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非线性控制系统 硕士研究生课程2008年2月 参考书目 非线性系统 第三版 HassanK Khalil 电子工业出版社 非线性控制系统理论与应用 胡跃明编著 国防工业出版社 非线性系统的分析与控制 洪奕光程代展著 科学出版社 非线性理论数学基础 姚妙新陈芳启主编 天津大学出版社 第一章绪论 1 1非线性模型和非线性现象 一阶常微分方程组 输入变量 状态变量 时间变量 1 状态空间模型的几个基本概念 状态方程 输出方程 状态空间模型 无激励状态方程 非自治系统 时变系统 自治系统 时不变系统 如果系统不是自治的 就称为非自治系统或时变系统 自治系统的平衡点 对于状态空间中的点x 只要状态从点x 开始 在将来的任何时刻都将保持在点x 不变 那么这点称为系统的平衡点 2 平衡点 平衡点可以是孤立的 也可能有一个平衡点的连续统 3 本质非线性现象 有限逃逸时间 非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会达到无穷 而非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷 多孤立平衡点 线性系统只有一个孤立的平衡点 而非线性系统可以有多个孤立平衡点 其状态可能收敛于几个稳态工作点之一 收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态 极限环 在现实生活中 只有非线性系统才能产生稳定振荡 有些非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡 而与初始状态无关 这类振荡就是一个极限环 混沌 非线性系统的稳态特性可能更为复杂 它既不是平衡点 也不是周期振荡或殆周期振荡 这种特性通常称为混沌 特性的多模式 同一非线性系统显示出两种或多种模式 无激励系统可能有不止一个极限环 具有周期激励的系统可能会显示倍频 分频或更复杂的稳态特性 这取决于输入信号的幅度和频率 甚至当激励幅度和频率平滑变化时 也会显示出不连续的跳跃性能模式 分频振荡 倍频振荡或殆周期振荡 非线性系统在周期信号激励下 可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡 甚至可以产生殆周期振荡 1 2示例 1 2 1单摆方程 摆锤沿切线方向的运动方程 k为摩擦系数 取状态变量 状态方程为 1 单摆方程 单摆方程 解方程得平衡点 实际平衡点 单摆可以停留在平衡点 0 0 上 几乎不可能停留在平衡点 0 上 2 单摆的平衡点 3 无摩擦单摆方程 设k 0 4 有控制输入的单摆方程 输入力矩 1 2 2隧道二极管电路 通过结点c的电流代数和为零 电压定律 取状态变量 隧道二极管电路 的根为系统的平衡点 1 2 3质量 弹簧系统 为摩擦阻力 为弹簧的回复力 只是位移y的函数g y 位移较小时 位移较大时 软化弹簧 硬化弹簧 1 运动方程 假设参考点位于g 0 0处 弹性系数 2 回复力分析 阻力Ff包括 静摩擦力Fs 库仑摩擦力Fc 粘滞摩擦力Fv 3 摩擦阻力分析 a 静摩擦力 静摩擦系数 b 库仑摩擦力 c 粘滞摩擦力 当速度较小时 4 硬化弹簧的Duffing方程 运动方程 对于硬化弹簧 考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力F Acos t 可以得到Duffing方程 这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子 5 线性弹簧的例子 对于线性弹簧 考虑静态摩擦力 库仑摩擦力和线性粘滞摩擦力 且当外力F 0时可得到 其中 取 状态模型为 以上模型有一组平衡点 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数 当x2 0时以上模型简化为线性模型 当x2 0时以上模型简化为线性模型 1 2 4负阻振荡器 满足以下条件 1 运动方程 变量代换 VanderPol方程 特例 VanderPol方程是非线性振荡理论的基本例子 VanderPol方程 2 平衡点 VanderPol方程有惟一的平衡点 取 3 状态方程 取 1 2 7一般非线性问题 作业 习题1 9 第2章二阶系统 二阶自治系统 是方程的解 初始状态为 对于所有t 0 x t 的解在x1 x2平面的轨线是一条通过x0点的曲线 