第八章--立体-直线、平面、立体

第八章立体直线 平面 立体与立体相交 常见的基本立体 平面立体 曲面立体 1立体的投影 平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行 称为棱柱 若平面立体所有棱线交于一点 称为棱锥 棱柱 棱锥 平面立体 由若干平面所围成的几何体 如棱柱 棱锥等 1 1平面立体的投影 平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合 由直线段组成的封闭图形 点的可见性规定 若点所在的平面的投影可见 点的投影也可见 若平面的投影积聚成直线 点的投影也可见 由于棱柱的表面都是平面 所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同 1 1 1棱柱的投影 棱柱的三视图 棱柱面上取点 棱柱的组成 由两个底面和几个侧棱面组成 侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线 侧棱线相互平行 在图示位置时 六棱柱的两底面为水平面 在俯视图中反映实形 前后两侧棱面是正平面 其余四个侧棱面是铅垂面 它们的水平投影都积聚成直线 与六边形的边重合 例 已知斜三棱柱 试完成其 投影 例 已知四棱柱 试完成其 投影 平面立体投影的可见性判别规律 1 在平面立体的每一投影中 其外形轮廓线都是可见的 2 在平面立体的每一投影中 外形轮廓线内的直线的可见性 相交时可利用交叉两直线的重影点来判别 3 在平面立体的每一投影中 外形轮廓线内 若多条棱线交于一点 且交点可见 则这些棱线均可见 否则均不可见 4 在平面立体的每一投影中 外形轮廓线内 两可见表面相交 其交线为可见 两不可见表面的交线为不可见 棱锥的三视图 在棱锥面上取点 b a c b 棱锥的组成 由一个底面和几个侧棱面组成 侧棱线交于有限远的一点 锥顶 同样采用平面上取点法 棱锥处于图示位置时 其底面ABC是水平面 在俯视图上反映实形 侧棱面SAC为侧垂面 另两个侧棱面为一般位置平面 1 1 2棱锥的投影 例 已知斜三棱锥 试完成其 投影 例 已知正三棱锥 试完成其 投影 例 试求三棱锥 所属点 已知 的水平投影 1 2立体表面上的点 线 例 已知位于三棱锥表面上的线的水平投影为直线段 试求其正面投影 2平面与立体相交 1 截交线是截平面与立体表面的共有线 2 截交线的形状取决于立体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 3 截交线都是封闭的平面图形 截交线的基本性质 平面截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 截交线的性质 2 1平面与平面立体相交 二 平面截切体的画图 求截交线的两种方法 求各棱线与截平面的交点 线面交点法 求各棱面与截平面的交线 面面交线法 求截交线的步骤 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 空间及投影分析 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线 并连接成多边形 例 斜三棱柱与 平面相交 求出截交线的投影 例 试完成五棱柱被两平面 截切后的投影 例 求正垂面 与三棱锥的截交线 并求出截交线的实形 例 试完成正四棱锥被两平面截切后的投影 2 2平面与回转体相交 回转体截切的基本形式 截交线的性质 截交线是截平面与回转体表面的共有线 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 截交线都是封闭的平面图形 2 2 1利用积聚性求截交线 例 试求平面 与圆柱的截交线 截平面与圆柱轴线的倾角为 其交线的W投影为椭圆 椭圆的长 短轴随 的变化而变化 例 圆柱上部有一切口 若已知其 投影 试求 投影 2 2 2用辅助平面法求截交线 辅助平面法求截交线的实质是求三面共点 选择辅助平面的原则 根据回转体的形状和相对于投影面的位置 选取合适的辅助面 使其与回转体表面交线的投影为简单易画的直线或圆 使作图简便 准确 平面与圆锥体表面相交 可以得到五种截交线 平面与圆球相交 其截交线总是一个圆 由于截平面相对于投影面的位置不同 截交线的投影可能是圆 椭圆或直线 例 求平面 与圆锥的截交线 例 求截平面 和圆锥的截交线 例 求平面 与圆球的截交线 例 求半圆球切槽后的 投影 例7 求连杆头部的截交线 直线与立体相交3 1利用积聚性求贯穿点 例 求直线 与三棱柱的贯穿点 例2 求铅垂线AB与圆锥的贯穿点 3 2利用辅助平面法求贯穿点 例1 直线AB与三棱锥相交 试求其贯穿点 例2 直线AB与圆球相交 试求贯穿点 例3 直线AB与圆锥相交 求其贯穿点 例4 直线AB与斜椭圆柱相交 求其贯穿点 3 3用换面法求贯穿点 例 求直线AB和圆球的贯穿点 4立体与立体相交 4 1利用积聚性求相贯线 例 试求两圆柱的相贯线 例2 试求两圆柱的相贯线 例 求圆柱与圆锥的相贯线 4 2用辅助平面法求相贯线 例2 求斜圆柱与水平圆柱的相贯线 例3 试求圆柱与球的相贯线 4 相贯线的特殊情况 1 蒙日定理 2 具有公共轴线的回转体相交 或当回转体轴线通过球心时 其相贯线为圆 3 两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的圆锥相交 其相贯线为直线 4 利用