技术经济学4.ppt

第4章资金等值计算 所讲内容 资金时间价值利息与利率资金等值计算公式资金等值计算公式的应用重点掌握知识点 理解资金时间价值内涵 理解利息与利率的概念 正确理解名义利率和实际利率 掌握资金等值计算 1 资金时间价值 在不同时点上相同数额的资金在价值上是不等的 也就是说资金的价值会随时间的延续而发生变化 资金时间价值指资金在不断运动过程中随时间的推移而产生的增值 也就是资金随时间变化而产生的资金价值的变化量 资金时间价值的含义可从两个方面理解 投资者角度消费者角度影响资金时间价值的因素从投资角度来看主要有 投资收益率 通货膨胀补偿率和风险补偿率 资金时间价值广义概念 因上述所有因素引起的资金价值的变化量 资金时间价值狭义概念 扣除风险和通货膨胀因素后资金价值的真实变化量 主要从投资收益方面来考虑 技术经济分析中通常指狭义的资金时间价值 资金时间价值表达法 绝对数 利息额 利润额 和相对数 利息率 利润率 2 利息与利率 一 利息与利率的概念利息 指占用资金所付出的代价或放弃使用资金所得到的补偿 如果将一笔资金 本金 存入银行 经过一段时间之后 储户可在本金之外再得到一笔利息 过程可表示为 Fn P In n为利息的周期数 计息周期指计算利息的时间单位 如年 月 日等 狭义利息 通过银行信贷而付出的代价或得到的报酬 广义利息 利息和利润都是资金时间价值 称为广义利息 技术经济学当中用的是广义利息的概念 利率 指一个计息周期内所得到的利息额与本金之比 一般用百分数 或千分数 表示 由于计息周期不同 利率有年利率 季利率 月利率等 技术经济分析当中常用年利率 狭义利率 仅指银行利率 广义利率 指资金时间价值率 泛指由于资金运动所产生的各种收益率 如投资收益率 资金利润率以及银行利率等 技术经济学当中用的是广义利率的概念 单利与复利单利 仅用本金计算利息 利息不再生息 单利计息时 每期利息额相等 设i代表利率 则本金P在n期后的利息额In及本利和Fn分别为In p i nFn P In P p i n P 1 i n 例1 将100元钱存入银行 年利率为10 单利计息 问3年后一共可得多少钱 解 Fn P 1 i n 100 1 10 3 130 元 学生训练题 某人拟从证券市场购买1年前发行的3年期利率为14 单利 到期一次还本付息 面额为500元的国库券 若此人要求在余下的2年中获得12 的年利率 问此人应该以多大的价格购入 解 设此人以P元买入此国库券 则 P 1 12 2 500 1 14 3 P 572 58 元 复利 不仅本金计算利息 而且利息还要生息 即用本金与前期累计利息之和计算利息 复利计算的本利和公式为 Fn P 1 i n推导过程 F1 P 1 i F2 P 1 i P 1 i i P 1 i 2F3 P 1 i 2 P 1 i 2 i P 1 i 3Fn P 1 i n 1 P 1 i n 1 i P 1 i n复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动的实际状况 在技术经济分析中 一般采用复利计息 某工程期初向银行借款100万元 若贷款年利率为10 一年计息一次 用复利法计算到期后应付的本利及利息 还款期为5年 解 Fn P 1 i n 100 1 10 5 161 05 万元 In Fn P 161 05 100 61 05 万元 名义利率与实际利率计息周期有很多 当利率的时间单位与计息周期的时间单位不一致时 就会产生名义利率与实际利率的区别 如已知月利率 而要每年计息一次 就会产生此问题 实际利率是指计算利息时实际采用的有效利率 年名义利率 计息周期的实际利率乘以1年内计息次数得到的年利率 例 月利率为1 每月计息一次 月实际利率为1 年名义利率 1 12 12 年实际利率为 1 1 12 1 12 68 实际计算利息时不用名义利率 而用实际利率 名义利率只是习惯上的表示法 假如按月计算利息 且其月利率为1 通常称为 年利率为12 每月计息一次 这里年利率12 为年名义利率 设r表示年名义利率 i表示年实际利率 m表示一年中计息次数 则计息周期的实际利率为r m 根据复利计息公式 本金P在一年后的本利为F P 1 r m m一年中得到的利息为 I F P P 1 r m m P则年实际利率为 i I P P 1 r m m P P 1 r m m 1从式中可以看出 当m 1时 i r 当m 1时 