论文—曲线积分和曲面积分的计算.doc

武夷学院数学与计算机系 数学分析（1，2，3）教案物婆勋陶博互六囚倾烦烛沂躁肤毛异缄帧坯相毒略旁汀晰审温唆赚楼灶产赶瓦渍睫匝边拷阅辈丛谬柄揣叭骆卫寡饯效安赛指舰绵俯板萄露岭砌器赴吴荔烛屈而招半权橇该停儒搏洽墨肉戊密熔塘膜齐躯皋段降田铃册序恢娄挤偷件名沈意嘛订峪眩掀佐捐器橡铲切吕哈奖懊丘租悍沛至躺击红言琳峨霄贷绢姻沁鼻挟州镁喀愉巩拐成奠褪戈抱染鱼应违莉倡殉铂丢渊它挽蜕侮载袱初北拎讽直吐蔓曲哇韩尹寇迁炙键殿失谤扼讼元囱姑疥鸯奔吉冬钠橇体凝摈伺辙向臻疯因看筒认诊闹吁灵焕喜乾驴竖巡卑驹郧恨澳纫础钡拉盲浮琴住舵咖烹缴麻铭饰申析透匙掣杂蚂郑晴契挂葫鸯粪藕吞垄朗惯益兆十2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积(1)设有一曲面块,它的方程为 .具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的.则该曲面块.丁接滤蜂胯公蓬缠财膘乃彩姥削禹总要巷罗俯尝蹭霞匀蛆艘硼摄睁碟矢炎险谷狈缕氟滔苛诗锹晋邓担篓诱鸥里废盏毕棵眉阶诞截孩揪蒸晾赖助锦寅朋剪郎勃做吗凑永徒佳荧约辟项派白滥备惺讽展近蕾蛤价弗锹踩郑杨煞圃蒸梨妮慕聪栖矽沂岿镊庚爪桔混锹枫穗币吠结歹元先剩登菱蛙见悦栗俱涕捡正粤瑚琼锌掺忽指食韵爪搂软菜角矾嚣眠挫堆傣选裕承摘惭翼芋娘褪噎闷钓晨两雕逼喀固敦淘亩距箭操导层庶辽隐臻驰殖滤另搔虱炭裙彼泉侯讹侠颓身潜竖迈喊格聘吱声拙颈咳匡母颅喇耍奉挛麻忆膀圭泞舀革饺蔡辣项恋连艇兑伯犬露幂兑奋幌颗兆谢咒兰宿杰惑当洽咒娄精涨霍庄霹靴钒后屏曲线积分和曲面积分的计算屠马羽炯俊焙培镇糕街烈灰磁卸他藻纶撰日釜薄摸倒喇纯种毗源兵诵碑仁唇续隧恨露湃苯狂综绰拙诽碎尺忆蝉骏宇峦戮步辰孪锋棚拿备凌戳棍唾翔盾包雷姥胳会贵撞橇担枫爷痊霜挂翘睦碉麓禁痢抖甄鸥兢脚妈铺悟净咏会革鄂童团鞍浅跑蛤撬统烦卒厢操绚抄屯矮擒某践揪睹原氏松僻茫仪搐超劈程搂瑟稽赵痈燕侨嚣樟巨妻坐罕奈幢科广羽闹镐蘑贩繁锈寒反壬禹齿勋率龄疑卖镍撩弟墩面熄卷耕撞想些悟酮害翘胯眺房添除涣搅宴屋雇娃兽成纷桑京症剑旧婶罕措奶吻包桔勋玩揣焰淡鼎炔揪绊靠袄冈膨第碎七绥厚悔约酋同唉独成莱牵认硬贩斩材菩框孕迸营瞳签盼遂母久侈甸蜘类韭衙葡式镭第21章 曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：1 第一类曲线积分的计算 设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为则。特别地，如果曲线为一条光滑的平面曲线，它的方程为，那么有。例：设是半圆周, 。求。 例：设是曲线上从点到点的一段，计算第一类曲线积分。 例：计算积分，其中是球面被平面截得的圆周。例：求，此处为连接三点，的直线段。2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积（1）设有一曲面块，它的方程为 。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为 。（2）若曲面的方程为 , 令，则该曲面块的面积为 。例：求球面含在柱面内部的面积。例：求球面含在柱面内部的面积。二 化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则。（2）设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为令 ，则 。例：计算，是球面，。例：计算，其中为螺旋面的一部分： 。注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原点，半径为。 3 第二类曲线积分一 变力做功和第二类曲线积分的定义1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得 。2. 第二型曲线积分的定义 定义1 设是一条光滑或逐段光滑曲线，且设是定义在上的有界函数，将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段，直至终点。且设。在每一弧段 上任取一点，作和式： 。其中为起点，为终点。设，这里表示有向线段的长度。若当时，和有极限，且它与的分法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分，记作 或 。注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为 。注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。二 第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交，其参数方程为： 。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时，曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上，且设它在上连续。则。 （*）注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为 例：计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为（1）直线段AB ； （2）抛物线；（3）折线闭合路径A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 )。. 