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1 中考数学中考数学压轴压轴精选精选 一 函数与几何综合的压轴题 1 2004 安徽芜湖 如图 在平面直角坐标系中 AB CD 都垂直于 x 轴 垂足 分别为 B D 且 AD 与 B 相交于 E 点 已知 A 2 6 C 1 3 1 求证 E 点在 y 轴上 2 如果有一抛物线经过 A E C 三点 求此抛物线方程 3 如果 AB 位置不变 再将 DC 水平向右移动 k k 0 个单位 此时 AD 与 BC 相交 于 E 点 如图 求 AE C 的面积 S 关于 k 的函数解析式 解 1 本小题介绍二种方法 供参考 方法一 过 E 作 EO x 轴 垂足 O AB EO DC EODOEOBO ABDBCDDB 又 DO BO DB 1 EOEO ABDC AB 6 DC 3 EO 2 又 DOEO DBAB 2 31 6 EO DODB AB DO DO 即 O 与 O 重合 E 在 y 轴上 图 C 1 3 A 2 6 B D O x E y 图 C 1 k 3 A 2 6 B D O x E y 2 方法二 由 D 1 0 A 2 6 得 DA 直线方程 y 2x 2 再由 B 2 0 C 1 3 得 BC 直线方程 y x 2 联立 得 0 2 x y E 点坐标 0 2 即 E 点在 y 轴上 2 设抛物线的方程 y ax2 bx c a 0 过 A 2 6 C 1 3 E 0 2 三点 得方程组 426 3 2 abc abc c 解得 a 1 b 0 c 2 抛物线方程 y x2 2 3 本小题给出三种方法 供参考 由 1 当 DC 水平向右平移 k 后 过 AD 与 BC 的交点 E 作 E F x 轴垂足为 F 同 1 可得 1 E FE F ABDC 得 E F 2 方法一 又 E F AB E FDF ABDB 1 3 DFDB S AE C S ADC S E DC 1112 2223 DCDBDCDFDCDB 1 3 DCDB DB 3 k S 3 k 为所求函数解析式 方法二 BA DC S BCA S BDA S AE C S BDE 11 323 22 BD E Fkk S 3 k 为所求函数解析式 证法三 S DE C S AE C DE AE DC AB 1 2 同理 S DE C S DE B 1 2 又 S DE C S ABE DC2 AB2 1 4 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 S 3 k 为所求函数解析式 2 2004 广东茂名 已知 如图 在直线坐标系中 以点 M 1 0 为圆心 直 径 AC 为22的圆与 y 轴交于 A D 两点 1 求点 A 的坐标 3 2 设过点 A 的直线 y x b 与 x 轴交于点 B 探究 直线 AB 是否 M 的切线 并对你的结论加以证明 3 连接 BC 记 ABC 的外接圆面积为 S1 M 面积为 S2 若 4 2 1 h S S 抛物线 y ax2 bx c 经过 B M 两点 且它的顶点到x轴的距离为h 求这条抛物线的解析 式 解 1 解 由已知 AM 2 OM 1 在 Rt AOM 中 AO 1 22 OMAM 点 A 的坐标为 A 0 1 2 证 直线 y x b 过点 A 0 1 1 0 b 即 b 1 y x 1 令 y 0 则 x 1 B 1 0 AB 211 2222 AOBO 在 ABM 中 AB 2 AM 2 BM 2 22222 4 2 2 BMAMAB ABM 是直角三角形 BAM 90 直线 AB 是 M 的切线 3 解法一 由 得 BAC 90 AB 2 AC 22 BC 10 22 2 2222 ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为 BC 2 5 2 10 2 22 1 BC S 而 2 2 22 2 22 2 AC S 4 2 1 h S S 5 42 2 5 h h 即 设经过点 B 1 0 M 1 0 的抛物线的解析式为 y a 1 x 1 a 0 即 y ax2 a a 5 a 5 抛物线的解析式为 y 5x2 5 或 y 5x2 5 A B C D x M y 4 解法二 接上 求得 h 5 由已知所求抛物线经过点 B 1 0 M 1 0 则抛物 线的对称轴是 y 轴 由题意得抛物线的顶点坐标为 0 5 抛物线的解析式为 y a x 0 2 5 又 B 1 0 M 1 0 在抛物线上 a 5 0 a 5 抛物线的解析式为 y 5x2 5 或 y 5x2 5 解法三 接上 求得 h 5 因为抛物线的方程为 y ax2 bx c a 0 由已知得 5 0 5 5c 0b 5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为 y 5x2 5 或 y 5x2 5 3 2004 湖北荆门 如图 在直角坐标系中 以点 P 1 1 为圆心 2 为半径作圆 交 x 轴于 A B 两点 抛物线 0 2 acbxaxy过点 A B 且顶点 C 在 P 上 1 求 P 上劣弧 AB的长 