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专题三 应用动量和能量关系解决相互作用物体问题【专题分析】动量和能量的综合问题，是高中力学中最重要的综合问题，也是难度较大的问题。分析这类问题时，应首先建立清晰的物理图景，抽象出物理模型，选择物理规律，建立方程进行求解。此类问题的关键是分析清楚物体间能量的转移和转化，根据东狼守恒定律和能量转化守恒定律分别建立方程，然后联立求解。是这一部分常用的解决物理问题的数学方法。动量和能量的综合问题，属于学科内综合，主要考查该部分内容与其它知识（如平衡、牛顿定律、电场、磁场）等的联系，对考生的各方面能力要求都很高，如根据实际问题建立物理模型的能力、应用数学知识解决物理问题的能力、空间想象能力和综合处理问题的能力，甚至还考查考生的数学运算能力。在动量和能量守恒综合问题中，我们可以根据不同题目的物理情景分为若干种模型，如碰撞模型、板块模型等。把握住各种模型的思维方式和处理方法，可以比较容易地解决动量能量问题，因为一个复杂的物理问题往往是多个简单物理过程的组合。【题型讲解】题型一 碰撞类问题图3-3-1mM例题1：(2007全国)如图3-3-1所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=12m的金恪示并挂悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成=60的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45.解析：设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则Mvn1=MVnMvn 由、两式及M=19m解得 第n次碰撞后绝缘球的动能为 E0为第1次碰撞前的动能，即初始能量。绝缘球在=0=60与=45处的势能之比为=0.586 式中l为摆长。根据式，经n次碰撞后， 易算出，（0.81）2=0.656，（0.81）3=0.531，因此，经过3次碰撞后将小于45。变式训练(2007全国) 用放射源钋的a射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态）。测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为7：0。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假设铍“辐射”中的中性粒子与氢或氦发生弹性正碰，试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量用原子质量单位u表示，1u等于1个12C原子质量的十二分之一。取氢核和氮核的质量分别为1.0u和14u。）（答案：m1.2u）思考与总结 题型二 板块类问题图3-3-2例题2：(07天津)如图3-3-2所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A点正上方某处无初速度下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道沿街至轨道末端C处恰好没有滑出。已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍；（2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数。解析： 本题涉及动量守恒定律和能量转化和守恒定律，但是必须分清守恒的过程。在物块在圆弧面上滑动时，动量不守恒，因为在此过程中竖直墙对小车有弹力作用，因此只能使用机械能守恒定律。当物块滑上水平轨道后，小车开始离开竖直墙，系统合外力为零，总动量守恒，可以使用两个守恒定律求解，最终物块滑到C处恰好没有滑出小车，说明最终两物体达到共速。（1）设物块的质量为m，其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h，到达B点时的速度为v，小车圆弧轨道半径为R。由机械能守恒定律，有根据牛顿第二定律，有解得h=4R即物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍。（2）设物块与BC间的滑动摩擦力为F，物块滑到C点时与小车的共同速度为v，物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s。依题意，小车的质量为3m，BC长度为10R。由滑动摩擦定律，有由动量守恒定律，有对物块、小车分别应用动能定理，有解得此题也可以直接使用能量转化守恒定律然后与动量守恒定律联立求解动摩擦因数的值。变式训练如图3-3-3所示，小车长L=2m，质量为m1=1kg，静止在光滑的水平面上，质量m2=1kg的物体在小车上以v0=2.5m/s的水平速度从A端向B端滑动，若m1与m2间的动摩擦因数=0.05。