该曲线称为状态方程始于x0点的轨线或轨道 x1 x2平面称为状态平面或相平面 2 1 2 2 f x 可以看成是状态平面的向量场 方程 2 1 2 2 的右边表示曲线的切向量 例如 在相平面内的每一点画出该点的切向量 即可得到一个向量场图 为方便好看 在各点画等长的箭头 所有轨线或解的曲线称为系统的相图 从给定的初始点x0出发 在x0点沿向量场移动 即可近似地构造从x0点开始的轨线 这样到达新的一点xa 然后在xa点沿向量场继续近似地构造轨线 如果把相邻点选得足够近 就可以得到通过x0点的合理的近似轨线 无摩擦单摆系统 2 1线性系统的特性 线性系统 解 M为实满秩线性变换矩阵 Jr为实Jordan型 Jr可取为 第一种情况两个特征值都为实数 线性坐标变换 当t 时 称 2为快特征值 1为慢特征值 称V2为快特征向量 V1为慢特征向量 当z1 1时 z2变化快 曲线斜率 1 当z1 1时 z2变化慢 曲线斜率 1 当 z1 0时 曲线斜率 0 当 z1 时 曲线斜率 当轨线趋于原点时与z1轴相切 当轨线趋于 时与z2轴平行 称为稳定结点 在x1 x2平面上 当轨线趋于原点时与慢特征向量v1相切 当轨线趋于 时与快特征向量v2平行 称为非稳定结点 当t 时 称 2为稳定特征值 1为非稳定特征值 称V2为稳定特征向量 V1为非稳定特征向量 z1 越大 z2 越小 当 z1 时轨线与z1轴相切 当 z1 0时轨线与z2轴相切 称为鞍点 另有四条轨线是沿坐标轴的 其中两条沿z2轴趋于原点 称为稳定轨线 另外两条沿z1轴趋于无穷 称为非稳定轨线 在x1 x2平面上 沿稳定向量v2的是稳定轨线 沿非稳定向量v1的是非稳定轨线 第二种情况特征值为复数 用极坐标表示 在初始条件下 得到解 称为稳定焦点 称为非稳定焦点 称为中心 第三种情况多重非零特征值 在给定初始状态下 其解为 消去t得到轨线方程 称为稳定结点 称为非稳定结点 称为稳定结点 称为非稳定结点 第四种情况一个特征值为零或两个特征值均为零 当A矩阵有一个特征值为零或两个特征值都为零时 系统有一个平衡点子空间 而不是一个平衡点 特殊情况 当A矩阵为零矩阵时 状态平面内的每一点都是平衡点 对应的特征向量为v1 v2 线性变换后得到 图中v1向量对应的虚线为平衡点子空间 线性变换后得到 图中虚线为平衡点子空间 对于给定的任何正数 总存在一个正数 使得如果A的每一个元素的扰动幅度都小于 那么扰动矩阵A A的特征值都将在以A的特征值为圆心 以 为半径的开圆盘内 线性系统在扰动条件下的特性 假设矩阵A在扰动作用下变为A A 其中 A的元素为任意小量 位于左半平面或右半平面的特征值的位置将仍保持在其半平面内 但是虚轴上的特征值既可能进入左半平面又可能进入右半平面 对于中心的实Jordan型扰动 当 0 则被扰动系统的平衡点是非稳定焦点 当 0 则被扰动系统的平衡点是稳定焦点 当A有多重非零特征值时 无穷小的扰动会产生一对复特征值 因此稳定 或非稳定 结点会继续保持为稳定 或非稳定 结点 或者变为稳定 或非稳定 焦点 结点 焦点和鞍点平衡点称为结构稳定的 中心平衡点不是结构稳定的 当A有两个零特征值时 考虑四种可能的Jordan型扰动 四种情况下被扰动系统的平衡点分别是中心 焦点 结点和鞍点 当A有一个零特征值时 零特征值的扰动会得到一个实特征值 1 可正可负 则此时被扰动系统有两个不相等的实数特征值 平衡点的类型取决于 2和 的符号 中心 焦点 结点 鞍点 2 2多重平衡点 隧道二极管电路 平衡点 有摩擦力的单摆 2 3平衡点附近的特性 非线性系统 设p p1 p2 是非线性系统的平衡点 并假设f1 f2连续可微 在 p1 p2 处按泰勒级数展开 定义 状态方程改写为 忽略高阶项 向量形式表示 其中 雅可比矩阵在p点的计算值 称为f x 的雅可比矩阵 如果线性化后状态方程的原点对于不同的特征值是一个稳定 或非稳定 结点 一个稳定 或非稳定 焦点或一个鞍点 那么在平衡点的一个小邻域内 非线性状态方程的轨线就会具有一个稳定 或非稳定 结点 一个稳定 或非稳定 焦点或一个鞍点的特性 如果线性化后的状态方程在平衡点附近具有同样的特性 就把非线性状态方程的平衡点称为稳定 或非稳定 结点 稳定 或非稳定 焦点或鞍点 例2 3隧道二极管电路 解得三个平衡点分别为 特征值 3 57 0 33 特征值 1 77 0 25 特征值 1 33 0 4 稳定结点 鞍点 稳定结点 得到三个雅可比矩阵 平衡点分别为 例2 4单摆 鞍点 稳定焦点 得到两个雅可比矩阵 如果一个平衡点的雅可比矩阵在虚轴上没有特征值 那么这个平衡点就是双曲型的 