含参数函数恒成立问题.doc

巧用变换自变量解决有关含参数函数恒成立问题数学组 陈艳 数学中的常量和变量相互依存，并在一定条件下相互转化而参数（也叫参变量）是介于常量和变量之间的具有中间性质的量，它的本质是变量，但又可视为常数，正是由于参数的这种两重性和灵活性，在分析和解决问题的过程中，引进参数就能表现出较大的能动作用和活力，“引参求变”是一种重要的思维策略，是解决各类数学问题的有力武器参数是数学中的活泼“元素”，特别是一个数学问题中条件与结论涉及的因素较多，转换过程较长时，参数的设定和处理的作用尤为突出，处理好参数与常数及变数的联系与转换，在某些问题的求解过程中起到了十分关键的作用，下面就变换自变量法 解决一类恒成立的问题举例说明. 例1、，当-2，2时，有恒成立，求实数x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。而这个一次函数的图象是只是在-2，2内的一段线段，所以只需两端的函数值大于零即可略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.例2设不等式2x1m(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x1)m(2x1)0在-2,2上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)(x1)m(2x1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在-2,2内恒为负值时参数x应该满足的条件。解：问题可变成关于m的一次不等式：(x1)m(2x1)m(x1)的解集是-2,2时求m的值、关于x的不等式2x1m(x1)在-2,2上恒成立时求m的范围。例设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在区间-2，2上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围 分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间-2，2上变动时，P恒为正值”的含义你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1因为 P=f(t)在直角坐标系内是一直线，所以t在区间-2，2上变动时，P恒为正值的充要条件解得log2x3或log2x-1说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题练习、对任意，恒成立，则的取值范围是 。规律总结：在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而