（g=10m/s2）求：v0BA图3-3-3（1）m2离开小车时，物体和小车的速度分别为多少？（2）上述过程中系统损失的机械能是多少？（3）如果要求物体不从小车上滑出，则小车的长度最少多长 (答案：(1)v1=0.5m/s，v2=2m/s(2)J(3)L = 3.125 m)思考与总结 题型三 弹簧类问题BA图3-3-4例题3：如图3-3-4所示，两物体A、B中间由弹簧连接，A静止靠在竖直墙上，弹簧处于原长状态，mA=mB=2kg。现对B施加一向左的外力，缓慢向左压缩弹簧，当外力做功为W=36J时，撤去外力，物体B在弹簧弹力作用下向右运动。求：（1）当弹簧第一次恢复原长时，物体B的速度多大？（2）当弹簧第一次达到最大长度时，弹性势能多大？此时两物体的速度多大？（3）当弹簧第一次达到最短长度时，弹性势能多大？此时两物体的速度多大？解析：对弹簧的弹性势能，只与弹簧的形变量有关，形变量越大，弹性势能越大。当弹簧的形变量最大时，与弹簧固连的物体必然速度相同。本题在运动过程中，机械能始终守恒，但动量只有在物体A离开竖直墙之后才会守恒，这在解题时需要注意。（1）外力做功W=36J时，弹簧的弹性势能Ep=W=36J当撤去外力，弹簧在第一次恢复到原长的过程中，物体A不动，物体B获得向右的速度v0，由机械能守恒定律v0=6m/s(2)当弹簧第一次达到最大长度时，A、B两物体速度相同，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得v1=3m/s，Ep1=18J(3) 当弹簧第一次达到最短长度时，A、B两物体速度相同，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得v2=3m/s，Ep2=18J图3-3-5PQ变式训练如图3-3-5所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等。Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以一定初速度向Q运动并弹簧发生碰撞。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于 A.P的动能B.P的动能C.P的动能D.P的动能P (答案：B ) 思考与总结 题型四 综合类问题v0mM图3-3-6例题4：如图3-3-6所示，光滑水平面上静止一质量为M=20kg的长木板，木板右端放一质量为m=16kg的金属块，左端紧靠一根左侧固定且处于原长的轻弹簧（不拴接）。现有一质量为m0=0.05kg的子弹，以v0=1000m/s的速度击中金属块，并在极短时间内以v1=920m/s的速度弹回，使金属块瞬间获得一定的速度沿木板向左滑动。由于摩擦因而带动木板运动并开始压缩弹簧。当弹簧被压缩时，金属块与木板刚好相对静止，且此后的运动中，两者一直没有发生相对滑动。已知金属块与木板间的动摩擦因数=0.5，金属块从开始运动到与木板达到共速共用了t=0.8s的时间，弹簧始终处于弹性限度以内。求：金属块与木板刚好共速的瞬时，弹簧的弹性势能为多大？运动中金属块与木板的相对位移d及整体能获得的最大速度vm各为多大？解析：本题涉及了多个物理模型，有子弹和金属块间的碰撞，有金属块与木板间的滑动，还有弹簧问题。碰撞过程属于动量守恒过程，但金属块和木板间的滑动过程由于出现了弹簧的弹力，动量将不再守恒。 由于碰撞时间极短，所以子弹与金属块的碰撞过程动量守恒。设碰撞后金属块速度为 v2，则： 碰撞后金属块做匀减速运动，木板做变加速运动，共同速度v可由金属块求得。以金属块为研究对象，根据动量定理：以木板为研究对象，设此过程木板克服弹力做功为W，则：克服弹力做功等于弹性势能的增加，即：由以上各式可解得： 设金属块从开始运动到与木板刚好达到相对静止时对地位移为S整个过程由于摩擦系统损失的机械能为：当弹簧将木板弹开时，金属块与木板速度最大，由能量守恒可得：由以上各式可解得：，I0mM图3-3-7变式训练 如图3-3-7所示，质量为M=3kg，长度为L=1.2m的木板静止在光滑水平面上，其左端的壁上固结着自由长度为L0=0.6m的轻弹簧，右端放置一个质量为m=1kg的小物体，小物体与木板间的动摩擦因数为0.4，今对小物体施加一个水平向左的瞬时冲量I0=4Ns，小物体相对于木板向左运动而压缩弹簧使弹性势能增大为最大值Em，接着小物体又相对于木板向右运动，最终恰好相对静止于木板的右端，设弹簧未超出弹性限度，并取重力加速度为g=10m/s2，求：（1）当弹簧弹性势能最大时小物体速度v。（2）弹性势能的最大值Em及小物体相对于木板向左运动的最大距离Lm。(答案：v=1m/s，Em=3J，Lm=0.75m)思考与总结 题型五 在电磁场中的动量和能量问题问题 Bv0图3-3-8例题5：如图所示，空间有一垂直纸面向外、磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场，一质量为M=0.2kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上。