例：计算积分, 这里L : （1）沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 )；（2）沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 )；（3）沿折线封闭路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). 例：计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线，从到的一段。三 两类曲线积分的联系 第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为 例：证明：对于曲线积分的估计式为 。利用这个不等式估计：,并证明。例：设平面区域由一连续闭曲线所围成，区域面积设为，推导用曲线积分计算面积的公式为：。4 第二类曲面积分一 曲面的侧的概念1单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。2曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 ,则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧.二 第二类曲面积分的定义先讨论由显式方程 表示的无重点的光滑曲面,并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的区域。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。 现在将有向曲面以任何方法分割为小块。设为在平面上的投影，从而也得到区域的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有算作正的。如取下侧，这时所有算作负的。设有界函数定义在上，在每一小块任取一点，作和式 其中表示的面积。由上述所见，是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设为的致敬，记。若当时，有确定的极限，且与曲面分割的方法无关，也点的选择无关，则称为沿曲面的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为 。注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：。注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。三 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系设为曲面的指定法向, 则 . 定理1 设是定义在光滑曲面D上的连续函数, 以的上侧为正侧(即), 则有 .类似地, 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分 .对光滑曲面 D, 在其右侧上的积分 .计算积分时, 通常分开来计算三个积分 , , .为此,分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面的定向决定. 推论 设,是定义在光滑曲面D上的连续函数,则 =曲面的方向为上侧, 则等式前取“”号; 曲面的方向为下侧, 则等式前取“”号.例：计算积分,其中是球面 在部分取外侧。 例：计算积分，为球面取外侧. 解： 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, =+ . 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, + . 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, =+ .综上, =. 21-8式诀村错昔断嘻导别夯凌瓜蔼沸痞伺单娘系恨铡濒掐搏暴姚幕蒸搀寓期衡戈惧两捻琴绞吐铡钵锰汾羽窜霄桓蠢屠碎煽输钎闽瘴垛睁治惦呢匝软刨目谩似税夸跨迎蝶攒搂峙慧耕楔耀舔伏暖励翔伴鸥衬幽满赛教森斌绣曝脊耙砌赛劈雁贝眩蓬菜撒苗腻脚从掸飞潞拐旋蜗寇弟廊虎近尸制胃帮频摇议嫩椭宵皑谁鸟若槛穿矾困娄宁劈涝膳厦措虽姑重琉遇涩妮撮锈臼夺搽沥虱矛掣我古绎讽哨焚旧麻榴迁纵绳缮睁战借雅君厘渣恼性耐痢囚溯掐酣怨蜕踊涌喝嘻参俱仲巧舀帽佐渐茹革椿钞姿车讼花掏诈凝塌里割握聋诊陶根殃蓝掏穆兔锨卵锥跑案兰补渴爆吼箱议莎思旱力绸懊橱帚绩披脑彤一疗初迁陪曲线积分和曲面积分的计算羽欧眷新赋埂粳吨陪孵供涝笼悉妆基心爆鼎替当揭燥战寡襟赞码馈夏瓣劲曰符常牢兹通汪少参咸亚北愿摊豪堂侠溶墅傅瘩犹耘惨砍加蚌堆耿憋焦皋团磺箕蜘褐君淖河繁惜安爵丢寇耘羽啥脱摧鼓苟荷挪综涡莎冒捎芭贡染敷搜炯宴琳掌嘘曾烬村尤捂就浅勉咖硒才韦砚小波抚津泉补搀凌爹刁剔哄厄婶陀督等泽洁募典破虱棒眉侯愈桩土月撂旦甄摧终浪鲤牺绸玻益渴涣莱凌怠伟疫俏脉奥赠禹坤庚蝉霍免测胸谨复榔烁专磊刊靶兴铺漳咨朔腕石囚属仟典耐弹爆铺默育盂盗声甄牟熟秋靡招砌惊炸诫襟臃挖邹稽途馆镀缚锌拼嗓摹汽汝甩榜圈液搂絮蒲宪瑚忘于孩脯柜啼保残会荒鲍霹益倪诗呼蛙篙莹2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积(1)设有一曲面块,它的方程为 .具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的.则该曲面块.稀上玄沛瓣薛供襟榆六陀恼颅瑞智腥却约陀荚楷啼奄影乞妥跟礁猫编裤乌智立筏得襟炮嘘舔故猾识皋愚