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1 第一章第一章 函数 极限与连续函数 极限与连续 A A 1 区间表示不等式 a A B C D xa xaxa xa 2 若 则 1 3 tt 1 3 t A B C D 1 3 t2 6 t2 9 t233 369 ttt 3 设函数的定义域是 xxxxfarcsin2513ln A B C D 2 5 3 1 2 5 1 1 3 1 1 1 4 下列函数与相等的是 xf xg A B 2 xxf 4 xxg xxf 2 xxg C D 1 1 x x xf 1 1 x x xg 1 1 2 x x xf 1 xxg 5 下列函数中为奇函数的是 A B C D 2 sin x x y x xey 2 x xx sin 2 22 xxxxysincos 2 6 若函数 则的值域为 xxf 22 x 1 xf A B C D 2 0 3 0 2 0 3 0 7 设函数 那么为 x exf 0 x 21 xfxf A B C D 21 xfxf 21 xxf 21x xf 2 1 x x f 8 已知在区间上单调递减 则的单调递减区间是 xf 4 2 xf A B C D 不存在 0 0 9 函数与其反函数的图形对称于直线 xfy xfy 1 2 A B C D 0 y0 xxy xy 10 函数的反函数是 210 1 x y A B C D 2 lg x x y2logxy x y 1 log2 2lg1 xy 11 设函数 则 是无理数 是有理数 x xa xf x 0 10 a A 当时 是无穷大 B 当时 是无穷小 x xf x xf C 当时 是无穷大 D 当时 是无穷小 x xf x xf 12 设在上有定义 函数在点左 右极限都存在且相等是函 xfR xf 0 x 数在点连续的 xf 0 x A 充分条件 B 充分且必要条件 C 必要条件 D 非充分也非必要条件 13 若函数在上连续 则的值为 1 cos 1 2 xx xax xf Ra A 0 B 1 C 1 D 2 14 若函数在某点极限存在 则 xf 0 x A 在的函数值必存在且等于极限值 xf 0 x B 在函数值必存在 但不一定等于极限值 xf 0 x C 在的函数值可以不存在 xf 0 x D 如果存在的话 必等于极限值 0 xf 15 数列 是 0 3 1 4 2 5 3 6 4 A 以 0 为极限 B 以 1 为极限 C 以为极限 D 不存在在极限 n n2 16 x x x 1 sinlim 3 A B 不存在 C 1 D 0 17 x x x 2 1 1lim A B C 0 D 2 e 2 1 18 无穷小量是 A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以零为极限的一个变量 D 数零 19 设则的定义域为 31 1 10 2 01 2 xx x x xf x xf 0f 1f 20 已知函数的定义域是 则的定义域是 xfy 1 0 2 xf 21 若 则 x xf 1 1 xff xfff 22 函数的反函数为 1 x ey 23 函数的最小正周期 xy sin5 T 24 设 则 2 1 1 xx x f xf 25 13limnnn x 26 n n n 3 1 9 1 3 1 1 2 1 4 1 2 1 1 lim 27 xx x lnlim 0 28 50 3020 15 2332 lim x xx x 4 29 函数的不连续点为 2 3 21 1 1 xx xx xx xf 30 n n n x 3 sin3lim 31 函数的连续区间是 1 1 2 x xf 32 设 处处连续的充要条件 0 0 2 xxxba xbax xf 0 ba xf 是 b 33 若 复合函数的连续区间是 0 1 0 1 x x xf xxgsin xgf 34 若 均为常数 则 0 1 lim 2 bax x x x ab a b 35 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪既非奇函数又非偶函数 1 2 3 4 22 1xxy 32 3xxy 2 2 1 1 x x y 11 xxxy 5 6 1cossin xxy 2 xx aa y 36 若 证明 t tt ttf5 52 2 2 2 t ftf 1 37 求下列函数的反函数 1 2 12 2 x x y 1 1 sin21 x x y 38 写出图 1 1 和图 1 2 所示函数的解析表达式 yy 2 1 1 xx 1 图 1 1 图 1 2 5 39 设 求 xx x x x xf 0 1 0 sin 2 xf x0 lim 40 设 求 3 21 2 222 n n n xn n n x lim 41 若 求 2 1 x xf x xfxxf x 0 lim 42 利用极限存在准则证明 1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 43 求下列函数的间断点 并判别间断点的类型 1 2 3 4 2 1x x y 2 2 1 x x y x x y xy 44 设 问 21 1 1 2 1 10 x x xx xf 1 存在吗 xf x1 lim 2 在处连续吗 若不连续 说明是哪类间断 若可去 则 xf1 x 补充定义 