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否存在一点 D 使线段 OC 与 PD 互相平分 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 如图 连结 PB 过 P 作 PM x 轴 垂足为 M 在 Rt PMB 中 PB 2 PM 1 MPB 60 APB 120 AB的长 3 4 2 180 120 2 在 Rt PMB 中 PB 2 PM 1 则 MB MA 3 又 OM 1 A 1 3 0 B 1 3 0 A B C O x y P 1 1 A B C O x y P 1 1 M 5 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上 则 C 1 3 点 A B C 在抛物线上 则 cba cba cba 3 31 31 0 31 31 0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy 3 假设存在点 D 使 OC 与 PD 互相平分 则四边形 OPCD 为平行四边形 且 PC OD 又 PC y 轴 点 D 在 y 轴上 OD 2 即 D 0 2 又点 D 0 2 在抛物线22 2 xxy上 故存在点 D 0 2 使线段 OC 与 PD 互相平分 4 2004 湖北襄樊 如图 在平面直角坐标系内 Rt ABC 的直角顶点 C 0 3 在y轴的正半轴上 A B 是x轴上是两点 且 OA OB 3 1 以 OA OB 为直径 的圆分别交 AC 于点 E 交 BC 于点 F 直线 EF 交 OC 于点 Q 1 求过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 请猜想 直线 EF 与两圆有怎样的位置关系 并证明你的猜想 3 在 AOC 中 设点 M 是 AC 边上的一个动点 过 M 作 MN AB 交 OC 于点 N 试问 在x轴上是否存在点 P 使得 PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角 三角形 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 请说明理由 解 1 在 Rt ABC 中 OC AB AOC COB OC2 OA OB OA OB 3 1 C 0 3 2 3 3 OB OB OB 1 OA 3 A 3 0 B 1 0 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc A y x B E F O1 Q O O2 C B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 M P C 6 则 930 0 3 abc abc c 解之 得 3 3 2 3 3 3 a b c 经过 A B C 三点的抛物线的解析式为 2 32 33 33 yxx 2 EF 与 O1 O2都相切 证明 连结 O1E OE OF ECF AEO BFO 90 四边形 EOFC 为矩形 QE QO 1 2 3 4 2 4 90 EF 与 O1相切 同理 EF 理 O2相切 3 作 MP OA 于 P 设 MN a 由题意可得 MP MN a MN OA CMN CAO MNCN AOCO 3 33 aa 解之 得 3 33 2 a 此时 四边形 OPMN 是正方形 3 33 2 MNOP 3 33 0 2 P 考虑到四边形 PMNO 此时为正方形 点 P 在原点时仍可满足 PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形 故x轴上存在点 P 使得 PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形且 3 33 0 2 P 或 0 0 P 5 2004 湖北宜昌 如图 已知点 A 0 1 C 4 3 E 4 15 8 23 P 是以 AC 为 7 X O P D C A B Y 对角线的矩形 ABCD 内部 不在各边上 的 个动点 点D 在 y轴 抛物线 y ax2 bx 1 以 P 为顶点 1 说明点 A C E 在一条条直线上 2 能否判断抛物线 y ax2 bx 1 的开口方向 请说明理由 3 设抛物线 y ax2 bx 1 与 x 轴有交点 F G F 在 G 的左侧 GAO 与 FAO 的 面积差为 3 且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点 这时能确定 a b 的值 吗 若能 请求出 a b 的值 若不能 请确定 a b 的取值范围 本题图形仅供分析参考用 解 1 由题意 A 0 1 C 4 3 确定的解析式为 y 2 1 x 1 将点 E 的坐标 E 4 15 8 23 代入 y 2 1 x 1 中 左边 8 23 右边 2 1 4 15 1 8 23 左边 右边 点 E 在直线 y 2 1 x 1 上 即点 A C E 在一条直线上 2 解法一 由于动点 P 在矩形 ABCD 内部 