费尔马小定理及其应用.doc_第1页
费尔马小定理及其应用.doc_第2页
费尔马小定理及其应用.doc_第3页
费尔马小定理及其应用.doc_第4页
费尔马小定理及其应用.doc_第5页
免费预览已结束，剩余1页可下载查看

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

费尔马小定理及其应用费马尔（Fermat）小定理是初等数论中的一个重要定理，数学竞赛中经常需要用到这个定理.Fermat小定理 设为质数，为整数，则特别地，若，则例1 设、为正整数，是模的一个完系，可知 ，也是模的一个完系（完系的定义见节）.所以，由同余的性质知即 结合（可知结论成立.说明 尽管当为奇数时，对和式，可以通过“首尾配对”，即将与配对后用因式分解的方法证出，但在为偶数时，这种配对就无效了.请仔细体会证明中“整体处理”的思想.下面我们将视角换到Fermat小定理的应用上.例2 设为正整数.证明：的充要条件是.证明 若 ，则 ，于是，由Fermat小定理，知 从而，由 ，知 ，故 反过来，若 则 ，并且 ，即 ，利用小定理知 故 命题获证。说明 涉及指数的同余式经常需要用到小定理，因为由小定理得出的结论中，同余式的一边是，这带来很大的方便.例3 由小定理知，对任意奇质数，都有问：是否存在合数，使得成立？解 这样的合数存在，而且有无穷多个.其中最小的满足条件的合数（它是从两个不同奇质数作乘积去试算出来的）.事实上，由于 故 所以 故341符合要求. 进一步，设是一个符合要求的奇合数，则是一个奇合数（这一点利用因式分解可知）。再设为正奇数，则 因此也是一个符合要求的数.依此类推（结合符合要求），可知有无穷多个满足条件的合数.说明 满足题中的合数称为“伪质数”，如果对任意都有成立，那么合数称为“绝对伪质数”.请读者寻找“绝对伪质数”.例4 设为质数.证明：存在无穷多个正整数，使得.证明 如果，那么取为偶数，就有，命题成立.设，则由Fermat小定理知 因此，对任意正整数，都有 所以，只需证明存在无穷多个正整数，使得 （这样，令就有.而这只需这样的当然有无穷多个.所以，命题成立.说明 用Fermat小定理处理数论中的一些存在性问题有时非常方便、简洁.例5 设为整数，是的奇质因子，证明：证明 由于为奇质数，若则，可设，此时，由得 而由小定理，应有 结合上式将导出.矛盾. 所以， 说明 利用此题的结论，我们可以证明：存在无穷多个模余的正整数为质数. 事实上，若只有有限个质数模余，设它们是.考虑数的质因子即可导出矛盾.例6 求所有的质数，使得是一个完全平方数.解 设是一个满足条件的质数，则显然是一个奇质数.由小定理知 ，而 故 或由于 所以，与中恰有一个成立. 若，则由条件及可知存在正整数，使得 ，此时 所以，与都是的冥次，而为奇数，故与是两个相继的偶数，所以，只能是 故 ，此时
人人文库> 全部分类> 应用文书 > 技术指导

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论