使其在该点连续 45 设 1 3 10 1 2 xx xx xf 1 求出的定义域并作出图形 xf 2 当 1 2 时 连续吗 2 1 x xf 3 写出的连续区间 xf 46 设 求出的间断点 并指出是哪 2 4 20 4 2 0 2 2 x xx xx xf xf 一类间断点 若可去 则补充定义 使其在该点连续 47 根据连续函数的性质 验证方程至少有一个根介于 1 和 2 之13 5 xx 6 间 48 验证方程至少有一个小于 1 的根 12 x x B B 1 在函数的可去间断点处 下面结论正确的是 xf 0 x A 函数在左 右极限至少有一个不存在 xf 0 x B 函数在左 右极限存在 但不相等 xf 0 x C 函数在左 右极限存在相等 xf 0 x D 函数在左 右极限都不存在 xf 0 x 2 设函数 则点 0 是函数的 0 0 0 sin 3 1 x xxx xf xf A 第一类不连续点 B 第二类不连续点 C 可去不连续点 D 连续点 3 若 则 0lim 0 xf x A 当为任意函数时 有成立 xg 0lim 0 xgxf xx B 仅当时 才有成立 0lim 0 xg xx 0lim 0 xgxf xx C 当为有界时 能使成立 xg 0lim 0 xgxf xx D 仅当为常数时 才能使成立 xg 0lim 0 xgxf xx 4 设及都不存在 则 xf xx 0 lim xg xx 0 lim A 及一定不存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim B 及一定都存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim C 及中恰有一个存在 而另一个不存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim D 及有可能存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim 7 5 的值为 x x x x sin 1 sin lim 2 0 A 1 B C 不存在 D 0 6 21 1sin lim 2 2 1 xx x x A B C 0 D 3 1 3 1 3 2 7 按给定的的变化趋势 下列函数为无穷小量的是 x A B 1 4 2 xx x x1 1 1 x x x C D x 210 x x x sin 0 x 8 当时 下列与同阶 不等价 的无穷小量是 0 xx A B C D xx sin x 1lnxx sin 2 1 x e 9 设函数 则为 xxg21 2 2 1 x x xgf 2 1 f A 30 B 15 C 3 D 1 10 设函数 的值域为 的值 42 2 xxf20 xE 12 2 2 xx xg 域为 则有 F A B C D FE FE FE FE 11 在下列函数中 与表示同一函数的是 xf xg A B 1 xf 0 1xxg xxf x x xg 2 C D 2 xxf xxg 33 xxf xxg 12 与函数的图象完全相同的函数是 xxf2 A B C D x e2ln x2arcsinsin x e 2ln x2sinarcsin 13 若 下列各式正确的是 1 x A B C D 1 1 x 1 2 x1 3 x1 x 8 14 若数列有极限 则在的领域之外 数列中的点 n xaa A 必不存在 B 至多只有限多个 C 必定有无穷多个 D 可以有有限个 也可以有无限多个 15 任意给定 总存在 当时 则 0 M0 XXx Mxf A B xf xlim xf x lim C D xf xlim xf xlim 16 如果与存在 则 xf xx 0 lim xf xx 0 lim A 存在且 xf xx 0 lim 0 0 limxfxf xx B 存在 但不一定有 xf xx 0 lim 0 0 limxfxf xx C 不一定存在 xf xx 0 lim D 一定不存在 xf xx 0 lim 17 无穷多个无穷小量之和 则 A 必是无穷小量 B 必是无穷大量 C 必是有界量 D 是无穷小 或是无穷大 或有可能是有界量 18 则它的连续区间为 1lnarccos 2 xy A B 1 x2 x C D 1 22 1 ee 1 22 1 ee 19 设 则它的连续区间是 nx nx xf n 1 3 lim A B 为正整数 处 n x 1 n C D 及 处 00 0 x n x 1 20 设要使在处连续 则 0 0 xxa xe xf x xf0 x a A 2 B 1 C 0 D 1 9 21 设 若在上是连续函数 则 0 0 3 sin 1 xa x x xxf xf a A 0 B 1 C D 3 3 1 22 点是函数的 1 x 1 3 1 1 1 13 xx x xx xf A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 23 方程至少有一根的区间是 01 4 xx A B C D 2 1 0 1 2 1 3 2 2 1 24 下列各式中的极限存在的是 A B C D x x sinlim x x e 1 0 lim 13 52 lim 2 2 x xx x 12 1 lim 0 x x 25 x x x sin lim 0 A 1 B 0 C 1 D 不存在 26 