i r 当m 时 即为连续复利计息 i er 1 e为自然对数 例 年利率为12 每季度计息一次 年初存款100元 年末本利为多少 解 1 年名义利率为12 季度利率为12 4 3 F 100 1 3 4 112 55 2 年名义利率为12 年实际利率为 1 12 4 4 1 F 100 1 1 12 4 4 1 100 1 3 4 112 55 3 资金等值计算公式 一 资金等值的概念资金等值是指考虑时间因素后不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下具有相等的价值 影响资金等值的因素有三个 资金额大小 资金发生的时间 资金时间价值率 利率 几个概念 资金等值计算 利用资金等值概念 把一个时点发生的资金金额按一定的资金时间价值率换算成另一个时点的等值金额 折现 把未来一个时点发生的资金金额换算成现在时点的等值金额 现值 未来时点上的资金折现后的金额 是一个相对概念 用符号P表示 终值 与现值等价的未来时点上的资金金额 也是一个相对概念 用符号F表示 等年值 指分期等额收付的资金值 由于各期间隔通常为1年 且各年金额相等 故又称为年金 用符号A表示 贴现与贴现率 把终值计算为现值的过程叫贴现或折现 贴现时所用的利率称为贴现率或折现率 二 资金等值计算式资金有时间价值 不同时点上发生的现金流入和现金流出不同直接相加减 必须通过资金等值计算将它们折算到同一时点上进行分析 本节将介绍四种现金流量类型 共十个资金等值计算公式 计算时采用的是复利计息的方式 一次收付类型 又叫整收或整付 即在现金流量分析中无论是流入还是流出 均在某一时点上一次收入或支付 如期初有一笔资金P 在利率为i的条件下 等值于n期后的资金F 其现金流量的等值关系如图所示 一次收付有两个等值计算公式 一次收付终值公式和一次收付现值公式 一次收付终值公式F P 1 i n此式表示在利率i的条件下 现值P与n期后终值F的等值关系 适用于已知P i n求F 1 i n称为一次收付终值系数 可用符号 F P i n 右边已知 左边未知 表示 其数值可查复利系数表 故F P 1 i n P F P i n 例 某项目现在投资10万元 年利率为10 5年期满后一次收回本息 问能收回多少资金 解 F P 1 i n P F P i n 10 F P 10 5 10 1 611 16 11 万元 一次收付现值公式P F 1 i n此式适用于已知F i n求P的情况 式中1 1 i n称为一次收付现值系数 可用符号 P F i n 表示 其数值可查复利系数表 例 某人计划5年后从银行提取1万元 如果银行年利率为5 问现在应存入银行多少钱 解 P F 1 i n F P F i n 10000 P F 5 5 10000 0 7835 7835元 等额分付类型一次收付形式现金流量是在一个时点上发生 多次收付是指现金流入和现金流出在多个时点上发生 而不是集中在某个时点上 现金流量可以是相等的 也可以是不等的 当现金流量序列是连续的且数额相等 则称之为等额序列现金流 如图表示 等额序列现金流共有四个基本公式 年金终值公式 偿债基金公式 年金现值公式 等额资金回收公式 年金终值公式表示在利率为i条件下 n个等额资金A与n期末终值F的等值关系 如图 F A 1 i n 1 A 1 i n 2 A 1 i 1 A 1 i 0 A 1 i n 1 i此式适用于已知A i n求F的情况 式中 1 i n 1 i称为年金终值系数 可用符号 F A i n 表示 其数值可查复利系数表 例1 某工程项目计划3年建成 每年末等额投资1000万元 全部资金均为银行贷款 年利率为8 问项目建成投产时欠款本利和为多少 解 已知A 1000万元 i 8 n 3 故F A F A i n 1000 F A 8 3 1000 3 246 3246万元例2 如果你每年年末存10000元 按照6 的利率 5年后你得多少钱 56370元 偿债基金公式 存储基金公式 偿债基金公式是年金终值公式的逆运算 表示第n期末终值F与n个等额支付值A之间的等值关系 如图 A Fi 1 i n 1 它适用于已知F i n求A的情况 式中i 1 i n 1 称为偿债基金系数 可用符号 A F i n 表示 其数值可查复利系数表 例 某企业资金利润率为20 从现在起每年末应将多少利润投入再生产 才能在第5年末取得1000万元的资金 解 已知F 1000万元 