙数的3倍的差为21（2）甲数的相反数与乙数的差的一半等于5答案：1、A 2、B 3、C 4、A 5、D 6、B7、无数8、能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值共解9、410、3；011、3x-7y=8、5x+3y=112、(1) x+y=11 (2)x-2y=1713、无数14、15、16、八、易错分析：1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y的值，这样，就会得到满足需要的数对。3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。5运用代入法解方程组应注意的事项：（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。（2）运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。（3）要判断求得的结果是否正确。6对二元一次方程组的解的理解：（1）方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。（2）“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义：因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满足这个方程组里两个方程的任何一个方程。例1、已知方程3xm+3-2y1-2n=15是一个二元一次方程，求m和n的值。分析：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：方程中含有两个未知数；方程中含有未知数的项的次数都是1。解：由题意得：m+3=1,1-2n=1 m=-2,n=0例2、下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？（1） （2） （3） （4） （5） 分析：由二元一次方程组的定义可知：方程组中的每个方程必须都是一次方程；方程组中的未知数共有两个；方程组中的两个方程必须都为整式方程，方程组（1）中含有3个未知数；（2）中的xy=2是二元二次方程；（5）中的 +y=6不是整式方程。解：（3），（4）是二元一次方程组。例3、方程组 的解为（）（A） （B） （C） （D）以上答案均不对分析：未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解。解：把x=-2,y=2代入方程，左边=3（-2）+42=2=右边，再代入方程，左边=2（-2）-2=-6，右边=5 左边右边。 （A）满足方程但不满足方程，故不是原方程组的解。同理可得，（B）满足方程又满足方程，所以是原方程组的解；而（C）满足方程但不满足方程，故不是方程组的解。 答案选择B。例4已知 是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值。分析：由 是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x, y的值适合方程 3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取 时方程成立。这样就可以将x=-2，y= 代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值。解： x=-2, y= 是方程3x-ay-2a=3的一个解， 3(-2)-a( )-2a=3 -6- -2a=3, - a=9, a=- 例5、解方程组 分析：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入中消去y。解：由得y=5x-3 把代入得2x+3(5x-3)=-9,17x=0, x=0把x=0代入得y=-3 例6、解方程组 分析：由于两个方程中x的系数都是2，代入时可把方程直接代入方程，而不必写成x= 。解：把代入，得3y+1-4y=3, y=-2把y=-2代入，得2x=3(-2)+1, x=-2 说明：此题也可由得2x=4y+3，代入求解，由此题的解法可看出，解方程组时根据题目的具体特点采取灵活的方法会使问题简化。例7、解方程组 分析：这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数。解：整理原方程组，得 由得，y=3x-4 (5)把代入，得3x-2(3x-4)=2,x=2把x=2代入，得y=32-4=2， 练习：填空题：（1）已知方程2x2n-1-3y3m-n+1=0是二元一次方程，则m=_,n=_。（2）方程y=3x2-x;3x+y=1;2x+4z=5z;xy=1; +y=0;x+y+z=1; +x=4中，是二元一次方程的有_。（3）二元一次方程 x- y=5有_个解。（4）用代入法解二元一次方程组 最为简单的方法是将_式中的_表示为_，再代入_。答案：（1） ，1（2）（3）无穷多（4），x , x=6-5y ,测试选择题1方程5x-3y=6的解是（ ）。A、只有一个 B、只有二个 C、有无数个 D、无解2方程x+2y-3=0中，x,y均为非负整数，那么x,y的值分别是（ ）。A、3，0 B、1，2 C、1，1 D、1，1或3，03方程3a+b=9，在正整数范围内的解的个数是（ ）。A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个4如果 是方程2x=3y+2k的一组解，那么k的值为（ ）。A、4 B、2 C、 D、 5对于方程3x-5=7y，用含x的代数式表示y，是（ ）。A、3x=7y+5 B、y= C、7y=3x-5 D、 6下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。A、 B、 C、 D、 7下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）。A、 B、 C、 D、 8在四对数值中，是方程组 的解是（ ）。A、 B、 C、 D、 9如果 （其中b0）是方程5x+y=0的一个解，则（ ）。A、a,b一定同号 B、a,b一定异号C、a,b可能同号，也可能异号 D、b0,a=010下列各方程组中，哪此是二元一次方程组（ ）。 A、 B、 C、 D、答案与解析答案：1.C2.D3.B4.B5.B6.A7.D8.D9.B10.C中考解析二元一次方程组考点扫描:1了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，2会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。名师精讲:1二元一次方程:含有两个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元二次方程。它的标准形式为：ax+by=c（a,b0）。2二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。一个二元一次方程有无数个解。一般地，给定方程中一个未知数的值，可求出相应的另一个未知数的值，那么，这一对数就是二元一次方程的解。3二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。它的一般形式是： 作为二元一次方程组中的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。4二元一次方程组的解两个二元一次方程的公共解叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，它就是方程组的解。说明：本节是二元一次方程及二元一次方程组的有关概念，一般中考不单独命题。用代入法解二元一次方程组考点扫描:1掌握运用代入法解二元一次方程组的方法步骤。2了解代入法解二元一次方程组的基本思想。名师精讲:1用代入法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，这种方法，体现了数学的“化繁为简”的基本思想。2用代入法解二元一次方程组的步骤是：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来；（2）将变形后的方程代入另一个方程中，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入（1）所得式子中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解；3运用代入法解方程组应注意的事项：（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。（2）如果两个方程中的x，y的四个系数中，有一个系数是1或-1，选取该方程进行变形，用另一个未知数把系数是1或-1的未知数表示出来，可使解方程的过程简单化。（3）要检验求得的结果是否正确。中考典例1（湖南长沙）解二元一次方程组： 考点：二元一次方程组的解法评析：本题第二方程中x的系数是1，y的系数是-1，将第二方程变形，用x表示y或用y表示x都较简单。解题具体过程如下。解： 由（2）得x=y-5 （3）将（3）代入（1）得2y-10+3y=40解得y=10将y=10代入（3）得x=5 真题专练:1（福建福州）已知a:b=3:1，且a+b=8，则a-b=_。2（江西）方程组 的解_。答案：14解：设3，则 38 2 6 242 解题过程如下：由得5，将代入得52-1，解得：2，将2代入得523 课外拓展不定方程趣谈一、从“百钱买百鸡”谈起5世纪末，我国数学家张丘建写了一本算经，书中有一道世界数学史上有名的“百钱买百鸡”题：一只公鸡5元，一只母鸡3元，三只小鸡1元，用100元想买100只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各买几只？如果设买公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，那么可列得方程组 （2）3（1） ，得14x+8y=200,即 7x+4y=100.和两个方程组成一个有三个未知数的方程组，经过消元，化为含有两个未知数的一个方程。在方程里，如果x取一个值，就可以求出与它对应的y的一个值。例如取 x=-2,则y=28.5；取 x=0, 则y=25；取 x=1.6, 则y=22.2；取 x=4, 则y=18；因为是一个二元一次方程，它有无数个解，所以原方程组也有无数个解。例如 由(1)得 z=100-x-y, 取 x=-2, 则y=28.5, 从而z=73.5； 取x=0, 则y=25, 从而z=75； 取x=1.6, 则y=22.2, 从而z=76.2； 取x=4, 则y=18, 从而z=78；一般来说，未知数的个数多于方程的个数，那么它的解就不确定，所以这类方程（组）叫做不定方程（组）。但是，不定方程（组）在特定的条件下，有时可以找到它的确定的解，如“百钱买百鸡”的问题，因为鸡的只数是非负整数，所以就有四组解。二、二元一次方