222 21 lim n n nn n 27 若 则 3 11 2 2 x x x xf xf 28 函数的单调下降区间为 1ln 2 xy 29 已知 则 2 23 5 lim 22 n bnna n a b 30 则 2 1 2 lime x x ax x a 31 函数的不连续点是 是第 类不连续点 x exf 1 10 32 函数的不连续点是 是第 不连续点 x xf 1 sin 33 当时 0 x 11 3 x 34 已知 为使在连续 则应补充定义 xxxf 1 1 xf0 x 0f 35 若函数与函数的图形完全相同 则的取值范围是 1 xf x x xg x 36 设 若 则 若 则 3 xxxf 0 xf x 0 xf x 若 则 0 xf x 37 设 则 0 0 2 xx xx xf 0 3 0 5 xx xx xg xgf 38 设 函数有意义 则函数的定义域 10 u uf xf ln 39 设数列的前项和为 那么 1 1 n n xn n S n x 1 lim n SSS 21 40 如果时 要无穷小与等价 应等于 0 x xcos1 2 sin 2x aa 41 要使 则应满足 0lim 1 0 x x baxb 42 xx x 1lim 2 43 函数 当 时 函数连续 1 1 1 1 2 xA x x x xf A xf 44 已知 则 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x a b 11 45 若无间断点 0 0 2 1 xa xe xf x xf x0 lim xf 则 a 46 函数在点处可可连续开拓 只须令 x xxf 1 sin 0 x 0f 47 xx x x cos cos1 lim 2 0 48 x x e x3 lim 49 2 0 2cos1 lim x x x 50 设 证明 当 下列等式成立 xxGln 0 x0 y 1 2 xyGyGxG y x GyGxG 51 设 求和 1 1 1 0 1 1 x x x xf x exg xgf xfg 52 若 证明 x x x 1 1 lg yz zy zy 1 53 根据数列极限的定义证明 1 2 2 3 12 13 lim n n x 01lim nn n 3 4 19990lim 个n n 1lim 2 n nn n 54 根据函数极限的定义证明 1 2 0 1 sinlim 0 x x x 3 2 3 21 lim 2 2 x x x 3 4 0lim x arctgx x 02lim 2 x x 55 求下列极限 1 2 为正整数 23 1 lim 2 2 0 xx x x 1 1 lim 1 m n x x x nm 12 3 4 x x x 1 1 lim 7 cos lim x xx x 5 6 100 1981 32 8574 lim x xx x 3 1 1 3 1 1 lim xx x 7 8 xx x x sin 2cos1 lim 0 2 cos lim 2 x x x 9 10 x x x arcsin lim 0 ax ax ax 22 sinsin lim 11 12 x x x 1 0 21lim x x x x 1 0 1 1 lim 13 14 为正整数 x x tgx cos 0 1lim kx x x 1 1limk 56 当时 求下列无穷小量关于的阶0 xx 1 2 3 4 63 xx 32 sin xxxx 11xtgxsin 57 试证方程 其中 至少有一个正根 并且不bxax sin0 a0 b 超过 ba 58 设在闭区间上连续 且 则在上至少存在 xf a2 0 aff20 a 0 一个 使 x axfxf 59 设在上连续 且 试证 在内至少 xf ba aaf bbf ba 有一点 使得 f 60 设数列有界 又 证明 n x0lim n n y0lim nn n yx 61 设 求 4 3 4 3 4 3 4 3 321 n n nnn xn n n x lim 62 设 求及 21 3 1 2 11 3 2 xx x xx xf xf x0 lim xf x1 lim 63 求 xx xx x ee ee lim 13 64 求 3 0 2sinsin2 lim x xx x 65 求下列极限 1 2 t et t 1 lim 2 x x x cos2 2sin lim 4 3 4 1 45 lim 1 x xx x ax ax ax sinsin lim 5 6 xxxx x 22 lim x x xtg cos 2 0 31lim 7 8 x e x x 1 lim 0 1 12 32 lim x x x x 66 求 x x x 1ln lim 0 C C 1 若存在 对任意 适合不等式的一切 有0 0 axx 则 Lxf A 在不存在极限 B 在严格单调 xfa xf aa C 在无界 D 对任意 xf aa aax Lxf 2 若存在 对任意 适合不等式的一切 有0 0 axx 则 Lxf A B 在上无界 Lxf ax lim xfR C 在上有界 D 在上单调 xfR xfR 3 函数 则此函数 n n n n xx x xf 2 21 lim 0 x A 没有间断点 B 有一个第一类间断点 C 有两个以上第一类间断点 D 有两个以上间断点 但类型不确定 4 若函数的定义域为 则的取值范围是 34 7 2 kxkx