i 20 n 5A F A F i n 1000 A 20 5 1000 0 1344 134 4万元 年金现值公式表示在利率为i的条件下 年金A与现值P之间的等值关系 如图 根据年金终值公式F A 1 i n 1 i两边均乘以1 1 i n得 F 1 i n A 1 i n 1 i 1 i n即 P A 1 i n 1 i 1 i n它适用于已知A i n求P的情况 式中 1 i n 1 i 1 i n称为年金现值系数 用符号 P A i n 表示 其数值可查复利系数表 当n lim 1 i n 1 i 1 i n 1 i所以当周期数n足够大时 P A i 我们把这时候的年金称为永续年金 例 如铁路 公路等永久性工程 例 某企业拟购买一台新设备 预计该设备每年获净收益1万元 设备寿命10年 残值不计 问在投资收益率不低于10 的条件下 企业可接受的设备最大售价是多少 解 企业购买设备是为了取得收益 当设备在其寿命期内所创造的净收益的现值恰好等于设备售价时时 此售价即为可接受的最大售价 故本题为已知A 1万元 i 10 n 10P A P A i n 1 P A 10 10 1 6 145 6 145万元等额资金回收公式表示在利率为i条件下 现值P与年金A之间的等值关系 如图 等额资金回收公式是年金现值公式的逆运算 P A 1 i n 1 i 1 i n故A Pi 1 i n 1 i n 1 它适用于已知P i n求A的情况 式中i 1 i n 1 i n 1 称为等额资金回收系数 用符号 A P i n 表示 其数值可查复利系数表 例 某项目贷款200万元 银行4年内等额收回全部贷款 已知贷款利率为10 那么项目每年的净收益不应少于多少万元 解 项目每年净收益的现值至少要等于贷款 否则没赚钱 故本题已知P 200万元 i 10 n 4A P A P i n 200 A P 10 4 200 0 31547 63 094万元上面四个公式都是等额现金流 等额系列也叫年金系列 根据年金发生时间的不同 年金可分为后付年金 先付年金 延期年金和永续年金 前面已讲 例 如果你每年年初存10000元 按照6 的利率 5年后你得到多少钱 每期期末有等额款项收付的现金流 称为后付年金 也称普通年金 以上介绍的等额序列现金流量四个等值计算公式都是针对普通年金而言的 后面查表也是指查这个 每期期初有等额款项收付的现金流 称为先付年金 也称预付年金 先付年金的终值与现值分别按下式计算 将年初的年金A换算成年末的年金A 1 i F A 1 i 1 i n 1 iP A 1 i 1 i n 1 i 1 i n延期年金是指最初m期没有款项收付 后面连续n期有等额款项收付 如图 延期终值计算公式与普通年金终值公式一样 都是n期 都是折算到期末 现值计算时 先折现到m期的现值 再折现到期初的现值 P A 1 i n 1 i 1 i n 1 i m 等差系列现金流量类型在经济活动中 现金的收支常是不等额的 其中有一种比较典型的现金流量 等差系列现金流量 如图 F H 1 i n 1 H G 1 i n 2 H n 1 G 经过整理F H G i 1 i n 1 i nG iP H G i 1 i n 1 i 1 i n nG i 1 i n例1 如果你第1年年末在银行中存1000元 以后每年存款在上一年的基础上增加50元 利率为8 10年后你得到多少钱 解 本题中 H 1000 G 50 i 8 n 10F H G i 1 i n 1 i nG i 1000 50 8 1 8 10 1 8 10 50 8 17291 375元学生训练题 某企业新购进一台设备 估计可用5年 不计残值 使用该设备第1年需支付维护费用1000元 以后逐年递增500元 年利率为10 求设备维护费用的现值 解 本题中 H 1000 G 500 i 10 n 5 P H G i 1 i n 1 i 1 i n nG i 1 i n 1000 500 10 1 10 5 1 10 1 10 5 5 500 10 1 10 5 7216 97元等比系列现金流量在不等额序列现金流量系列中 还有一种比较典型的现金流量 等比系列现金流量 如图 F H 1 i n 1 H 1 g 1 i n 2 H 1 g n 1经过整理 g i时 F H 1 i n 1 g n i g g i时 F nH 1 i n 1g i时 P H 1 1 g n 1 i n i g g i时 