卫生统计学专题六：总体均数与总体率的估计

1 专题六 总体均数与总体率的估计 样本均数（或样本率）不能直接作为总体均数（或总体率）的估计，而应该考虑抽样误差的存在，借助抽样分布对总体均数（或总体率）做出估计。 一、均数的抽样误差 由个体变异产生的，随机抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异称为 抽样误差 。在抽样研究中，抽样误差是不可避免的。 二、样本均数的分布及标准误 样本均数的分布 ： 服从正态分布，样本均数大部分分布在总体均数的左右，中间多，两边少，左右基本对称。 标准误 样本均 数 的变异程度用样本均数的标准差来描述， 样本均数的标准差 称为均数的标准 误，简称为 标准误 ，符号 x 。 x说明个样本均数围绕总体均数的离散程度，可用来反映样本均数的抽样误差的大小。 在抽样研究中，总体标准差常常 未知 ，一般用样本标准差作为总体标准差的估计值。 理论公式：nx 实际公式 ：nssx 注： x 越大，样本均数分布越分散，样本均数与总体均数的差别 越大，抽样误差越大，由样本均数估计总体均数的可靠性越小。 x 越小，样本均数分布越集中，样本均数与总体均数的差别越小，抽样误差越小，由样本均数估计总体均数的可靠性越大。 标准差与标准误的区别： 标准差表示个体差异的大小；标准误描述样本均数的变异程度，说明抽样误差的大小。标准差描述资料的频数分布状况，可用于制定医学参考值范围；而标准误用于总体均数的区间估计和假设检验。 以样本含量 n从正态总体 N（ ， ）或偏态总体随机抽样，样本均数仍服从或者近似正态分布 N（ ， x ） 。 标准误的大小与标准差成正比，与样本含量 n 的平方根成反比。 在实际工作中，可通过适当增加样本含量来减小抽样误差。 三、 t分布 根据数理统计和中心极限定理：从均数为 ，标准差为 的正态总体中，随机抽取例数为 n 的样本，样本均数 x 均服从均数为 ，标准差为 n 的正态分布；即使从均数为 ，标准差为 的偏态总体中随机抽样，当样本含量足够大时，样本均数的分布逐渐逼近 于均数为 ，标准差为 x 的正态分布。 已知样本均数 x 服从正态分布 ，对正态变量 x 实施 z变换，使得正态分布 N（ ， x ）变换为标准正态分布 N（ 0,1）。 实际工作中， 总体标准差常常未知，一般用样本标准差作为总体标准差的估计值 ，此时对样本均数进行的不再是 z 变换而是 t变换 。 理论证明该统计量服从自由度为 n-1的 t分布。 t=xsx =nsux =n-1 t分布曲线与分布的特征 如右图， t分布的特征有： 单峰分布，在 t=0处最高，且以 0为中心左右对称。 不同自由度对应不同的 t分布， t分布曲线是一簇曲线。 越小， t值越分散，曲线越平阔，尾部越高；随着 增大， t值越集中，曲线越尖峭，尾部越低。 趋于时， t分布逼近标准正态分布（ z分布）。 【说明】 t分布的极限分布为 z分布。 t分布 不是一条曲线， 是一簇曲线，不同 曲线下面积的分布 是不同的， 相同面积可对应不同 t界值，相同 t界值可对应不 同面积 。 t分布中，无论自由度为多少时， t分布曲线下的面积都为 1。 t界值表 统计学家将 t分布曲线下的尾部面积（即概率 P）与横轴 t值间 的关系编制了不同自由度下的 t界值表（ 参见教材 附表 4）。 t界值表：横标目为自由度 ，纵标目为概率 P。 t界值：表中数字表示当 和 P 确定时， 单侧或双侧尾部面积 P 对应的 t界 值。 若 P 等于某预指定的 ，则： 单侧 尾端 概率 (one-tailed probability)的 t界值 ，即单侧尾部面积 P 对应的 t界值 用 t , 表示 。 双侧 尾端 概率 (two-tailed probability)的 t界值 ，即两侧尾部面积 P 对应的 t界值 用 t /2,表示 。 t分布规律 单侧： P（ t -t , ） =或 P（ t t ,） =。 双侧： P（ t -t /2, ） P（ t t /2,） = ，则图中非阴影部分面积的概率为 P（ -t /2, t t /2,） =1- 从 t界值表可以看出： 自由度相同时， t界值越大其对应的 P 值越小，反之亦然。 概率 P（或尾部面积）相 等时， 越大， t界值越小。 t界值相等时，双侧概率为单侧概率的两倍。 = 时， t界值即为 z界值。例如， t0.05/2， =z0.05/2=1.96 四、总体均数的估计 统计推断的内容： 参数估计 （ 包括点估计与区间估计 ）和 假设检验 。 参数估计：指用样本指标（统计量）估计总体指标 2 （参数）。 点估计 方法：将 样本统计量直接作为总体参数的估计值 。 缺点：未考虑抽样误差的影响，估计的正确程度很难评价。 区间估计 方法：按事先给定的概率（ 1- ），估计包含未知总体参数的一个可能范围，该范围称为参数的可信区间 或置信区间（ CI）。 （ 1-） ：可信度或置信度，也可表示为 100（ 1-） %，常取 95% 可信区间通常由两个可信限或置信限表示，较小者称为下限（ L），较大者称为上限（ U）。 