kx yRk 14 A B 或 C D 4 3 0 k0 k 4 3 k 4 3 0 k 4 3 k 5 两个无穷小量与之积仍是无穷小量 且与或相比 A 是高阶无穷小 B 是同阶无穷小 C 可能是高阶 也可能是同阶无穷小 D 与阶数较高的那阶同阶 6 试决定当时 下列哪一个无穷小是对于的三阶无穷小 0 xx A B 是常数 xx 32 axa 3 0 a C D 23 0001 0 xx 3 tan x 7 指出下列函数中当时 为无穷大 0 x A B C D 12 x x x sec1 sin x e x e 1 8 如果在处连续 那么 0 0 11 xk x x xx xf xf0 x k A 0 B 2 C D 1 2 1 9 使函数为无穷小量的的变化趋势是 1 11 3 x xx yx A B C D 0 x1 x1 x x 10 设 若 则 x xf 1 zfyfxf z 11 若而 则 0 0 xx xx x xxf 2 xf 12 若在处连续 则 xee xx xe xf axax x 1 1 10 3 0 2 1 1 x a 13 设有有限极限值 则 1 4 lim 23 1 x xaxx x L a L 15 14 22 lim ax axax ax 0 a 15 证明不存在 x x sinlim 16 求 nn n x 1lim10 x 17 求 x xx x 1 93lim 18 设在处连续 且 以及 试证 在 xg0 x 00 g xgxf xf 处连续 0 x 19 利用极限存在准则证明 数列2 的极22 222 限存在 20 设适合 均为常数 且 试证 xf x c x bfxaf 1 abcba xfxf 21 设函数在内有定义 试求f 0 xf yfxfyxf 1985f 22 设 都为单调增加函数 且对一切实数均有 x x xfx 求证 xxfx xxffx 23 证明当时左右极限不存在 x xf 2 sin 0 x 24 设 证明 当时的极限存在 222 1 1 3 1 1 2 1 1 n xn n n x 25 若在上连续 则在上必有 xf ba bxxxa n 21 n xx 1 使 n xfxfxf f n 21 26 证明 若在内连续 且存在 则必在 xf xf x lim xf 内有界 16 27 求 的值 1992 1 lim nn n n 28 证明方程 在 内有唯一的0 3 3 2 2 1 1 x a x a x a 21 32 根 其中 均为大于 0 的常数 且 1 a 2 a 3 a 321 第一章第一章 函数 极限与连续函数 极限与连续 A A 1 区间表示不等式 B a A B C D xa xaxa xa 2 若 则 D 1 3 tt 1 3 t A B C D 1 3 t2 6 t2 9 t233 369 ttt 3 设函数的定义域是 C xxxxfarcsin2513ln A B C D 2 5 3 1 2 5 1 1 3 1 1 1 4 下列函数与相等的是 A xf xg A B 2 xxf 4 xxg xxf 2 xxg C D 1 1 x x xf 1 1 x x xg 1 1 2 x x xf 1 xxg 5 下列函数中为奇函数的是 A A B C D 2 sin x x y x xey 2 x xx sin 2 22 xxxxysincos 2 6 若函数 则的值域为 B xxf 22 x 1 xf A B C D 2 0 3 0 2 0 3 0 7 设函数 那么为 B x exf 0 x 21 xfxf 17 A B C D 21 xfxf 21 xxf 21x xf 2 1 x x f 8 已知在区间上单调递减 则的单调递减区间是 xf 4 2 xf C A B C D 不存在 0 0 9 函数与其反函数的图形对称于直线 C xfy xfy 1 A B C D 0 y0 xxy xy 10 函数的反函数是 D 210 1 x y A B C D 2 lg x x y2logxy x y 1 log2 2lg1 xy 11 设函数 则 B 是无理数 是有理数 x xa xf x 0 10 a A 当时 是无穷大 B 当时 是无穷小 x xf x xf C 当时 是无穷大 D 当时 是无穷小 x xf x xf 12 设在上有定义 函数在点左 右极限都存在且相等是函 xfR xf 0 x 数在点连续的 C xf 0 x A 充分条件 B 充分且必要条件 C 必要条件 D 非充分也非必要条件 13 若函数在上连续 则的值为 D 1 cos 1 2 xx xax xf Ra A 0 B 1 C 1 D 2 14 若函数在某点极限存在 则 C xf 0 x A 在的函数值必存在且等于极限值 xf 0 x B 在函数值必存在 但不一定等于极限值 xf 0 x C 在的函数值可以不存在 xf 0 x 18 D 如果存在的话 必等于极限值 0 xf 15 数列 是 B 0 3 1 4 2 5 3 6 4 A 以 0 为极限 B 以 1 为极限 C 以为极限 D 不存在在极限 n n2 16 C x x x 1 sinlim A B 不存在 C 1 D 0 17 A x x x 2 1 1lim A B C 0 D 2 e 2 1 18 无穷小量是 C A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以零为极限的一个变量 D 数零 19 