【步步高】（广东专用）高考数学大一轮复习 8.7 利用向量方法求空间角导学案 理(1).doc

利用向量方法求空间角导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角自主梳理1两条异面直线的夹角(1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线ab，则a与a的夹角叫做a与b的夹角(2)范围：两异面直线夹角的取值范围是_(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有cos _.2直线与平面的夹角(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角(2)范围：直线和平面夹角的取值范围是_(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin _或cos sin .3二面角(1)二面角的取值范围是_(2)二面角的向量求法：若ab、cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)自我检测1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()a45 b135c45或135 d902若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()al1l2 bl1l2cl1与l2相交但不垂直 d以上均不正确3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()a120 b60c30 d以上均错4(2011湛江月考)二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150 b45 c60 d1205(2011铁岭模拟)已知直线ab、cd是异面直线，accd，bdcd，且ab2，cd1，则异面直线ab与cd夹角的大小为()a30 b45 c60 d75探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱abca1b1c1，acb90，cacbcc1，d为b1c1的中点，求异面直线bd和a1c所成角的余弦值变式迁移1如图所示，在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，求异面直线ba1和ac所成的角探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2(2011新乡月考)如图，已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内，m，n分别为ab，df的中点若平面abcd平面dcef，求直线mn与平面dcef所成角的正弦值变式迁移2如图所示，在几何体abcde中，abc是等腰直角三角形，abc90，be和cd都垂直于平面abc，且beab2，cd1，点f是ae的中点求ab与平面bdf所成角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例3如图，abcd是直角梯形，bad90，sa平面abcd，sabcba1，ad，求面scd与面sba所成角的余弦值大小变式迁移3(2011沧州月考)如图，在三棱锥sabc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，bac90，o为bc中点(1)证明：so平面abc；(2)求二面角ascb的余弦值探究点四向量法的综合应用例4如图所示，在三棱锥abcd中，侧面abd、acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜边，且ad，bdcd1，另一个侧面abc是正三角形(1)求证：adbc；(2)求二面角bacd的余弦值；(3)在线段ac上是否存在一点e，使ed与面bcd成30角？若存在，确定点e的位置；若不存在，说明理由变式迁移4 (2011山东)在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb90，ea平面abcd，efab，fgbc，egac，ab2ef.(1)若m是线段ad的中点，求证：gm平面abfe； (2)若acbc2ae，求二面角abfc的大小1求两异面直线a、b的夹角，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos |cosa，b|.2求直线l与平面所成的角.可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn，a|.3求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角则n1，n2或n1，n2(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011成都月考)在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab的中点，则sin，的值等于()a. b.c. d.2长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为()a. b. c. d.3已知正四棱锥sabcd的侧棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，则ae、sd所成的角的余弦值为()a. b. c. d.4.