高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课后习题 新人教A版选修21.doc

3.1.3空间向量的数量积运算课时演练促提升a组1.在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,=()a.0b.-c.-1d.1解析:=|cosd1ac=cos 60=1.答案:d2.若a,b均为非零向量,则“a与b共线”是“ab=|a|b|”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析:当a与b共线时,a与b可能同向,也可能反向,因此不一定有ab=|a|b|;但当ab=|a|b|时,a与b一定同向,即a与b共线.答案:b3.已知a,b均为空间中的单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于()a.b.c.d.4解析:|a+3b|2=|a|2+6ab+9|b|2=1+611cos 60+9=13,故|a+3b|=.答案:c4.如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,体对角线ac1和bd1相交于点o,则有()a.=2a2b.a2c.a2d.=a2解析:,=aacos 45=a2,故a不正确.=|cos=|=a2,故b不正确.a2,故c正确.=-a2,故d不正确.答案:c5.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e是上底面的中心,则ac1与ce的位置关系是()a.重合b.垂直c.平行d.无法确定解析:),于是=()=0-0+0-0-+1-0-0=0,故,即ac1与ce垂直.答案:b6.在空间四边形oabc中,ob=oc,aob=aoc=,则cos等于()a.b.c.-d.0解析:cos=0.答案:d7.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则(a+b)(a-2b)=.解析:(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ba-2b2=|a|2-ab-2|b|2=12-11cos 60-212=-.答案:-8.如图,平行六面体abcd-a1b1c1d1中,ab=1,ad=2,aa1=3,bad=90,baa1=daa1=60,则ac1的长为.解析:因为,所以|2=()2=|2+|2+|2+2()=1+4+9+2=23,故ac1的长为.答案:9.已知在空间四边形oabc中,aob=boc=aoc,且oa=ob=oc,m,n分别是oa,bc的中点,g是mn的中点,求证:ogbc.证明:如图,连接on,设aob=boc=aoc=,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.)=(a+b+c),=c-b,(a+b+c)(c-b)=(ac-ab+bc-b2+c2-bc)=(|a|2cos -|a|2cos -|a|2+|a|2)=0,ogbc.10.如图,bb1平面abc,且abc是b=90的等腰直角三角形,abb1a1,bb1c1c的对角线都分别相互垂直且相等,若ab=a,求异面直线ba1与ac所成的角.解:因为=()()=0-a2+0+0=-a2,且|=a,|=a,所以cos=-.所以的夹角是120,故直线ba1与ac所成的角为60.b组1.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为()a.30b.45c.60d.以上都不对解析:a+b+c=0,a+b=-c.(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=|c|2.ab=.cos=.答案:d2.设a,b,c,d是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则bcd是()a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不确定解析:=()()=0,同理,可证0,0.所以bcd的每个内角均为锐角,故bcd是锐角三角形.答案:b3.在三棱锥o-abc中,oaob,oaoc,boc=60,oa=ob=oc=2,若e为oa中点,f为bc的中点,则ef=.解析:)-,|2=)2=+2-2-2).又由已知得|=|=|=2,=22=2,|2=(4+4+4+4)=4.|=2,即ef=2.答案:24.如图,已知正四面体abcd中,ae=ab,cf=cd,则直线de和bf所成角的余弦值为.解析:因四面体abcd是正四面体,顶点a在底面bcd内的射影为bcd的垂心,所以bcda,abcd.设正四面体的棱长为4,则=()()=0+0=41cos 120+14cos 120=-4,bf=de=,所以异面直线de与bf的夹角的余弦值为cos =.答案:5.如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,ca=cb=1,bca=90,棱aa1=2,n为a1a的中点,(1)求的长;(2)求cos的值.解:(1)aa1=2,n为其中点,an=1.由已知得naac,nabc,又,|2=+2+2+2=3.|=.(2),=()()=|cos 135+0+0+=1+22=3.又|=,|=,cos=.6.如图,pa垂直于矩形abcd所在的平面,m,n分别是ab,pc的中点.(1)求证:mncd.(2)若pda=45,求证:mn平面pcd.证明:(1)设=a,=b,=c,则=)=)=(b+c),故(b+c)(-a)=-(ab+ac).四边形abcd是矩形,pa平面abcd,ab,ac.ab=ac=0.=0.,故mncd.(2)由(1)知,m