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文档简介

1 数学分析复习 二 多元函数的极限与连续 一 多元函数的极限 定义设D Rn f D R 点a Rn是D的一个聚点 a D s R 如果 0 0 当x D及 则称函数f在点a处有 重 极限 或当x趋于a时 f x 趋于s 记作 或 f x s 2 定义设D Rn为函数f的定义域 P0为D的一个聚点 如果 M 0 P0的一个 空心邻域 使当P D时 则称 f在D上当P P0时 存在非正常极限 记作 无穷小量的定义与性质 3 命题 设D Rn f D R 点P0 x0 y0 Rn是D的一个聚点 P0 D A R P x y D 4 5 性质 1 四则运算法则 2 归结原理 3 唯一性 局部有界性 局部保号性 3 无穷小量性质 6 如何求多元函数的极限 1 由定义求多元函数的极限 例1证明 证明 例2证明 7 例3证明 证明 8 此时 9 2 利用极限的四则运算和复合运算求极限 经变形后 10 11 3 化为一元函数求极限 如 12 4 应用代换x rcos y rsin 0 r 使求 的问题 变为求 的问题 但必须要求当r 0的过程中 与 的取值无关 如 13 5 利用无穷小量性质 无穷小量与有界量之积仍为无穷小量 如 14 6 夹逼准则 设D Rn P0 D 且 则 例求 解 因为极限过程为x y 可设x 0 y 0 于是 15 例求 解 所以 16 例求下列极限 1 可设2 x 4 y 8 17 18 19 例证明下列极限不存在 利用归结原理的推论 20 21 二 多元连续函数定义性质 局部性质与有界闭集上的连续函数的性质 一致连续有界闭区域上连续函数的性质 22 二 多元函数连续的定义定义设f是定义在点集D Rn上的n元函数 P0 D P0或者是D的聚点 或者是D的孤立点 若 0 P0 0 只要P U P0 D 就有 则称f关于集合D在点P0连续 简称f在点P0连续 若P0是D的孤立点 则P0必为f关于D的连续点 23 若P0是D的聚点 则f在P0点连续 要求满足 1 f在P0点有定义f P0 2 3 若f在D上每一点都连续 则称f在D上连续 如果P0是D的聚点 而 不成立 则称P0是f的不连续点 或间断点 特别 当上式左端的极限存在但不等于f P0 称P0是f的可去间断点 24 P 136 第1题 讨论下列函数的连续性 而 及 所以 25 26 第9题 设f在R2上连续 且 证明 1 f在R2上有界 2 f在R2上一致连续 证明 由于 存在M 0 使当r M时有 而当x2 y2 M2 在此有界闭区域上 连续函数f有界 即 取W max A 1 K 则 27 2 当在有界闭区域 上函数f一致连续 再证f在R上一致连续 28 从而 f在R上一致连续 29 第6题 设f x y 在开集G R2上对x连续 对y满足Lipschitz条件 证明 P0 x0 y0 G 由于f对x连续 G是开集 从而存在U P0 G 从而f
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