点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标 而点 A 与点 P 都在抛物线上 且 P 为顶点 这条抛物线有最高点 抛物线的开口 向下 解法二 抛物线 y ax2 bx c 的顶点 P 的纵坐标为 a ba 4 4 2 且 P 在矩形 ABCD 内 部 1 a ba 4 4 2 3 由 1 1 a b 4 2 得 a b 4 2 0 a 0 抛物线的开口向下 3 连接 GA FA S GAO S FAO 3 2 1 GO AO 2 1 FO AO 3 OA 1 GO FO 6 设 F x1 0 G x2 0 则 x1 x2为方程 ax2 bx c 0 的两个根 且 x1 x2 又 a 0 x1 x2 a 1 0 x1 0 x2 GO x2 FO x1 x2 x1 6 即 x2 x1 6 x2 x1 a b a b 6 b 6a 抛物线解析式为 y ax2 6ax 1 其顶点 P 的坐标为 3 1 9a 顶点 P 在矩形 ABCD 内部 X G F O P D E C A B Y 8 由方程组 y ax2 6ax 1 y 2 1 x 1 得 ax2 6a 2 1 x 0 1 1 9a 3 9 2 a 0 x 0 或 x a a 2 1 6 6 a2 1 当 x 0 时 即抛物线与线段 AE 交于点 A 而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交 点 则有 0 6 a2 1 4 15 解得 9 2 a 12 1 综合得 9 2 a 12 1 b 6a 2 1 b 3 4 6 2004 湖南长沙 已知两点 O 0 0 B 0 2 A 过点 B 且与 x 轴分别相交于 点 O C A 被 y 轴分成段两圆弧 其弧长之比为 3 1 直线 l 与 A 切于点 O 抛物线的顶点在直线 l 上运动 1 求 A 的半径 2 若抛物线经过 O C 两点 求抛物线的解析式 3 过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C E 两点 且 PC CE 求点 E 的坐标 4 若抛物线与 x 轴分别相交于 C F 两点 其顶点 P 的横坐标为 m 求 PEC 的 面积关于 m 的函数解析式 解 1 由弧长之比为 3 1 可得 BAO 90 再由 AB AO r 且 OB 2 得 r 2 2 A 的切线 l 过原点 可设 l 为 y kx 任取 l 上一点 b kb 由 l 与 y 轴夹角为 45 可得 b kb 或 b kb 得 k 1 或 k 1 直线 l 的解析式为 y x 或 y x 又由 r 2 易得 C 2 0 或 C 2 0 由此可设抛物线解析式为 y ax x 2 或 y ax x 2 再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a 1 抛物线为 y x2 2x 或 y x2 2x 6 分 3 当 l 的解析式为 y x 时 由 P 在 l 上 可设 P m m m 0 过 P 作 PP x 轴于 P OP m PP m OP 2m2 又由切割线定理可得 OP2 PC PE 且 PC CE 得 PC PE m PP 7 分 C 与 P 为同一点 即 PE x 轴于 C m 2 E 2 2 8 分 0 x y 9 同理 当 l 的解析式为 y x 时 m 2 E 2 2 4 若 C 2 0 此时 l 为 y x P 与点 O 点 C 不重合 m 0 且 m 2 当 m 0 时 FC 2 2 m 高为 yp 即为 m S 2 2 2 2 2 mm mm 同理当 0 m 2 时 S m2 2m 当 m 2 时 S m2 2m S 2 2 2 02 2 02 mm mm mmm 或 又若 C 2 0 此时 l 为 y x 同理可得 S 2 2 2 20 2 20 mm mm mmm 或 7 2006 江苏连云港 如图 直线4 kxy与函数 0 0 mx x m y的图像交于 A B 两点 且与 x y 轴分别交于 C D 两点 1 若COD 的面积是AOB 的面积的2倍 求k与m之间的函数关系式 2 在 1 的条件下 是否存在k和m 使得以AB为直径的圆经过点 0 2 P 若 存在 求出k和m的值 若不存在 请说明理由 解 1 设 11 yxA 22 yxB 其中 2121 yyxx 由 AOBCOD SS 2 得 2 BODAODCOD SSS 2 1 OC 2 OD 2 1 OD 1 y 2 1 OD 2 y 2 21 yyOC 又4 OC 8 2 21 yy 即84 21 2 21 yyyy 由 x m y 可得 y m x 代入4 kxy可得04 2 kmyy O P D C B A A A 10 4 21 yy kmyy 21 8416 km 即 m k 2 又方程 的判别式08416 km 所求的函数关系式为 m k 2 0 m 2 假设存在k m 使得以AB为直径的圆经过点 0 2 P 则BPAP 过A B分别作x轴的垂线 垂足分别为M N MAP 与BPN 都与APM 互余 MAP BPN RtMAP RtNPB NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y 0 2 