设则的定义域为 2 31 1 10 2 01 2 xx x x xf x xf 3 1 0f 0 1f 20 已知函数的定义域是 则的定义域是 xfy 1 0 2 xf 1 1 21 若 则 x xf 1 1 xff x x1 xfffx 22 函数的反函数为 1 x ey1ln xy 23 函数的最小正周期 2 xy sin5 T 24 设 则 2 1 1 xx x f xf 2 1 1 1 xx 25 13limnnn x 2 3 26 n n n 3 1 9 1 3 1 1 2 1 4 1 2 1 1 lim 3 4 19 27 0 xx x lnlim 0 28 50 3020 15 2332 lim x xx x 50 3020 5 32 29 函数的不连续点为 1 2 3 21 1 1 xx xx xx xf 30 n n n x 3 sin3limx 31 函数的连续区间是 1 1 2 x xf 1 1 1 1 32 设 处处连续的充要条件 0 0 2 xxxba xbax xf 0 ba xf 是 0 b 33 若 复合函数的连续区间是 0 1 0 1 x x xf xxgsin xgf 1 kk2 1 0 k 34 若 均为常数 则 1 2 0 1 lim 2 bax x x x ab a b 35 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪既非奇函数又非偶函数 1 偶函数 22 1xxy 2 非奇函数又非偶函数 32 3xxy 3 偶函数 2 2 1 1 x x y 4 奇函数 11 xxxy 5 非奇函数又非偶函数1cossin xxy 6 偶函数 2 xx aa y 20 36 若 证明 t tt ttf5 52 2 2 2 t ftf 1 证 t tt tt f 1 552 1 2 1 2 2 tf 37 求下列函数的反函数 1 12 2 x x y 解 x x y 1 ln 1 2 1 1 sin21 x x y 2 1 arcsin1 2 1 arcsin1 x x y 38 写出图 1 1 和图 1 2 所示函数的解析表达式 解 1 2 0 1 0 2 x x y 0 1 0 1 xx xx y 39 设 求 xx x x x xf 0 1 0 sin 2 xf x0 lim 解 1 sin limlim 00 x x xf xx 11limlim 2 00 xxf xx 故 1lim 0 xf x 40 设 3 21 2 222 n n n xn 求 n n x lim yy 2 1 1 xx 1 图 1 1 图 1 2 21 解 3 6 121 lim 3 21 lim 22 222 n n nnn n n n nn 2 1 6 1 12 lim 6 212 1 1 lim n nn n nn 41 若 求 2 1 x xf x xfxxf x 0 lim 解 x xxx x 22 0 11 lim x xxxxx x 222 0 2 lim 32 2 0 22 lim xxxx xx x 42 利用极限存在准则证明 1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 证 2 2 2222 2 111 n n nnnn n nn n 且 由夹逼定理知1lim 2 2 nn n n 1lim 2 2 n n n 1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 43 求下列函数的间断点 并判别间断点的类型 1 2 3 4 2 1x x y 2 2 1 x x y x x y xy 22 解 1 当为第二类间断点 2 均为第二类间断点 1 x2 x 3 为第一类断点 4 均为第一类间断点 0 x 2 1 0 x 44 设 问 21 1 1 2 1 10 x x xx xf 1 存在吗 xf x1 lim 解 存在 事实上 故 xf x1 lim 1lim 1 xf x 1lim 1 1 xf x 1lim 1 xf x 2 在处连续吗 若不连续 说明是哪类间断 若可去 则 xf1 x 补充定义 使其在该点连续 解 不连续 为可去间断点 定义 则1 x 21 1 1 1 10 x x xx xf 在处连续 xf 1 x 45 设 1 3 10 1 2 xx xx xf 1 求出的定义域并作出图形 xf 解 定义域为 0 2 当 1 2 时 连续吗 2 1 x xf 解 时 连续 而时 不连续 2 1 x2 x xf1 x xf 3 写出的连续区间 xf 解 的连续区间 xf 1 0 1 46 设 求出的间断点 并指出是哪 2 4 20 4 2 0 2 2 x xx xx xf xf 一类间断点 若可去 则补充定义 使其在该点连续 y x 0 1 23 解 1 由 故为可去间断点 改变在 4lim 0 xf x 20 f0 x xf 的定义为 即可使在连续 0 x 40 f xf0 x 2 由 故为第一类间断点 4lim 2 xf x 0lim 2 xf x 2 x 3 类似地易得为第一类间断点 2 x 47 根据连续函数的性质 验证方程至少有一个根介于 1 和 2 之13 5 xx 间 验证 设 易知在上连续 且 13 5 xxxf xf 2 1 031 f 故 使 0251622 5 f 2 1 0 f 48 验证方程至少有一个小于 1 的根 