分布列、期望、方差.doc

10.9 离散型随机变量的期望与方差(时间：50分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)p，令随机变量X，则X的方差D(X)等于 ( )Ap B2p(1p)Cp(1p) Dp(1p)解析：X服从两点分布，故D(X)p(1p)答案：D2(2011池州联考)若XB(n，p)，且EX6，DX3，则P(X1)的值为 ()A322 B24 C3210 D28解析：EXnp6，DXnp(1p)3，p，n12，则P(X1)C113210.答案：C3(2011衢州模拟)已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E，D分别是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6解析：若两个随机变量，X满足一次关系式aXb(a，b为常数)，当已知EX、DX时，则有EaEXb，Da2DX.由已知随机变量X8，所以有8X.因此，求得E8EX8100.62，D(1)2DX100.60.42.4.答案：B4设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为()A20 B10 C5 D15解析：抽一件产品为废品的概率为，抽取150件，即进行150次试验，因为产品数目较大，故可看成是独立重复试验，故查得废品数XB，所以EX15010.答案：B5一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为 ()A. B. C. D.解析：由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32 ，当且仅当，即a2b时取“等号”，的最小值为故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)6一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_解析：随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，因此EX.答案：7某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX_(结果用最简分数表示)解析：首先X0,1,2P(X0)，P(X1)，P(X2).EX012.答案：8(2009广东理，12)已知离散型随机变量X的分布列如右表，若EX0，DX1，则a_，b_.解析：由题意知解得答案：9如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X8)_.解析：由已知，X的取值为7,8,9,10，P(X7)，P(X8)，P(X9)，P(X10)，X的概率分布列为X78910PP(X8)P(X8)P(X9)P(X10).答案：三、解答题(共3小题，共34分)10(本小题满分10分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：(1)随机变量X的分布列；(2)随机变量X的期望解：解法一：(1)X的所有可能值为0,1,2,3,4,5.由等可能性事件的概率公式得P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).从而，X的分布列为：X012345P(2)由(1)得X的期望为：EX012345.解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故XB(5，)，即有P(Xk)C()k()5k，k0,1,2,3,4,5.由此计算X的分布列如解法一(2)EX5.解法三：(1)同解法一或解法二(2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等即3EX5，从而EX.11(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布及EX；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围解：(1)依题意，X的可能取值为1,0，1，X的分布列为X101PEX.(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：Y22PEY2242，依题意要求42，1.12(本小题满分12分)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值(1)求X的分布列及期望；(2)记“f(x)2Xx4在3，1上存在x0，使f(x0)0”为事件A，求事件A的概率解：(1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，已知A1、A2、A3相互独立，且P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6.游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3、2、1、0，所以X的可能取值为1、3.则P(X3)P(A1A2A3)P()P(A1)P(A2)P(A3)P()P()P()20.40.50.60.24.P(X1)1