以圆为载体的动点问题.doc

以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 例1. 在中，AC5，BC12，ACB90，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考） 分析：不论P、Q如何运动，PCQ都小于ACB即小于90，又因为PQ与AC不平行，所以PQC不等于90，所以只有CPQ为直角，CPQ才可能是直角三角形，而要判断CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，CPQ就为直角，否则CPQ就不可能为直角。 以CQ为直径做半圆D。 当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 DMAB，且ACAM5 所以 设，则 在中，即 解得：，所以 即当且点P运动到切点M的位置时，CPQ为直角三角形。 当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，CPQ为直角三角形。 当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0CPQ90，此时，CPQ不可能为直角三角形。 所以，当时，CPQ可能为直角三角形。 例2. 如图2，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，ADBCDC，若腰DC上有动点P，使APBP，则这样的点有多少个？ 分析：由条件APBP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使APBP。 解：如图3，以AB为直径做O，设O与CD切于点E 因为BA90 所以AD、BC为O的切线 即ADDE，BCCE 所以ADBCCD 而条件中ADBCDC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时ADBCDC，点O到CD的距离OE小于O的半径OE，CD与O相交，和是直径AB所对的圆周角，都为90，所以交点即为所求。因此，腰DC上使APBP的动点P有2个。 例3. 如图5，ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC，试确定BPC与BAC的大小关系。（02年广州市中考） 分析：BPC与BAC之间没有联系，要确定BPC与BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。 （1）当点P在ABC外接圆外时， 如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，BPCBDC 又因为BDCBAC， 所以BPCBAC； （2）当点P在ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等， BPCBAC； （3）当点P在ABC外接圆内时，如图7，延长BP交ABC外接圆于点D，连结CD，则BPCBDC， 又BDCBAC，故BPCBAC。 综上，知