12 x x 验证 设 易知在上连续 且 12 x xxf xf 1 0 010 f 故 使 011 f 2 1 0 f B B 1 在函数的可去间断点处 下面结论正确的是 C xf 0 x A 函数在左 右极限至少有一个不存在 xf 0 x B 函数在左 右极限存在 但不相等 xf 0 x C 函数在左 右极限存在相等 xf 0 x D 函数在左 右极限都不存在 xf 0 x 2 设函数 则点 0 是函数的 D 0 0 0 sin 3 1 x xxx xf xf A 第一类不连续点 B 第二类不连续点 C 可去不连续点 D 连续点 3 若 则 C 0lim 0 xf x A 当为任意函数时 有成立 xg 0lim 0 xgxf xx 24 B 仅当时 才有成立 0lim 0 xg xx 0lim 0 xgxf xx C 当为有界时 能使成立 xg 0lim 0 xgxf xx D 仅当为常数时 才能使成立 xg 0lim 0 xgxf xx 4 设及都不存在 则 D xf xx 0 lim xg xx 0 lim A 及一定不存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim B 及一定都存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim C 及中恰有一个存在 而另一个不存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim D 及有可能存在 xgxf xx 0 lim xgxf xx 0 lim 5 的值为 D x x x x sin 1 sin lim 2 0 A 1 B C 不存在 D 0 6 A 21 1sin lim 2 2 1 xx x x A B C 0 D 3 1 3 1 3 2 7 按给定的的变化趋势 下列函数为无穷小量的是 C x A B 1 4 2 xx x x1 1 1 x x x C D x 210 x x x sin 0 x 8 当时 下列与同阶 不等价 的无穷小量是 B 0 xx A B C D xx sin x 1lnxx sin 2 1 x e 9 设函数 则为 B xxg21 2 2 1 x x xgf 2 1 f A 30 B 15 C 3 D 1 10 设函数 的值域为 的值 42 2 xxf20 xE 12 2 2 xx xg 域为 则有 D F 25 A B C D FE FE FE FE 11 在下列函数中 与表示同一函数的是 D xf xg A B 1 xf 0 1xxg xxf x x xg 2 C D 2 xxf xxg 33 xxf xxg 12 与函数的图象完全相同的函数是 A xxf2 A B C D x e2ln x2arcsinsin x e 2ln x2sinarcsin 13 若 下列各式正确的是 C 1 x A B C D 1 1 x 1 2 x1 3 x1 x 14 若数列有极限 则在的领域之外 数列中的点 B n xaa A 必不存在 B 至多只有限多个 C 必定有无穷多个 D 可以有有限个 也可以有无限多个 15 任意给定 总存在 当时 则 A 0 M0 XXx Mxf A B xf xlim xf x lim C D xf xlim xf xlim 16 如果与存在 则 C xf xx 0 lim xf xx 0 lim A 存在且 xf xx 0 lim 0 0 limxfxf xx B 存在 但不一定有 xf xx 0 lim 0 0 limxfxf xx C 不一定存在 xf xx 0 lim D 一定不存在 xf xx 0 lim 17 无穷多个无穷小量之和 则 D A 必是无穷小量 B 必是无穷大量 C 必是有界量 D 是无穷小 或是无穷大 或有可能是有界量 18 则它的连续区间为 C 1lnarccos 2 xy 26 A B 1 x2 x C D 1 22 1 ee 1 22 1 ee 19 设 则它的连续区间是 B nx nx xf n 1 3 lim A B 为正整数 处 n x 1 n C D 及 处 00 0 x n x 1 20 设要使在处连续 则 B 0 0 xxa xe xf x xf0 x a A 2 B 1 C 0 D 1 21 设 若在上是连续函数 则 0 0 3 sin 1 xa x x xxf xf C a A 0 B 1 C D 3 3 1 22 点是函数的 C 1 x 1 3 1 1 1 13 xx x xx xf A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 23 方程至少有一根的区间是 D 01 4 xx A B C D 2 1 0 1 2 1 3 2 2 1 24 下列各式中的极限存在的是 C A B C D x x sinlim x x e 1 0 lim 13 52 lim 2 2 x xx x 12 1 lim 0 x x 25 D x x x sin lim 0 A 1 B 0 C 1 D 不存在 27 26 222 21 lim n n nn n 2 1 27 若 则 3 11 2 2 x x x xf xf1 2 x 28 函数的单调下降区间为 1ln 2 xy 0 29 已知 则 0 6 2 23 5 lim 22 n bnna n a b 30 则 2 2 1 2 lime x