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文档简介
数学分析教案授课章节:第一章 实数集与函数-数集和确界原理教学目的:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念。教学要求:()掌握邻域的概念;()理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理)。教学难点:确界的定义及其应用。教学方法:讲授为主。教学程序:先通过练习形式复习上节课的内容,以检验学习效果,此后导入新课。引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论;此后又让大家自学了第一章 实数的相关内容。下面,我们先来检验一下自学的效果如何! 证明:对任何有();(). 证明:. 设,证明:若对任何正数有,则. 设,证明:存在有理数满足.引申:由题可联想到什么样的结论呢?这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了!而要多想想,能否具体问题引出一般的结论:一般的方法?由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同;理论性强,概念性强,推理有理有据,而非凭空想象;课后未布置作业的习题要尽可能多做,以加深理解,语言应用。提请注意这种差别,尽快掌握本门课程的术语和工具(至此,复习告一段落)。本节主要内容: 先定义实数集中的两类主要的数集区间邻域;讨论有界集与无界集;由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理)。一 区间与邻域 区间(用来表示变量的变化范围)设且。 邻域联想:“邻居”。字面意思:“邻近的区域”。(看左图)。与a邻近的“区域”很多,到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢?就是“关于a的对称区间”;如何用数学语言来表达呢?() a的邻域:设,满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域,记作,或简记为,即.() 点a的空心邻域.() a的右邻域和点a的空心右邻域() 点a的左邻域和点a的空心左邻域()邻域,邻域,邻域 (其中为充分大的正数); 二 有界集与无界集什么是“界”?定义(上、下界): 设为中的一个数集。若存在数,使得一切都有,则称为有上(下)界的数集。数称为的上界(下界);若数集既有上界,又有下界,则称为有界集。若数集不是有界集,则称为无界集。注:)上(下)界若存在,不唯一;)上(下)界与的关系如何?看下例:例1 讨论数集的有界性。分析:有界或无界上界、下界?下界显然有,如取;上界似乎无,但需要证明。解:任取,显然有,所以有下界;但无上界。证明如下:假设有上界M,则M0,按定义,对任意,都有,这是不可能的,如取则,且.综上所述知:是有下界无上界的数集,因而是无界集。例2 证明:()任何有限区间都是有界集;()无限区间都是无界集;()由有限个数组成的数集是有界集。问题:若数集有上界,上界是唯一的吗?对下界呢?(答:不唯一,有无穷多个)。三 确界与确界原理、定义定义(上确界)设是中的一个数集,若数满足:(1) 对一切有(即是的上界); (2) 对任何,存在,使得(即是的上界中最小的一个),则称数为数集的上确界,记作定义(下确界)设是中的一个数集,若数满足:()对一切有(即是的下界);()对
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