如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，已知b1c，c1d与上底面a1b1c1d1所成的角分别为60和45，则异面直线b1c和c1d所成的余弦值为()a. b.c. d.5(2011兰州月考)p是二面角ab棱上的一点，分别在、平面上引射线pm、pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为()a60 b70 c80 d90二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011郑州模拟)已知正四棱锥pabcd的棱长都相等，侧棱pb、pd的中点分别为m、n，则截面amn与底面abcd所成的二面角的余弦值是_7如图，pa平面abc，acb90且paacbca，则异面直线pb与ac所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为_三、解答题(共38分)9(12分)(2011烟台模拟)如图所示，af、de分别是o、o1的直径，ad与两圆所在的平面均垂直，ad8.bc是o的直径，abac6，oead.(1)求二面角badf的大小；(2)求直线bd与ef所成的角的余弦值10(12分)(2011大纲全国)如图，四棱锥sabcd中，abcd，bccd，侧面sab为等边三角形，abbc2，cdsd1.(1)证明：sd平面sab；(2)求ab与平面sbc所成角的正弦值11(14分)(2011湖北)如图，已知正三棱柱abca1b1c1各棱长都是4，e是bc的中点，动点f在侧棱cc1上，且不与点c重合(1)当cf1时，求证：efa1c；(2)设二面角cafe的大小为，求tan 的最小值学案46利用向量方法求空间角自主梳理1(2)(3)|cos |2(2)(3)|cos |3.(1)0，自我检测1c2.b3.c4.c5.c课堂活动区例1解题导引(1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是解如图所示，以c为原点，直线ca、cb、cc1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设cacbcc12，则a1(2,0,2)，c(0,0,0)，b(0,2,0)，d(0,1,2)，(0，1,2)，(2,0，2)，cos，.异面直线bd与a1c所成角的余弦值为.变式迁移1解，()().abbc，bb1ab，bb1bc，0，0，0，a2，a2.又|cos，cos，.，120.异面直线ba1与ac所成的角为60.例2解题导引在用向量法求直线op与所成的角(o)时，一般有两种途径：一是直接求，其中op为斜线op在平面内的射影；二是通过求n，进而转化求解，其中n为平面的法向量解设正方形abcd，dcef的边长为2，以d为坐标原点，分别以射线dc，df，da为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则m(1,0,2)，n(0,1,0)，可得(1,1，2)又(0,0,2)为平面dcef的法向量，可得cos，.所以mn与平面dcef所成角的正弦值为|cos，|.变式迁移2解以点b为原点，ba、bc、be所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，d(0,2,1)，e(0,0,2)，f(1,0,1)(0,2,1)，(1，2,0)设平面bdf的一个法向量为n(2，a，b)，n，n，即解得a1，b2.n(2,1，2)设ab与平面bdf所成的角为，则法向量n与的夹角为，cos，即sin ，故ab与平面bdf所成角的正弦值为.例3解题导引图中面scd与面sba所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解解建系如图，则a(0,0,0)，d，c(1,1,0)，b(0，1,0)，s(0,0,1)，(0,0,1)，(1,1，1)，(0,1,0)，.0，0.是面sab的法向量，设平面scd的法向量为n(x，y，z)，则有n0且n0.即令z1，则x2，y1.n(2，1,1)cosn，.故面scd与面sba所成的二面角的余弦值为.变式迁移3(1)证明由题设abacsbscsa.连接oa，abc为等腰直角三角形，所以oaobocsa，且aobc.又sbc为等腰三角形，故sobc，且sosa.从而oa2so2sa2，所以soa为直角三角形，soao.又aobco，所以so平面abc.(2)解以o为坐标原点，射线ob、oa、os分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系oxyz，如右图设b(1,0,0)，则c(1,0,0)，a(0,1,0)，s(0,0,1)sc的中点m，(1,0，1)，0，0.故mosc，masc，等于二面角ascb的平面角cos，所以二面角ascb的余弦值为.例4解题导引立体几何中开放性问题的解决方式往往是通过假设，借助空间向量建立方程，进行求解(1)证明作ah面bcd于h，连接bh、ch、dh，则四边形bhcd是正方形，且ah1，将其补形为如图所示正方体以d为原点，建立如图所示空间直角坐标系则b(1,0,0)，c(0,1,0)，a(1,1,1)(1,1,0)，(1,1,1)，0，则bcad.