P nH 1 i 例 如果第1年末开始投资10000元 以后每年增长10 若利息率是8 那么第10年末一共累计多少钱 解 本题中 H 10000 g 10 i 8 n 10 F H 1 i n 1 g n i g 10000 1 8 10 1 10 10 8 10 217500元学生训练题 若租用某仓库 目前年租金为23000元 年底支付 预计租金水平今后10年内每年将上涨5 若将该仓库买下来 需一次支付20万元 但十年后仍可以20万元的价格售出 按折现率15 计算 是租合算 还是买合算 解 若租用该仓库 10年内全部租金的现值为 P1 H 1 1 g n 1 i n i g 23000 1 1 5 10 1 15 10 15 5 137397元若购买该仓库 全部费用的现值为 P2 200000 200000 1 15 10 150568万元因为租房费用小 故租用合算 资金等值公式小结 4 资金等值计算公式的应用 例1 如图所示 考虑资金时间价值后 总现金流出等于总现金流入 试用利用各种资金等值系数 用已知项表示未知项 已知A1 A2 P1 i 求P2 已知A1 P1 P2 i 求A2 已知A2 P1 P2 i 求A1 解 根据总现金流出等于总现金流入 把它们全部折合到0时点上 有 P1 P2 P F i 5 A1 P A i 4 A2 P A i 5 P F i 5 或者把它们全部折合到第5年末 有 P2 P1 F P i 5 A1 F A i 4 F P i 1 A2 P A i 5 例2 我国银行过去整存整取定期存款年利率为 1年期1 98 5年期2 88 如果你有10000元钱估计5年内不会使用 方法一 按1年期存入 到期取出本利和再次存入 方法二 直接存5年期 注 定期存款按照单利计息 两种存法相比 利息差额有多少 解 方法一 F1 P 1 i n 10000 1 1 98 5 11029 99元方法二 F2 P 1 i n 10000 1 2 88 5 11440元F2 F1 11440 11029 99 410 01元 例3 贷款上大学 年利率为6 每学年初贷款10000元 4年毕业 毕业1年后开始还款 5年内按等额偿还 每年应付多少 解 先画出现金流量图 然后把借款和还款额全部折合到期初 有 10000 1 6 P A 6 4 A P A 6 5 P F 6 4 或把借款和还款额全部折合到第4期期末 有 10000 1 6 F A 6 4 A P A 6 5 A 11010 2元 例4 一个汽车修理部的一台钻床在将来5年内的操作费分别为 1100元 1225元 1350元 1475元 1600元 如果使用12 的折现率 这些费用的现值是多少 解 基本方法 P 1100 P F 12 1 1225 P F 12 2 1350 P F 12 3 1475 P F 12 4 1600 P F 12 5 简便方法 观察数据 发现是一个等差数列H 1100 G 125 i 12 n 5P H G i 1 i n 1 i 1 i n nG i 1 i n 1100 125 12 1 12 5 1 12 1 12 5 5 125 12 1 12 5 4762 34 例5 某公司拥有一处还可使用20年的商用房屋预备出手 如果是出租 目前每平方米的月租金是60元 假设每年年初支付当年的租金 预计租金水平在今后20年内每年上涨6 如果将该房屋卖掉 每平方米目前市值是7000元 若投资收益率为15 问该公司是出租还是转让 解 面积一样 只需要比较单位面积的现值即可 转让P1 7000出租H 60 12 F P 15 1 g 6 i 15 n 20P2 H 1 1 g n 1 i n i g 60 120 F P 15 1 1 1 6 20 1 15 20 15 6 7397元因为P2 P1故出租合算 例6 某企业拟购买大型设备 价值为500万元 有两种付款方式可供选择 一次性付款 优惠12 分期付款 则不享受优惠 首次支付必须达到40 第1年末付30 第2年末付20 第3年末付10 假若企业购买设备所用资金是自有资金 自有资金的机会成本为10 问应选择哪种付款方式 又假若企业用借款资金购买设备 借款利率为16 则应选择哪种付款方式 解 1 若机会成本成本为10 则资金时间价值为10 一次性付款 实际支出现值P 500 1 12 440万元分期付款 实际支出现值P 500 40 500 30 P F 10 1 5