2 2121 yyxx 0 2 2 21 21 yy y m y m 即0 4 2 2 212121 2 yyyyyymm 由 1 知4 21 yy 2 21 yy 代入 得0128 2 mm 2 m或6 又 m k 2 1 2 k m 或 3 1 6 k m 存在k m 使得以AB为直径的圆经过点 0 2 P 且 1 2 k m 或 3 1 6 k m 8 2004 江苏镇江 已知抛物线 2 5 5 0 ymxmxm 与 x 轴交于两点 1 0 A x 2 0 B x 12 xx 与 y 轴交于点 C 且 AB 6 1 求抛物线和直线 BC 的解析式 2 在给定的直角坐标系中 画抛物线和直线 BC 3 若P 过 A B C 三点 求P 的半径 4 抛物线上是否存在点 M 过点 M 作MNx 轴于点 N 使MBN 被直线 BC 分成面积比为1 3 的两部分 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明 理由 解 1 由题意得 121221 55 6 m xxxxxx mm 2 2 1212 520 436 36 m xxx x mm NMOPD C B A 11 x y O 解得 12 5 1 7 mm 经检验 m 1 抛物线的解析式为 2 45 yxx 或 由 2 5 50mxmx 得 1x 或 5 x m 0 m 5 16 1 m m 抛物线的解析式为 2 45 yxx 由 2 450 xx 得 12 5 1 xx A 5 0 B 1 0 C 0 5 设直线 BC 的解析式为 ykxb 则 5 5 0 5 bb kbk 直线 BC 的解析式为55 yx 2 图象略 3 法一 在Rt AOCD中 5 45 OAOCOAC 90BPC 又 22 26 BCOBOC P 的半径 2 2613 2 PB 法二 由题意 圆心 P 在 AB 的中垂线上 即在抛物线 2 45yxx 的对称轴直线2x 上 设 P 2 h h 0 连结 PB PC 则 222222 1 2 5 2PBhPCh 由 22 PBPC 即 2222 1 2 5 2hh 解得 h 2 12 2 2 PP 的半径 22 1 2 213PB 法三 延长 CP 交P 于点 F CF 为P 的直径 90 CAFCOB 又 ABCAFCACFOCB D D CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2 AC 22 5 5126 COBC 5 226 2 13 5 CF P 的半径为13 4 设 MN 交直线 BC 于点 E 点 M 的坐标为 2 45 t tt 则点 E 的坐标为 55 tt 若1 3 MEBENB SS DD 则1 3 ME EN 2 4 3 4 45 55 3 EN MNttt 解得 1 1t 不合题意舍去 2 5 3 t 5 40 39 M 若3 1 MEBENB SS DD 则3 1 ME EN 2 1 4 454 55 EN MNttt 解得 3 1t 不合题意舍去 4 15 t 15 280 M 存在点 M 点 M 的坐标为 5 40 39 或 15 280 9 如图 M 与 x 轴交于 A B 两点 其坐标分别为 03 A 01 B 直径 CD x 轴于 N 直线 CE 切 M 于点 C 直线 FG 切 M 于点 F 交 CE 于 G 已知点 G 的横坐标为 3 13 1 若抛物线mxxy 2 2 经过 A B D 三点 求 m 的值及点 D 的坐标 2 求直线 DF 的解析式 3 是否存在过点 G 的直线 使它与 1 中抛物线的两个交点的横坐标之和等 于 4 若存在 请求出满足条件的直线的解析式 若不存在 请说明理由 解 1 抛物线过 A B 两点 1 1 3 m m 3 抛物线为32 2 xxy 又抛物线过点 D 由圆的对称性知 点 D 为抛物线的顶点 D 点坐标为 41 2 由题意知 AB 4 CD x 轴 NA NB 2 ON 1 由相交弦定理得 NA NB ND NC NC 4 2 2 NC 1 C 点坐标为 11 设直线 DF 交 CE 于 P 连结 CF 则 CFP 90 2 3 1 4 90 GC GF 是切线 GC GF 3 4 1 2 GF GP GC GP 可得 CP 8 P 点坐标为 17 设直线 DF 的解析式为bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线 DF 的解析式为 8 27 8 5 xy 3 假设存在过点 G 的直线为 11 bxky F A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 第 9 题图 A y x O N M G F E D C 14 则13 11 bk 13 11 kb 由方程组 32 13 2 11 xxy kxky 得034 2 11 2 kxkx 由题意得42 1 k 6 1 k 当6 1 k时 040 方程无实数根 方程组无实数解 满足条件的直线不存在 10 2004 山西 已知二次函数 2 1 2 yxbxc 的图象经过点 A 3 6 并与 x 轴交于点 B 1 0 和点 C 顶点为 P 1 求这个二次函数的解析式 