高中数学几何变换与矩阵2.2几种常见的平面变换章末分层突破学案苏教版.docx

2.2 几种常见的平面变换章末分层突破本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式)求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通常用代入法(相关点法)求解.下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？(1)，点A(2，1)；(2)，直线y2x2. 【解】(1)矩阵对应的坐标变换公式为把A(2，1)代入即得A的对应点为A(1，2)，该变换把列向量按顺时针方向旋转90.故该变换为旋转变换，如图所示.(2)设直线y2x2上任意一点P(x，y)按矩阵所表示的坐标变换对应的点为P(x，y)，则，即代入y2x2，得y2x2，即直线y2x2经过变换得到的图形为直线y2x2，如图所示，此变换为关于x轴的反射变换.二、求变换矩阵根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.求把ABC变换成ABC的变换对应的矩阵，其中A(2，1)，B(0，1)，C(0，1)；A(2，3)，B(0，1)，C(0，1).【解】设变换对应的矩阵为，由已知，得，即即变换对应的矩阵为.三、函数方程思想本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.(1)，图形的方程为：x2y24；(2)，图形的方程为：y2x6.【解】(1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A(x，y)为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则，2xx1，yy1，即x，yy1将其代入x2y24可得到方程y4，此方程表示椭圆.所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换.(2)所给方程表示的是一条直线.设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1).，x10，y12xy.又由y2x6得2xy6，A1(0，6)为定点.通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.如图226所示，对反比例函数图象C：y经过旋转变换将其方程改写为标准形式.图226【解】设P(x，y)为曲线C上任意一点，它在变换T作用下的象P(x，y)，其中变换矩阵为，则解得故xy4，y2x28，因此旋转后的方程为1.章末综合检测(二)1.当k0时，你能猜想表示的变换吗？并对你的猜想作出证明.【解】猜想表示的变换是将平面图形作沿y轴方向伸长(k1)或压缩(0k1)或恒等(k1)变换，证明如下：对于平面上任意一点P(x，y)，在矩阵的作用下，横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍.2.若点A在矩阵M对应的变换作用下得到点为B(1，0)，求的值. 【导学号：30650022】【解】由题意知，所以解得从而可知，2k，(kZ).3.已知直线l与直线3x5y60平行，且过点(5，6)，求矩阵将直线l变成了什么图形？并写出方程.【解】由已知得直线l的方程为3x5y450，设P(x，y)为l上的任意一点，点P在矩阵对应的变换下对应点P(x，y).则，代入3x5y450，得3x25y450，直线l变换成直线3x25y450.4.求直线y2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式.【解】设点(x，y)为直线y2x上的任意一点，其在矩阵确定的变换作用下得到的点为(x，y)，则，即所以将其代入y2x，并整理得2x7y0，所以直线y2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x7y0. 5.切变变换矩阵把直线xy1变成什么几何图形？【解】设P(x，y)在该变换下的象为P(x，y)，则，故所以切变变换矩阵把直线xy1变成与y轴平行的直线x1.6.若曲线x24xy2y21在矩阵M的作用下变换成曲线x22y21，求a，b的值.【解】设(x，y)为曲线x24xy2y21上的任意一点，其在矩阵M的作用下变换成点(x，y)，则(x，y)在曲线x22y21上，即将其代入x22y21，并整理，得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21，比较系数得解得7.点(2，2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y，4)，求x，y，m，n. 【导学号：30650023】【解】因为矩阵是旋转变换矩阵，所以m，n.由题意知，所以解得8.二阶矩阵M对应的变换T将点(1，1)，(2，1)均变为点(1，1).(1)求矩阵M；(2)直线l：2x3y10在变换T作用下得到什么图形？说明理由.【解】(1)设M，则由题设得，且，即解得所以M.(2)设P(x，y)是l：2x3y10上任一点P(x，y)是对应的点，则由，得即2x3yxy.又2x3y10，所以xy1.故在l在变换T作用下变为点(1，1).9.求直线y2x1绕原点逆时针旋转45后所得的直线方程.【解】.设直线y2x1上任意一点为(x0，y0)，其在旋转变换作用下得到点(x0，y0)，则，即解得因为点(x0，y0)在直线y2x1上，所以2x0y010，所以2(x0y0)(x0y0)10，整理得x0y010.所以直线y2x1绕原点逆时针旋转45后所得的直线的方程是xy10.10.如图1所示的是一个含有60角的菱形ABCD，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M.该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵. 【导学号：30650024】图1【解】由题设知A