如果雅可比矩阵在虚轴上有特征值 那么非线性状态方程在平衡点附近的特性与线性化后的状态方程完全不同 例2 5 0 0 是该系统的一个平衡点 在原点线性化后 雅可比矩阵的特征值为 中心 用极坐标表示系统 时 轨线类似稳定焦点的轨线 时 轨线类似非稳定焦点的轨线 如果f x 在平衡点的邻域内是解析函数 那么以下论述成立 对于线性化状态方程 如果原点是稳定 或非稳定 结点 那么 无论线性化后的特征值是否相同 在平衡点的一个小邻域内 非线性状态方程的轨线都将表现出类似稳定 或非稳定 结点的特性 以上例子说明 在线性化状态方程中描述的中心特性在非线性状态方程中不一定成立 2 4极限环 当系统具有非平凡周期解 时就会振荡 在相图中 周期解的图形是一条闭合的曲线 通常称为周期轨道或闭轨道 线性系统振荡的例子 第二种情况特征值为复数 称为稳定焦点 称为非稳定焦点 称为中心 变为Jordan标准型后该系统的解 其中 系统有一个幅度为r0的持续振荡 一般称为谐振器 线性系统振荡器有两个基本问题 1 鲁棒性问题 2 振荡的幅度取决于初始条件 非线性系统振荡器的两个特点 非线性振荡器是结构稳定的 鲁棒性好 振荡幅度 稳态时 与初始条件无关 负阻振荡器 满足以下条件 系统的惟一平衡点 0 0 平衡点是非稳定结点或非稳定焦点 从能量的观点来考虑 任意时刻t 储存在电感和电容中的能量为 其中 例2 6 取三个不同值时的相图 5时选择状态变量 发生跳跃现象的振荡通常称为张弛振荡 稳定极限环的性质 当t 时 极限环邻域内的所有轨线最终都趋于极限环 非稳定极限环的性质 当t 时 所有始于接近极限环的任意一点的轨线都将远离极限环 Poincar Bendixson定理 2 6周期轨道的存在 Bendixson准则 指数法 引理2 1 Poincar Bendixson准则 考虑系统 2 7 设M是平面内的一个有界闭子集 使 M不包含平衡点 或只包含一个平衡点 使雅可比矩阵 f x 在该点有实部为正的特征值 因此特征值是非稳定焦点或非稳定结点 每条始于M的轨线在将来所有时刻都保持在M内那么 M包含系统 2 7 的一个周期轨道 二阶自治系统 2 7 向量场f x 方向向内 向量场f x 方向向外 向量场f x 与曲线相切 闭合曲线 V x 连续可微 内积 定义集合 定义集合 例2 7谐振器 轨线在M内 集合 其中 系统的平衡点为 0 0 集合M不包含平衡点 例2 8 平衡点 0 0 其中 特征值 可以保证所有轨线包含在M内 即M内有一个周期轨道 例2 9负阻振荡器 其中 对以上条件加以限制 根据以上条件 选择h v 选择状态变量 状态模型为 0 0 为系统惟一的平衡点 如图所示 状态平面由两条曲线分为四个区域 证明 p p 只要证明V E V A 0即可 其中 显然 同理 当r 0时 如果p0 当p r时 随p p 单调减小到 通过选取足够大的p 即可保证 p 为负 因此 p p 引理2 2 Bendixson准则 如果在平面上的简单连通区域D内 表达式 f1 x1 f2 x2不总是为零 且符号不变 那么系统 2 7 在D内没有周期闭轨道 例2 10 D为整个平面 如果b 0 就不可能有闭轨道 定义 对于给定的二阶系统 2 7 设C是不通过系统 2 7 的任何平衡点的一条简单闭合曲线 考虑向量场f x 在点p的方向 p为C上的点 设p以逆时针方向遍历C 向量f x 连续旋转 且在返回到初始位置上时 已经旋转了一个角度2k k为整数 这里角度是逆时针测量的 整数k称为闭合曲线C的指数 如果C为围绕孤立平衡点 那么k就称为 的指数 引理2 3 a 结点 焦点 或中心的指数是 1 b 双曲 鞍点的指数是 1 c 闭轨道的指数是 1 d 不包含任何平衡点的闭合曲线的指数是0 e 闭合曲线的指数等于曲线内所有平衡点的指数之和 推论2 1在任何闭轨道 内 一定至少有一个平衡点 假设 内的平衡点是双曲型的 那么如果N是结点数 S是鞍点数 必有N S 1 例2 11 平衡点 0 0 和 1 1 特征值 1 1 特征值 0 5 j0 866 鞍点 稳定焦点 2 7分岔 0时 平衡点 两个雅可比矩阵为 稳定结点 鞍点 1 鞍结点分岔 一般来说 分岔就是当参数变化时 平衡点 周期轨道或稳定性质的改变 以上例子中 分岔参数是 分岔点是 0 一般情况下 分岔图的坐标是平衡点或周期轨道的模值 实线表示稳定结点 稳定焦点和稳定极限环 而虚线表示非稳定结点 非稳定焦点和非稳定极限环 有两个平衡点 0 0 点的雅可比矩阵 0 点的雅可比矩阵 0时 0 0 是鞍点 0时 0 0 是稳定结点 2 跨临界