并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象 2 设 D 为线段 OC 上的一点 满足 DPC BAC 求点 D 的坐标 3 在 x 轴上是否存在一点 M 使以 M 为圆心的圆与 AC PC 所在的直线及 y 轴都相切 如果存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 解 二次函数 2 1 2 yxbxc 的图象过点 A 3 6 B 1 0 得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2 b c 这个二次函数的解析式为 2 13 22 yxx 由解析式可求 P 1 2 C 3 0 画出二次函数的图像 2 解法一 易证 ACB PCD 45 又已知 DPC BAC DPC BAC DCPC BCAC 易求6 2 2 2 4ACPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 0 3 D 解法二 过 A 作 AE x 轴 垂足为 E 设抛物线的对称轴交 x 轴于 F 亦可证 AEB PFD PEEB PFFD 易求 AE 6 EB 2 PF 2 x O y 15 2 3 FD 25 1 33 OD 5 0 3 D 3 存在 1 过 M 作 MH AC MG PC 垂足分别为 H G 设 AC 交 y 轴于 S CP 的延长线交 y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形 M 是 SCT 的内切圆圆心 MG MH OM 又 2MCOM 且 OM MC OC 23 3 23OMOMOM 得 3 23 0M 2 在 x 轴的负半轴上 存在一点 M 同理 OM OC M C 2OMOCOM 得3 23OM M 3 23 0 即在 x 轴上存在满足条件的两个点 M T 1 1 1 2 4 3 2 3 0 5 6 E 1 2 2 3 C x y B D M F S G H P 16 A B C M O x y 11 2004 浙江绍兴 在平面直角坐标系中 A 1 0 B 3 0 1 若抛物线过 A B 两点 且与 y 轴交于点 0 3 求此抛物线的顶点 坐标 2 如图 小敏发现所有过 A B 两点的抛物线如果与 y 轴负半轴交于点 C M 为抛物线的顶点 那么 ACM 与 ACB 的面积比不变 请你求出这个比值 3 若对称轴是 AB 的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E F 与 y 轴交于点 C 过 C 作 CP x 轴交 l 于点 P M 为此抛物线的顶点 若四边形 PEMF 是有一个内 角为 60 的菱形 求次抛物线的解析式 解 1 32 2 xxy 顶点坐标为 1 4 2 由题意 设 y a x 1 x 3 即 y ax2 2ax 3a A 1 0 B 3 0 C 0 3a M 1 4a S ACB 2 1 4 a3 6a 而 a 0 S ACB 6A 作 MD x 轴于 D 又 S ACM S ACO SOCMD S AMD 2 1 1 3a 2 1 3a 4a 2 1 2 4a a S ACM S ACB 1 6 3 当抛物线开口向上时 设 y a x 1 2 k 即 y ax2 2ax a k 有菱形可知ka k a k 0 k 0 k 2 a y ax2 2ax 2 a 2 EF 记 l 与 x 轴交点为 D 若 PEM 60 则 FEM 30 MD DE tan30 6 6 k 6 6 a 3 6 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy 17 若 PEM 120 则 FEM 60 MD DE tan60 2 6 k 2 6 a 6 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy 当抛物线开口向下时 同理可得 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy 2 6 626 2 xxy 12 2005 北京 已知 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数ykxk 4的图象与 x 轴交于点 A 抛物线yaxbxc 2 经过 O A 两点 1 试用含 a 的代数式表示 b 2 设抛物线的顶点为 D 以 D 为圆心 DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两 部分 若将劣弧沿 x 轴翻折 翻折后的劣弧落在 D 内 它所在的圆恰与 OD 相切 求 D 半径的长及抛物线的解析式 3 设点 B 是满足 2 中条件的优弧上的一个动点 抛物线在 x 轴上方的部分上 是否存在这样的点 P 使得 POAOBA 4 3 若存在 求出点 P 的坐标 若不 存在 请说明理由 解 1 解法一 一次函数ykxk 4的图象与 x 轴交于点 A 点 A 的坐标为 4 0 抛物线yaxbxc 2 经过 O A 两点 cab01640 ba4 解法二 一次函数ykxk 4的图象与 x 