在木板的左端无初速放置一质量为m=0.1kg、带电量为q=0.2C的滑块，滑块与绝缘木板间的动摩擦因数为=0.5。滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加一水平瞬时冲量，使其获得向左的初速度v0=18m/s。g取10m/s2，求：（1）滑块和木板的最终速度；（2）系统在运动过程中产生的热量。解析：木板向左运动，使滑块受到向左的摩擦力，向左加速，由左手定则可知，滑块受到向上的洛仑兹力。由于系统所受合外力为零，所以动量守恒。在一般情况下，板块模型中二者会达到共速，所以在解题时很容易出现以下的错解由动量守恒定律共同速度 v=12m/s由能量守恒定律生成热量 Q=10.8J正确解答：假设滑块和木板能打到共同速度， 由动量守恒定律共同速度 v=12m/s此时，滑块受到的洛仑兹力F = qvB = 1.2N mg所以滑块不会加速到12m/s，当滑块所受洛仑兹力与其重力相等时，不再受到摩擦力，将匀速运动，木板的最终运动也是匀速运动。设滑块的最终速度为v1，木板的最终速度为v2mg = qv1Bv1 = 10m/s由动量守恒定律木板的最终速度为 v2 = 13m/s由能量守恒定律生成热量 Q = 10.5 JBacbdv02v0图3-3-9变式训练如图3-3-9所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd。设两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，导轨光滑且电阻不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。开始时，ab、cd两导体棒有方向相反的水平初速度，初速度大小分别为v0和2v0。求： （1）从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热； （2）当ab棒的速度大小为时，回路中消耗的电功率。(答案：, 或) 思考与总结 图3-3-10mAB【强化训练】1、如图3-3-10所示，A、B两物体质量分别为9m与10m，连接A、B的弹簧质量不计，质量为m的子弹以v0的水平速度向右射入A，与A作用极短时间并留在A中，若A、B所在平面是光滑的，则当弹簧被压缩到最短时B的速度大小为多少？此时弹簧的弹性势能多大？图3-3-11CABv02、如3-3-11图所示，在光滑的水平面上，三个物体A、B、C的质量分别为mA=2kg，mB=4kg，mC=2kg。A物体足够长，B与A的动摩擦因数为0.1。开始时，A、B静止，C以速度v0=4m/s向右运动，与A相碰后和A粘在一起共同运动（设相碰时间极短）。B在A上运动一段距离后相对静止，g取10m/s2，求：从C、A相碰到B相对A静止，这段时间内B在A上滑行的距离和A、B对地的位移。图3-3-12BA60R3、如图示，质量为m的物体从半径为R的光滑圆弧面上A点静止下滑，滑至底端与M=5m的静止B物相碰，碰撞时间t1，碰时A动能损失了原来的5/9碰后B在动摩擦系数u的水平面上滑行。求：（1）碰撞中A物体受到平均阻力？（2）碰后B在水平面上滑行时间t2？图3-3-13ABCL 4、(06全国)如图3-3-13所示，质量mA=4.0kg的木板A放在水平面C上，木板与水平面间的动摩擦因数=0.24，木板右端放着质量mB=1.0kg的小物块B（视为质点），它们均处于静止状态。木板突然受到水平向右的12Ns的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能EM=8.0J，小物块的动能为0.50J，重力加速度取10m/s2，求瞬时冲量作用结束时木板的速度v0； 木板的长度L。图3-3-14滑块5、滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，如图3-3-14所示。小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘性物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角60时小球达到最高点。求（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。Lv0图3-3-156、（08四川延考）如图3-3-15所示，一质量为m1kg的木板静止在光滑水平地面上。开始时，木板右端与墙相距L0.08m；质量为m1kg的小物块以初速度v02m/s滑上木板左端。木板长度可保证物块在运动过程中不与墙接触。物块与木板之间的动摩擦因数为0.1，木板与墙的碰撞是完全弹性的。取g10m/s2，求（1）从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板