初二奥校-面积和面积法-35.doc

八年级奥校35讲面积和面积法证题基础知识1.有关面积计算公式及等积定理、面积定理。2.面积问题主要有两个方面，即计算和证明（另外尚有作图），前者常用有关公式，通过代数方法解决；后者常用等积变形（即等积变换）的方法解决，常用方法归纳如下：（1）利用面积公式；（2）利用等高的两三角形面积之比等于底边之比；（3）利用相似三角形面积之比等于它们的相似比的平方；（4）利用中线把三角形的面积分成相等的两部分；（5）利用等底等高的两个三角形面积相等。例题精析例1 已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且ABC、ACD、ABD的面积分别为，求ABO的面积S。分析此例中，直接出现面积，因此，一看便知须用面积关系进行解答，在解题过程中，常常把多边形面积转化为三角形的面积，再把三角形面积转化为底和高的问题，在转化中要特别留心是否等底或等高。解：。例2 在RtCAB中，CAB=，AD、AE分别是高和角平分线，且ABE、AED的面积分别为，求证ADC的面积S。分析因RtADCRtBDA，故可考虑用相似三角形面积之比等于相似比的平方。解：RtADCRtBDAAE是CAB的平分线 。例3 如图，D是ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，求证：分析运用两个等高三角形的面积之比等于它们底之比，即可获证。说明：此例提供了一个把线段之比转化为面积之比的好方法，它在解决线段与面积关系方面起着重要的作用。证明： 思考此例中，当点E与点D重合时，结论仍成立吗？例4 已知从ABC各顶点作平行线ADEBFC，分别与对边或其延长线交于D、E、F，求证：分析利用ADEBFC可找出等高的三角形，再利用等底等高的三角形等积作等积代换，问题即可解决。证明：ADEBFC,， 即 即 。例5 如图，已知点O为ABC内一点，AD、BE、CF过点O分别交BC、CA、AB于点D、E、F。求证：分析解此题的关键是化异分母为同分母，根据例3，可将线段的长度之比转化为面积之比，再由面积之比即可得出证明。证明：同理 ， = =思考1.你能利用面积公式证明吗？2.根据题设你能证明吗？例6 在ABC中，若BCBA，AD、CE是两条高（如图），求证：BC+ADAB+CE.分析“高不离积”，凡涉及三角形高的关系式，不妨用面积法试一试。证明：思考1.不用面积法，你能证明本题结论吗？2.从本题你可以发现并归纳出什么规律？3.求证：直角三角形斜边与斜边上高的和大于两条直角边的和。例7 E是平行四边形ABCD中AB上任一点，EFAC交BC于F，求证：ADE与DCF等积分析 此题证法较为灵活，可根据同底等高的两个三角形面积相等；有一对角相等的两个三角形的面积比等于角的两边乘积之比；等面积的积差比例等方法来解决。证1 连结AF、CE，ABCD是平行四边形ABDC，同理 ，EFAC，。证2 ABCD是平行四边形，AD=BC，AB=DC，EFAC，DAB=DCB，例8 在ABC的边AB、BC、CA上取AD、BE、CF各等于所在的边长的三分之一，求证DEF的面积等于ABC面积的三分之一。分析 因为DEF与ABC之间没有直接关系，因此要证，只要证明：即可，要证它们与的关系则可用同高的两角形面积之比等于它们底的比；或利用相似三角形的性质；或利用有一对角相等的两个三角形面积之比等于角两边乘积之比。证1: 连结AE，ABE与ABC等高，。同理 同理 证2: B是ABC与BDE的公共角。 同理 证明3：取BD之中点M，连结EM， MEAC MBEABC ， 同理可证： 例9四边形ABCD的两对角线AC、BD之中点M、N，作MODB，NOAC，各边之中点E、F、G、H与O连结，求证：OE、OF、OG、OH分四边形ABCD为四等分。分析1 由于连结三角形中位线可以得到一个三角形的，为此连结MF、MG，可证，要证，只须证由已知可得OMFG，OFG与MFG是同底等高的三角形，因而可证。其它部分同理可证。证1: 连结MF、MG、FG，F、M是BC、AC之中点，同理。F、G是BC，CD之中点，FGBD，OMBD，FGOM，同理。分析2 连结各中点得平行四边形EFGH，恰等于的一半，又，要证，只要证即可，由已知可证，MHECGF，即可，由已知可证，MHECGF，从而得证。证2：连结EF、FG、GH、HE、EM、HM，E、H是AB、AD之中点，EHBD，同理FGBDEHFG，EFGH是平行四边形，OMBD，EHBD，OMEH。，H、M是AD、AC的中点，HM=CD=CG，同理EM=FC，MHECGF，（SSS），即同理.练习1.在ABC的边BC上取一点P，过点P作PEBA交AC于E，PDCA交BA于D，且ADPE与ABC的面积之比为，求的值.2.已知梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，AOD的面积，BOC的面积，求梯形ABCD的面积S.3.如图，设M是ABC的边AC的中点，过M作直线ME交AB于点E，过B作BFEM交AC于F，求证：。4.梯形的面积被一条对角线分成3：7，求这梯形被它的中位线所分成两部分的面积之比。5.如图，ABC的三条中线AD、BE、CD相交于O，求证：6.用面积法证明：在ABC中，M、N分别在AB、AC上，且AM=MB，AN=NC，求证：MNBC。7.已知ABC中，DEBC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE.（提示：作DHAM于H，EKAM于K，连结DM、EM，要证DN=NE，只需证DH=EH，即证，然而，）8.求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰所引的垂线段之和为定值。9.如图，在ABCD的CD、AD边上各取一点，E、F，使AE=CF，如果AE、CF相交于P，则PB平分APC。10.D、E分别是ABC的边AC、AB上的点，F、G各是BD、CE之中点，求证AFG的面积等于四边形BCDE面积的.练习题解1解：PEAB， 同理：，（1）又由PEAB得，由AC得：，（2）由（1）（2）得，（3），（4）由（3），（4）知。或。2.解，设AOB，DOC的面积分别为，。ADBC3.证：连结BM，BFEM，M是AC之中点，4.证：设梯形ABCD，ABDC，EF为中位线，设BD对角线分梯形为两部分的面积比3：7。即，ABDC，BCE与ABD等高，令，则，5.证：，同理可证6.证明：MNBC，7.证：过D作DHAM于H，过E作EKAM于K，。8.分析，PE+PD之定值为何值，移动PD至C，可知定值为AB（腰）上的高CF。证：过C作CFAB于