x ax x a 31 函数的不连续点是 是第 二 类不连续点 x exf 1 0 x 32 函数的不连续点是 是第 二类 不连续点 x xf 1 sin 0 x 33 当时 0 x 11 3 xx 34 已知 为使在连续 则应补充定义 xxxf 1 1 xf0 x 0f e 1 35 若函数与函数的图形完全相同 则的取值范围是 1 xf x x xg x 0 36 设 若 则 0 或 1 若 则 3 xxxf 0 xf x 0 xf x 若 则 1 1 0 0 xf x 10 1 37 设 则 0 0 2 xx xx xf 0 3 0 5 xx xx xg xgf 0 6 0 10 xx xx 38 设 函数有意义 则函数的定义域 10 u uf xf ln e 1 39 设数列的前项和为 那么 1 1 n n xn n S n x 1 lim n SSS 21 2 1 40 如果时 要无穷小与等价 应等于 2 0 x xcos1 2 sin 2x aa 28 41 要使 则应满足 0lim 1 0 x x baxb1 b 42 0 xx x 1lim 2 43 函数 当 2 时 函数连续 1 1 1 1 2 xA x x x xf A xf 44 已知 则 2 8 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x a b 45 0 若无间断点 0 0 2 1 xa xe xf x xf x0 lim xf 则 0 a 46 函数在点处可可连续开拓 只须令 0 x xxf 1 sin 0 x 0f 47 xx x x cos cos1 lim 2 0 2 1 48 0 x x e x3 lim 49 2 0 2cos1 lim x x x 2 1 50 设 证明 当 下列等式成立 xxGln 0 x0 y 1 xyGyGxG 证 yxyGxGlnln xyGxy ln 2 y x GyGxG 证 y x G y x yxyGxGlnlnln 51 设 求和 1 1 1 0 1 1 x x x xf x exg xgf xfg 29 解 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 x x x xg xg xg xgf 1 1 1 1 1 xe x xe exfg xf 52 若 证明 x x x 1 1 lg yz zy zy 1 解 yzzy yzzy z z y y zy 1 1 lg 1 1 lg 1 1 lg yzzy yzzy yz zy yz zy yz zy 1 1 lg 1 1 1 1 lg 1 故结论成立 53 根据数列极限的定义证明 1 2 3 12 13 lim n n x 证 要使 只要 取0 Ann n n 5 122 5 2 3 12 13 2 5 n 则当时 恒有 即 5 NNn 2 3 12 13 n n 2 3 12 13 lim n n x 2 01lim nn n 证 因 要使0 nn n 1 1 21 只要 取 则当时 恒有 n nn 2 1 1 2 2 1 n 2 2 1 NNn 即 nn1 01lim nn n 3 19990lim 个n n 证 因0 30 n n 10 1 199990 要使 只要 即只要 取 个n 99990 n 10 1 1 10 log n 则当时 恒有 即 1 10 logNNn 个n 9999019990lim 个n n 4 1lim 2 n nn n 证 因 只要 取0 nnnn nnn n nn 2 22 1 1 n 当时 恒有 即 1 NNn 1 2 n nn 1lim 2 n nn n 54 根据函数极限的定义证明 1 0 1 sinlim 0 x x x 证 因 要使 只要 0 x x x 1 sin x x 1 sin x 则当时 恒有 即 x x x 1 sin0 1 sinlim 0 x x x 2 3 2 3 21 lim 2 2 x x x 证 因 要使 要使0 22 2 3 1 3 2 3 21 xx x 3 2 3 21 2 2 x x 取 则当时 恒有 即 3 1 x 3 1 zXx 3 2 3 21 2 2 x x 3 2 3 21 lim 2 2 x x x 3 0lim x arctgx x 证 因 只要 取 则当0 xx arctgx 2 2 x 2 z 31 时 恒有 即 zx x arctgx 0lim x arctgx x 4 02lim 2 x x 证 要使 只要 取 则当0 2x 2 20 x 2 时 恒有 即 20 x 2x02lim 2 x x 55 求下列极限 1 23 1 lim 2 2 0 xx x x 解 原式 2 1 2 为正整数 1 1 lim 1 m n x x x nm 解 原式 m n xxx xxx mm nn x 021 021 1 lim 3 x x x 1 1 lim 解 原式1 1 1 1 1 lim x x x 4 7 cos lim x xx x 解 原式1 7 1 cos 1 lim x x x x 5 100 1981 32 8574 lim x xx x 解 原式 1931 100100 1001981 54 2 54 lim x x x 6 3 1 1 3 1 1 lim xx x 32 解 原式 1 11 21 lim 2 1 xxx xx x 7 xx x x sin 