轴交于点 A 点 A 的坐标为 4 0 抛物线yaxbxc 2 经过 O A 两点 抛物线的对称轴为直线x 2 x b a2 2 ba4 2 由抛物线的对称性可知 DO DA 18 点 O 在 D 上 且 DOA DAO 又由 1 知抛物线的解析式为yaxax 2 4 点 D 的坐标为 24 a 当a 0时 如图 1 设 D 被 x 轴分得的劣弧为 OmA 它沿 x 轴翻折后所得劣弧为OnA 显然OnA 所在的圆与 D 关于 x 轴对称 设它的圆心为 D 点 D 与点 D 也关于 x 轴对称 点 O 在 D 上 且 D 与 D 相切 点 O 为切点 D O OD DOA D OA 45 ADO 为等腰直角三角形 OD2 2 点 D 的纵坐标为 2 42 1 2 42 a aba 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 当a 0时 同理可得 OD 2 2 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 综 上 D半 径 的 长 为2 2 抛 物 线 的 解 析 式 为yxx 1 2 2 2 或 yxx 1 2 2 2 3 抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P 使得 POAOBA 4 3 设点 P 的坐标为 x y 且 y 0 当点 P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时 如图 2 19 点 B 是 D 的优弧上的一点 O B AA D O 1 2 45 P O AO B A 4 3 60 过点 P 作 PE x 轴于点 E tan tan POE EP OE y x yx 60 3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得 x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 舍去 点 P 的坐标为 42 364 3 当点 P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时 如图 3 同理可得 yx 3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得 x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 舍去 点 P 的坐标为 42 364 3 综上 存在满足条件的点 P 点 P 的坐标为 42 364 3 或 42 364 3 13 2005 北京丰台 在直角坐标系中 O1经过坐标原点 O 分别与 x 轴正半轴 y 轴正半轴交于点 A B 20 1 如图 过点 A 作 O1的切线与 y 轴交于点 C 点 O 到直线 AB 的距离为 123 sin 55 ABC 求直线 AC 的解析 式 2 若 O1经过点 M 2 2 设 BOA 的内切圆的直径为 d 试判断 d AB 的值 是否会发生变化 如果不变 求出其值 如果变化 求其变化的范围 解 1 如图 1 过 O 作OGB 于 G 则OG 12 5 设OAk kAOBABC 3090 3 5 sin ABkOBk 54 OA OBAB OGSkkk AOB 2345 12 5 1 OAOBAB345 A 3 0 A O B 90 AB 是 O1的直径 AC切 O1于 A BA ACBAC 90 在Rt ABC 中 c o s ABC AB BC BC OCBCOB 4 5 25 4 9 4 C 0 9 4 设直线 AC 的解析式为ykxb 则 30 9 4 kb b kb 3 4 9 4 直线 AC 的解析式为yx 3 4 9 4 2 结论 dAB 的值不会发生变化 设 AOB的内切圆分别切 OA OB AB 于点 P Q T 如图 2 所示 y B O1 O A x C 21 y B M O1 Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOP d BQBTOB d APATOA d ABBTATOB d OA d OAOBd 2 22 22 则dABdOAOBdOAOB 在 x 轴上取一点 N 使 AN OB 连接 OM BM AM MN MOM 2 2 平分 AOBOM 2 2 BOMMONAMBM MANOBM OBAN 45 又 B O MA N MB O MA N MA N MM O N 45 OMNMOMN 90 OAOBOAANONOMMNOM 22 222 24 dAB的值不会发生变化 其值为 4 14 2005 福建厦门 已知 O 是坐标原点 P m n m 0 是函数y k x k 0 上的点 过点 P 作直线 PA OP 于 P 直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A a 0 a m 设 OPA 的面积为 s 且 s 1 n 4 4 1 当 n 1 时 求点 A 的坐标 2 若 OP AP 求 k 的值 3 设 n 是小于 20 的整数 且 k n 4 2 求 OP2的最小值 