函数恒成立问题的答案.doc

函数恒成立的问题类型1：利用一次函数的单调性对于一次函数有：例1 若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解：原不等式化为 (x21)m(2x1)0 记f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根据题意有： 即：解之：得x的取值范围为类型2：利用一元二次函数的判别式设， 上恒成立 ； 上恒成立 。例2： 在R上定义运算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则 ( )(A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由题意可知 (x-a)1-(x+a) 0对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)0化简得 4a2-4a-30对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解 得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解 得 m1综合(1)(2)(3) 得 例4若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。类型3：利用函数的最值（或值域） 。简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例5在ABC中，已知恒成立，求实数的范围。解析由，恒成立，即恒成立，例4：求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：（1）由于函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。类型4：数形结合法: 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解 例5.已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。例6.若当P为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1例8：已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax x2-画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a1或1f(x) （afmax(x) （aan-1恒成立，求a0的取值范围。解：依题意：3n+(-1)n-12n+(-1)n2na03n-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化简，得 (-1)n32n-1a0-3n-1+(-1)n2n-1 (1)当n=2k-1 kN*时 a0()n-1+ 设g1(n)= ()n-1+ g1(n)在nN* 时且n=2k-1,kN*时是增函数 g1(n)的最小值为g1(1) a0-()n-1+ 设g2(n)=- ()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数 g2(n)的最大值为g2(2)0 a00综上可知0a00。设x0(0, )，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程并设函数g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）证明：当x(0, )时，g(x)f(x)（）若关于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。 本题（）应用了此方法。（）解：0b1，a0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0对任意x0, )成立的充要条件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x0, )成立的充要条件是(x)0由(x)=a-=0得x= 当0x时，(x) 时，(x) 0,所以，当x时，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。即a 综上，不等式x2+1ax+b对任意x0, 成立的充要条件是 a显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。例12：当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21,a1,10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。xyl1l2l-20o解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截