5.4高阶导数.doc

数学分析上册教案 第五章 导数与微分 4 高阶导数教学章节：第五章 导数与微分4 高阶导数教学目标：了解高阶导数的定义,熟悉高阶导数的计算.教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义,会求高阶导数与高阶微分.能正确理解和运用一阶微分的形式不变性,并与高阶微分清楚地加以区分.教学重点：高阶导数（微分）的计算.教学难点：高阶导数（微分）的计算.教学方法：以问题教学为主,结合练习.教学过程:引言前面已经看到,当变动时,的导数仍是的函数,因而可将再对求导数,所得出的结果（如果存在）就称为的二阶导数.例如,已知运动规律,则它的一阶导数为速度,即,对于变速运动,速度也是的函数：.如果在一段时间内,速度的变化为.那么在这段时间内,速度的平均变化率为,这就是在这段时间内的平均加速度,当时,极限就是速度在时刻的变化率,也就是加速度,即.综上知： .加速度是路程对时间的导数的导数.说加速度是路程对时间的二阶导数.记为 或.这就是二阶导数的物理意义.例如自由落体运动规律为：.一般地,有如下定义：一、高阶导数定义定义（二阶导数） 若函数的导函数在点可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,即,此时称在点二阶可导. 如果在区间I上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶可导函数,记作,或记作,.函数的二阶导数一般仍旧是的函数.如果对它再求导数,如果导数存在的话,称之为函数的三阶导数,记为,或.函数的阶导数的导数称为函数的阶导数,记为,或.相应地,在的阶导数记为： ,.二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数.二、高阶导数的计算的例子从高阶导数的定义可知,求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法.在概念上高阶导数没有什么新东西,但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧. 例1 ,求. 解 ,. 例2 ,求. 解 , 当为正整数时,.若是次多项式,则. 例3 ,求. 解 , 其中规定. 例4 ,求.解 , 同理可得 .用 Euler公式, 形式地 所以 ,. 例5 ,求.解 . 特别地 , .三、高阶导数的计算法则Leibniz 公式 .定理 若 有任意阶导数,则 ,.证明 用归纳法,已经成立. 设时成立,我们来证时也成立. 这个证明与牛顿二项式展开公式证明的格式是一致的,这里的更标准.最后一步用到了恒等式.注 将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：.（这里 ）,在形式上二者有相似之处.四、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数复合函数,反函数,参数式,隐函数归纳不出求高阶导数的公式,但至少我们可归纳出二阶,三阶导数的公式,那也是非常有用的.例如 设 , 互为反函数,则 又设为参数式,则 再设定义隐函数,则对两边求一次导,得出含的方程,解出来；求二次导,得出含的方程,可解出来.例6 ,求.解 这个函数求的公式是困难的,但求相对容易,这在今后研究它的Taylor 展开式时是有用的. , ，两边再对求一次导数,得.当时,可除去项,得.求次导数,用Leibniz 公式,得.把代入,得 ， , , 例7 设在点有一,二阶导数,满足,.求过点的圆,使得它在点与给定函数有相同的一二阶导数,该圆称为曲率圆,R 称为曲率半径,称为曲率,点称为曲率中心,它在工程中,比如铁路转弯的 设计中非常有用. 解 需要求的参数有三个.它们满足（1） 过点： （2） 在点一阶导数相同 （3） 在点二阶导数相同 由（3）解出 由（2）解出 由（1）解出 .例8 试求由摆线参量方程所确定