22 解 过点 P 作 PQ x 轴于 Q 则 PQ n OQ m 1 当 n 1 时 s 5 4 a 2s n 5 2 2 解 1 OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 m n a 2 1 n 4 4 1 2 an 即 n4 4n2 4 0 k2 4k 4 0 k 2 解 2 OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 m n 设 OPQ 的面积为 s1 则 s1 s 2 1 2 mn 1 2 1 n4 4 即 n4 4n2 4 0 k2 4k 4 0 k 2 3 解 1 PA OP PQ OA OPQ OAP 设 OPQ 的面积为 s1 则 s1 s PO 2 AO2 即 1 2k 1 n 4 4 n2 k 2 n2 4 1 n 4 4 2 n2 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 23 k 2 2k n4 0 k 2 或 k n 4 2 舍去 当 n 是小于 20 的整数时 k 2 OP2 n2 m2 n2 k 2 n2 又 m 0 k 2 n 是大于 0 且小于 20 的整数 当 n 1 时 OP2 5 当 n 2 时 OP2 5 当 n 3 时 OP2 32 4 32 9 4 9 85 9 当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时 即当 n 4 5 6 19 时 OP2得值分别是 42 4 42 5 2 4 52 6 2 4 62 19 2 4 192 192 4 192 18 2 4 182 3 2 4 32 5 OP2的最小值是 5 解 2 OP2 n2 m2 n2 k 2 n2 n2 2 2 n2 n 2 n 2 4 当 n 2 n 时 即当 n 2时 OP2最小 又 n 是整数 而当 n 1 时 OP2 5 n 2 时 OP2 5 OP2的最小值是 5 解 3 PA OP PQ OA OPQ P AQ PQ QA OQ PQ n a m m n 24 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 k 2 2k n4 0 k 2 或 k n 4 2 舍去 解 4 PA OP PQ OA OPQ P AQ s1 s s1 OQ2 PQ2 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 k 2 2k n4 0 k 2 或 k n 4 2 舍去 解 5 PA OP PQ OA OPQ OAP OP OA OQ OP OP2 OQ OA 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 k 2 2k n4 0 k 2 或 k n 4 2 舍去 15 2005 湖北黄冈课改 如图 在直角坐标系中 O 是原点 A B C 三点的坐 标分别为 A 18 0 B 18 6 C 8 6 四边形 OABC 是梯形 点 P Q 同时从原点出发 分别坐匀速运动 其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动 速度为每秒 1 个单位 点 Q 沿 OC CB 向终点 B 运动 当这两点有一点到达自己的终点时 另一 点也停止运动 1 求出直线 OC 的解析式及经过 O A C 三点的抛物线的解析式 2 试在 中的抛物线上找一点 D 使得以 O A D 为顶点的三角形与 AOC 全等 请直接写出点 D 的坐标 3 设从出发起 运动了 t 秒 如果 点 Q 的速度为每秒 2 个单位 试写出 点 Q的坐标 并写出此时 t 的取值范围 4 设从出发起 运动了 t 秒 当 P Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形 OABC 的周长的一半 这时 直线 PQ Q P O C 8 6 B 18 6 A 18 0 x y 25 能否把梯形的面积也分成相等的两部分 如有可能 请求出 t 的值 如不可能 请 说明理由 解 1 O C 两点的坐标分别为 O 0 0 C 6 8 设 OC 的解析式为bkxy 将两点坐标代入得 4 3 k 0 b xy 4 3 A O 是x轴上两点 故可设抛物线的解析式为 180 xxay 再将 C 6 8代入得 40 3 a xxy 20 27 40 3 2 2 D 6 10 3 当 Q 在 OC 上运动时 可设 Q mm 4 3 依题意有 2 2 2 2 4 3 tmm tm 5 8 Q tt 5 6 5 8 50 t 当 Q 在 CB 上时 Q 点所走过的路程为t 2 OC 10 CQ 102 t Q 点的横坐标为228102 tt Q 6 22 t 105 t 4 梯形 OABC 的周长为 44 当 Q 点 OC 上时 P 运动的路程为t 则 Q 运动 的路程为 t 22 OPQ 中 OP 边上的高为 5 3 22 2 1 5 3 22 ttt OPQ S 梯形 OABC 的面积 8461018 2 1 依题意有 2 1 84 5 3 22 2