(2)解设平面abc的法向量为n1(x，y，z)，则由n1知：n1xy0，同理由n1知：n1xz0，可取n1(1,1，1)，同理，可求得平面acd的一个法向量为n2(1,0，1)由图可以看出，二面角bacd即为n1，n2，cosn1，n2.即二面角bacd的余弦值为.(3)解设e(x，y，z)是线段ac上一点，则xz0，y1，平面bcd的一个法向量为n(0,0,1)，(x,1，x)，要使ed与平面bcd成30角，由图可知与n的夹角为60，所以cos，ncos 60.则2x，解得x，则cex1.故线段ac上存在e点，且ce1时，ed与面bcd成30角变式迁移4 (1)证明方法一因为efab，fgbc，egac，acb90，所以egf90，abcefg.由于ab2ef，因此bc2fg.连接af，由于fgbc，fgbc，在abcd中，m是线段ad的中点，则ambc，且ambc，因此fgam且fgam，所以四边形afgm为平行四边形，因此gmfa.又fa平面abfe，gm平面abfe，所以gm平面abfe.方法二因为efab，fgbc，egac，acb90，所以egf90，abcefg.由于ab2ef，所以bc2fg.取bc的中点n，连接gn，因此四边形bngf为平行四边形，所以gnfb.在abcd中，m是线段ad的中点，连接mn，则mnab.因为mngnn，所以平面gmn平面abfe.又gm平面gmn，所以gm平面abfe.(2)解方法一因为acb90，所以cad90.又ea平面abcd，所以ac，ad，ae两两垂直分别以ac，ad，ae所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设acbc2ae2，则由题意得a(0,0,0)，b(2，2,0)，c(2,0,0)，e(0,0,1)，所以(2，2,0)，(0,2,0)又efab，所以f(1，1,1)，(1,1,1)设平面bfc的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)设平面向量abf的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取y21，得x21.则n(1,1,0)所以cosm，n.因此二面角abfc的大小为60.方法二由题意知，平面abfe平面abcd.取ab的中点h，连接ch.因为acbc，所以chab，则ch平面abfe.过h向bf引垂线交bf于r，连接cr，则crbf，所以hrc为二面角abfc的平面角由题意，不妨设acbc2ae2，在直角梯形abfe中，连接fh，则fhab.又ab2，所以hfae1，bh，因此在rtbhf中，hr.由于chab，所以在rtchr中，tanhrc.因此二面角abfc的大小为60.课后练习区1b以d为原点，da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知(1,1,1)，故cos，从而sin，.2b建立空间直角坐标系如图则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.3c4.d5d不妨设pma，pnb，作meab于e，nfab于f，如图：epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小为90.6.解析如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为，则pb，ob1，op1.b(1,0,0)，d(1,0,0)，a(0,1,0)，p(0,0,1)，m，n，设平面amn的法向量为n1(x，y，z)，由解得x0，z2y，不妨令z2，则y1.n1(0,1,2)，平面abcd的法向量n2(0,0,1)，则cosn1，n2.7.解析，故()0aacos 45a2.又|a，|a.cos，sin，tan，.8.解析不妨设正三棱柱abca1b1c1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(，1,2)，d.则，(，1,2)，设平面b1dc的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.9解(1)ad与两圆所在的平面均垂直，adab，adaf，故baf是二面角badf的平面角(2分)依题意可知，abfc是正方形，baf45.即二面角badf的大小为45.(5分)(2)以o为原点，cb、af、oe所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则o(0,0,0)，a(0，3 ，0)，b(3 ，0,0)，d(0，3 ，8)，e(0,0,8)，f(0,3 ，0)，(7分)(3 ，3 ，8)，(0,3 ，8)cos，.(10分)设异面直线bd与ef所成角为，则cos |cos，|.即直线bd与ef所成的角的余弦值为.(12分)10.方法一(1)证明取ab中点e，连接de，则四边形bcde为矩形，decb2，连接se，则seab，se.又sd1，故ed2se2sd2，所以dse为直角，即sdse.(3分)由abde，abse，desee，得ab平面sde，所以absd.由sd与两条相交直线ab、se都垂直，所以sd平面sab.(6分)(2)解由ab平面sde知，平面abcd平面sde.作sfde，垂足为f，则sf平面abcd，sf.(8分)作fgbc，垂足为g，则fgdc1.连接sg，又bcfg，bcsf，sffgf，故bc平面sfg，平面sbc平面sfg.作fhsg，h为垂足，则fh平面sbc.fh，则f到平面sbc的距离为.由于edbc，所以ed平面sb