【志鸿全优设计】高中数学 2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)目标导学 新人教A版必修5.docVIP

第1课时数列的概念与简单表示法1理解数列的概念、表示、分类2理解数列的通项公式及其简单应用3能根据数列的前几项写出一个通项公式1数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列_叫做数列(2)项：数列中的每一个数都叫做这个数列的_数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做_)，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第_位的数称为这个数列的第n项数列的特征：每一项都是数；数列中的数有顺序，同一组数可组成多个不同的数列(3)表示：数列的一般形式可以写成：a1，a2，an，简记为_an表示数列中的第n个数【做一做1】 下列说法错误的是()a数列4,7,3,4的首项是4b数列an中，若a13，则从第2项起，各项均不等于3c数列1,0,1,2与数列0,1,2，1不相同d数列中的项不能是三角形2数列的分类(1)按数列的项数是否有限，分为有穷数列和无穷数列项数_的数列叫做有穷数列；项数_的数列叫做无穷数列(2)按数列的每一项随序号的变化趋势，分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列从第2项起，每一项都_它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_它的前一项的数列叫做递减数列；各项_的数列叫做常数列；从第2项起，有些项_它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列在写数列时，对于有穷数列，要把末项(有穷数列的最后一项)写出，如：数列1，表示有穷数列；但如果把数列写成1，或1，则表示无穷数列【做一做2】 数列5,4,3，m，是递减数列，则m的取值范围是_3数列的通项公式如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(1)已知通项公式anf(n)，那么只需依次用1,2,3，代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an(1)n可以写成an(1)n2，还可以写成an这些通项公式形式上虽然不同，但都表示同一数列(3)数列的通项公式也可用一个分段函数表示例如，函数1,0,1,0，的通项公式可以表示为an(4)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式(5)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样【做一做31】 数列an中，an3n1，则a2等于()a2 b3 c9 d32【做一做32】 已知数列1,2,3,4，则这个数列的一个通项公式是()aan1 bann2cann dan答案：1(1)数(2)项首项n(3)an【做一做1】 b2(1)有限无限(2)大于小于相等大于【做一做2】 (，3)3序号n【做一做31】 b【做一做32】 c1对数列有关概念的理解剖析：要准确理解数列的定义，需特别注意定义中的两个关键词：“一列数”，即不止一个数；“一定顺序”，即数列中的数是有顺序的同时还要注意以下五点：(1)数列中项与项之间用“，”隔开(2)数列中的项通常用an表示，其中下标n表示项的位置序号，即an为第n项(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(与集合相同)可重复性：数列中的数可以重复(与集合不同)如数列1,1,1，而由1,1,1组成的集合是1有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关(与集合不同)如1,3,4与1,4,3代表不同的数列，而集合1,3,4与1,4,3却是相同的(4)“项”与序号n是不同的：数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n)；而序号则是指该项在这个数列中的位置序号另外，序号与项数也是不同的概念，项数表示整个数列共有多少项(5)an与an是两个不同的概念：an表示数列a1，a2，a3，an，而an只表示数列的第n项2.数列与函数的关系剖析：对于数列an中的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看作序号集合到另一个数的集合的映射例如数列1，可用映射表示，如图(1)数列是一个以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题如由数列是定义在n*或它的子集1,2,3，n上的函数可知an是n的函数，即anf(n)因此当an的通项公式的一端的某个“n”用某个数或某个式子或某个记号代替后，则两端的所有的“n”必须用同一个数或式子或记号代替如，已知an的通项公式为an3n，若bna2n1，求bn的通项公式时，就能用上述方法：bna2n13(2n1).(2)要注意数列的特殊性(离散型)由于它的定义域是n*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究的初等函数一般都是连续的曲线在解决数列问题时，要充分利用这一特殊性类似于函数的三种表示法，数列也相应地有三种表示法：列表法：列一个两行多列的表格，第一行是项的序号，第二行是对应项的值比如：n123nana1a2a3an解析法：用数列的通项公式来表示数列如，数列an中，an2n3，也可以写为2n3图象法：在平面直角坐标系中，画出点(n，an)，这些点就表示一个数列3常见数列的通项公式剖析：熟练地掌握一些常见数列的通项公式比如，下面这些数列均属于常见数列，这些通项公式必须记住并且熟练地应用它们解题(1)数列1,1，1,1，的通项公式是an(1)n，数列1，1,1，1，的通项公式是an(1)n1或(1)n1.(2)数列1,2,3,4，的通项公式是ann.(3)数列1,3,5,7，的通项公式是an2n1.(4)数列2,4,6,8，的通项公式是an2n.(5)数列1,2,4,8，的通项公式是an2n1.(6)数列1,4,9,16，的通项公式是ann2.(7)数列1,3,6,10，的通项公式是an.(8)数列，的通项公式是an.题型一 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式【例题1】 写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)1，3,5，7,9，；(3)9,99,999,9 999，；(4)，.分析：经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律反思：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式实际上是一个归纳、总结，找出前几项的共同特点的过程，各项与其序号的关系等式就是一个通项公式其归纳、总结的方法是：将数列的前几项恒等变形为统一的代数式形式，并且这个代数式中仅有一处是不同的，是变化的，并且变化的规律是随着序号每次增加1，用n来替换代数式中变化的地方，替换后的代数式就是数列的通项公式写出来的通项公式的正确性也可以验证，令通项公式中的n1,2,3，得到数列的前三项，看看是否与实际相符；若符合则写出的通项公式是正确的，否则是错误的题型二 通项公式的应用【例题2】 已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)49是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否是该数列的一项呢？分析：(1)令n4，n6，分别代入通项公式，即可求得a4，a6.(2)令an49和68，求得n值，若nn*，则是数列的项，否则不是该数列的项反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项题型三 按项的变化趋势对数列分类【例题3】 (1)判断数列1，2是否是递增数列？(2)已知数列an的通项公式为an，按项的变化趋势应是哪一类数列反思：按项的变化趋势对数列分类的步骤：(1)当给出数列的全部项时，按递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义来确定，如本题(1)(2)当给出数列的通项公式时，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定对nn*，当an1an0时，an为递增数列；当an1an0时，an为递减数列；当an1an0时，an为常数列；当an1an的符号不确定时，an为摆动数列题型四 易错辨析【例题4】 求数列2n229n3中的最大项错解：由已知，得an2n229n322108，数列2n229n3中的最大项为108.错因分析：上述解法忽略了数列中的项数n应为正整数的条件，n的值不能取到.反思：数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是n*(或它的有限子集1,2，n)这一约束条件答案：【例题1】 解：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，其通项公式为2n1；考虑(1)n1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1.(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an.【例题2】 解：(1)a431628464，a633628660.(2)设3n228n49，解得n7或n(舍去)，n7，即49是该数列的第7项设3n228n68，解得n或n2.n*，2n*，68不是该数列的项【例题3】 解：(1)设该数列为an，则a11，a2，a3，a42，则有a1a2，但a3a4.故该数列是摆动数列(2)an1an0，an1an.故该数列是递减数列【例题4】 正解：由已知，得an2n229n322108.由于nn*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.故数列2n229n3中的最大项为a7108.1数列1,3,7,15,31，的一个通项公式为()aan2n ban2n1can2n1 dan2n12已知数列an中，an，