总体均数可信区间的计算 z分布法 已 知时 ， 则 z=nx/ 服从标准正态分布 N（ 0,1），此时 P（ -z /2 z z /2） =1- ，代入 z通过推导可得： 总体均数 双侧可信区间 为： （xzx 2/，xzx 2/）或简写 为xzx 2/单侧可信区间 为： xzx 或xzx 未知时 ，但 n足够大 （ n 50）时，xs接近x， t分布逼近 z分布，则 总体均数 双侧可信区间 为： （xszx 2/，xszx 2/）或简写为xszx 2/单侧可信区间 为： xszx或xszx t分布法 未知时 ， t=xsx 服从自由度为 n-1的 t分布 ， 此时 P（ -t /2, t t /2,） =1- ， 代入 t通过推导 可得： 总体均数 双侧可信区间 为 ： （xstx ,2/，xstx ,2/） 或简写为xstx ,2/单侧可信区间 为 ： xstx ,或 xstx ,【说明】当 未知时 ，无论 n是否足够大，可信区间均可采用 t分布法计算， 采用 t界值计算的可信区间更加确切 。 总体均数的 95%可信区间的含义 在实际研究中，一次抽样可得一个可信区间，有 95%可能包括总体均数。 总体均数的 95%可信区间既可信又精密。 五、二项分布 对于 n 次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件 A与 A 之一，在每次试验中出现 A的概率是常数 （ 0 1） ，因而出现对立事件 A 的概率是 1- ，则称这一串重复的独立试验为 n重贝努力试验，简称 Bernolli试验 。 Bernolli试验 条件：每次试验只有两种互斥的结果；在相同条件下独立重复 n次试验，所谓“独立”即各次实验结果互不影响； 每次试验中 A发生的概率都相同，各次试验条件相同。 二项分布的概念 一般地，在一个 n 重 贝努力试验 中，令 x 表示时间 A 发生的次数，则随机变量 x 所有可能的取值为 0,1,2, ,n，且 其概率函数为 P（ x=k） = knkknC )1( k=0,1,2, ,n !)!( ! kkn nC kn 称随机变量 X 服从参数为 n和 的二项分布，记为 XB（ n， ）。 二项分布的概率 二项分布是一种离散型概率分布。 二项分布的概率之和等于 1，即 nk 0knkknC )1( = +（ 1- ） n=1 单侧累积概率： 至多 m例阳性： P（ x m） knkmkknC )1(0 3 至少 m例阳性： P（ x m） =1-P（ x m-1） 二项分布的均数与标准差 设 XB（ n，） ，则有阳性结果发生数 X 的总体均数 =n ； 总体方差 )1(2 n 总体标准差 1n 根据中心极限定理， 在 n较大， n 与 n（ 1- ）较接近时，二项分布接近于正态分布； 当 n 时，二项分布 B（ n，） 的极限分布是总体均数位 n，总体方差为 n （ 1- ）的正态分布 Nn， n（ 1-） 。 六、 Poisson分布 Poisson分布的概念 若随机变量 X 的可能取值为 0,1,2, ,其概率分布为 P（ x=k） = ， k=0,1,2, ；则称 x服从参数为 的 Poisson分布 ，记为 X （ ）。 k为观察单位中某稀有时间发生的次数； 0，为某一常数； e=2.7182 是自然对数的底数。 Poisson分布 的应用 泊松分布是一种重要的 离散型概率分布 ，用于描述在单位时间或空间内随机事件发生的次数。 特点： 罕见事件（发生概率很小）而观察例数 n很大的二项分布，可将较难计算的二项分 布转换为泊松分布去处理。 为泊松分布所依赖的唯一参数，表示单位时间（或单位面积、单位空间）内某随机事件平均发生数，即总体均数。 Poisson分布的图形 =n 值越小，分布越不对称，随的增大， Poisson分布趋于对称。 注：当 =20时，泊松分布接近于正态分布，在实际工作中，当 20时，就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。 Poisson分布的特征 总体均数与总体方差相等。 可加性： m个互相独立的随机变量 X1,X2, ,Xm分别服从 1, 2, , m的泊松分布，则其和 x1+x2+ +xm也服从均数为1+2+ +m的泊松分布。 可加性的应用：将若干个相互独立的小观察单位合并成一个大的观察单位，从而使均数 20，以便将服从泊松分布的资料按正态分布近似处理。 七、总体率的估计 抽样资料计算样本率不能直接代替总体率，而应该对总体率进行估计。 率的抽样误差与标准误 由于抽样引起的样本率与总体率的差异称为率的抽样误差。率的抽样误差亦可以用率的标准误 p来度量。 当总体率未知时，以样本率 p作为 的估计值。 p=n)1( （ n为样本含量） sp= n pp )1( 总体率的估计 根据样本率也可以对总体率做出点估计和区间估计。 利用样本资料估计二项分布总体率的 1-的可信区间，一般取 0.05或 0.01。 对于 n 50，且 p接近于 0或 1时，可直接 查表法 得到总体率的 1-的可信区间 。 （附表 5） 注：附表 5中仅列出 x n/2的部分，当 x n/2 时，可以用 n-