第4讲 拉压杆的变形与变形能.doc

材 料 力 学 教 案第4讲 教学方案拉压杆的变形与变形能基本内容拉压杆的变形与变形能。教学目的1、 熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算方法。2、 掌握横向变形和泊松比的概念。3、 掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算。4、 理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形的方法。重点、难点本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计算。本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形。2-8拉伸或压缩时的变形1沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为，横截面面积为。在轴向力作用下，长度由变为。杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为 （1）由于杆内各点轴向应力与轴向应变为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长除以原长： （2）由得 所以 （2-6）式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长与拉力和杆件的原长度成正比，与横截面面积成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA越大，则变形越小，将EA称为抗拉（压）刚度。2横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为，变形后相应尺寸变为，则横向变形为横向线应变可定义为由实验证明，在弹性范围内 （2-7）为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号，称为泊松比或横向变形系数。与的关系为 （2-8）3变截面杆的伸长变形 例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？； 积分：；在处，所以：；即：按指数函数变化。例2-6 图2-25所示为变截面杆，已知BD段cm2，DA段cm2，kN，kN。求AB杆的变形。（材料的MPa）解：首先分别求得BD、DC、CA三段的轴力，为kN ；kN；kN（m）（m）（m）（m）的负号说明此杆缩短。变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明确，如例2-6中因为，则。对于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使变形和位移之间还应满足一定的几何关系。例2-7 图2-26a所示杆系结构，已知BC杆圆截面mm，BD杆为8号槽钢，MPa，GPa，kN。求B点的位移。解：（1）计算轴力，取节点B（图b）由，得 （1）由，得 （2）所以 （压） （拉）（2）计算变形由：，得m。BC杆圆截面的面积，BD杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积，由胡克定律求得（m）（m）1） 确定B点位移。已知为拉伸变形，为压缩变形。设想将托架在节点B拆开（图a），BC杆伸长变形后变为B1C，BD杆压缩变形后变为B2D。分别以C点和D点为圆心，和为半径，作圆弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为是小变形，B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧，因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3。即为B点的位移。也可以用图解法求位移。这里用解析法来求位移。注意到三角形BCD三边的长度比为，由图c可以求出B点的水平位移最后求出位移为2-9轴向拉（压）杆件的变形能变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。对于始终处于静力平衡状态的物体，如果物体的变形处于弹性范围内，则原来慢慢施加的外力对变形体所作的外力功W几乎全部转化为物体的弹性变形能U，则由能量守恒原理： （1）下面以图2-27来讨论轴向拉伸或压缩的变形能。对轴向拉压（杆），拉力P作功为 （2）所以，由胡克定律，得 （2-10）定义比能（或应变能密度）为单位体积的变形能，即 （2-11）由胡克定律，则得单位为焦/米3，J/m3。例2-9 简易起重机如图2-28所示。BD撑杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长。弹性模量。BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设。解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别为， 算出BC和BD两杆的横截面面积分别为 由BD杆的平衡方程，求得钢索BC的拉力为 BD杆的压力为 当载荷P从零开始缓慢地作用于由BC和BD两杆组成