2cos1 lim 0 解 原式2 sin sin2 lim 2 0 xx x x 8 2 cos lim 2 x x x 解 原式1 2 2 sin lim 2 x x x 9 x x x arcsin lim 0 解 令 原式txsin 1 sin lim 0 t t x 10 ax ax ax 22 sinsin lim 解 原式axxx axax 2sin2sinlimcossin2lim 0 0 11 x x x 1 0 21lim 解 原式 2 e 12 x x x x 1 0 1 1 lim 解 原式 2 11 0 1 0 1lim 1lim e e e x x x x x x 13 x x tgx cos 0 1lim 解 原式 11lim 0 sin 1 0 etgx x tgx x 14 为正整数 kx x x 1 1limk 33 解 原式 k k x x e x 1 1lim 56 当时 求下列无穷小量关于的阶0 xx 1 解 3 阶 63 xx 2 解 阶 32 sin xx 3 7 3 解 1 阶xx 11 4 解 3 阶xtgxsin 57 试证方程 其中 至少有一个正根 并且不bxax sin0 a0 b 超过 ba 证 令 则 bxaxxf sin 00 bf 0sin bbaababaf 且 故 使 baaCxf ba 0 0 f 58 设在闭区间上连续 且 则在上至少存在 xf a2 0 aff20 a 0 一个 使 x axfxf 证 令 于是在上连续 由于条件 axfxfx x a 0 若 则显然结果成立 若 aff 00 afaf 2 00 00 显然 故使 02fafafafa 00 a ba 综上 使 axfxf a 0 axfxf 59 设在上连续 且 试证 在内至少 xf ba aaf bbf ba 34 有一点 使得 f 证 令 于是在上连续 且 xxfx x ba 0 aafa 故 使 即 0 bbfb ba 0 f 60 设数列有界 又 证明 n x0lim n n y0lim nn n yx 证 由假设不妨设 为一正数 由 故自然Mxn M0 0lim n n y 数 当时 恒有 故恒有 即 Nx M yn M Myx nn 0lim nn n yx 61 设 求 4 3 4 3 4 3 4 3 321 n n nnn xn n n x lim 解 原式 4 1 4 1 lim 4 2 2 n nn n 62 设 求及 21 3 1 2 11 3 2 xx x xx xf xf x0 lim xf x1 lim 解 03limlim 00 xxf xx 故 33limlim 2 0101 xxf xx 33limlim 0101 xxf xx 3lim 1 xf x 63 求 xx xx x ee ee lim 解 原式1 1 1 lim 2 2 x x x e e 64 求 3 0 2sinsin2 lim x xx x 解 原式 1 4 2 sin lim 2 sinsin4 lim cos1sin2 lim 2 2 0 3 2 0 3 0 x x x x x x xx xxx 65 求下列极限 1 t et t 1 lim 2 35 解 原式 2 1 2 e 2 x x x cos2 2sin lim 4 解 原式 2 2 cos cossin lim cos2 cossin2 lim 44 x xx x xx xx 3 1 45 lim 1 x xx x 解 原式 2 451 14 lim 1 xxx x x 4 ax ax ax sinsin lim 解 原式ax ax coscoslim 5 xxxx x 22 lim 解 原式 1 1 1 1 1 2 lim 2 lim 22 xx xxxx x x x 6 x x xtg cos 2 0 31lim 解 原式 131lim 0 cos3 3 1 2 0 2 2 extg xtg xtg x 7 x e x x 1 lim 0 解 原式1lim 0 0 x ax e 8 1 12 32 lim x x x x 解 原式 e x x x x x 12 12 2 12 12 2 1lim 36 66 求 x x x 1ln lim 0 解 原式1 1 1 1 lim 0 0 0 x x C C 1 若存在 对任意 适合不等式的一切 有0 0 axx 则 D Lxf A 在不存在极限 B 在严格单调 xfa xf aa C 在无界 D 对任意 xf aa aax Lxf 2 若存在 对任意 适合不等式的一切 有0 0 axx 则 C Lxf A B 在上无界 Lxf ax lim xfR C 在上有界 D 在上单调 xfR xfR 3 函数 则此函数 A n n n n xx x xf 2 21 lim 0 x A 没有间断点 B 有一个第一类间断点 C 有两个以上第一类间断点 D 有两个以上间断点 但类型不确定 4 若函数的定义域为 则的取值范围是 B 34 7 2 kxkx kx yRk A B 或 C D 4 3 0 k0 k 4 3 k 4 3 0 k 4 3 k 5 两个无穷小量与之积仍是无穷小量 且与或相比 A A 是高阶无穷小 B 是同阶无穷小 C 可能是高阶 也可能是同阶无穷小 D 与阶数较高的那阶同阶 6 试决定当时 下列哪一个无穷小是对于的三阶无穷小 B 0 xx A B 是常数 xx 32 axa 3 0 a 37 C D 2