第5章 数字滤波器的实现.doc

第五章数字滤波器的实现学习要求：掌握数字滤波器结构流图的表示方法；了解各种滤波器结构的特点；掌握量化噪声、有限字长效应和系数量化对数字滤的影响。5.0 概述5.1 数字滤波器的结构 5.2 量化与量化误差 5.3 有限字长运算对数字滤波器的影响 5.4 系数量化对数字滤波器的影响 5.5 IIR DF 量化引起的非线性效应 5.6 小结第五章 数字滤波器的实现数字滤波器的实现： 确定数字滤波器的数学表示形式选择网络结构形式软硬件实现 一个数字滤波器的传递函数一般可表示为有理函数形式： H (z)= 这是 IIR 滤波器的形式， 都为0时就是一个 FIR 滤波器。 这个系统，也可用差分方程来表示： 即一个输出序列是其过去 点的线性组合加上当前输入序列与过去 点输入序列的线性组合。 除了与当前的输入 有关，同时还与过去的输入和过去的输出有关，系统是带有记忆的。 对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如直接计算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘等等，不同的计算形式也就表现出不同的计算结构，而不同的计算结构可能会带来不同的效果，或者是实现简单，编程方便，或者是计算精度较高等等。 数字信号总是通过采样和 转换得到的，而 转换的位数是有限的（一般6、8、10、12、16位、现在也有24位），所以存在量化误差。另外，计算机中的数的表示也总是有限字长的，经此表示的滤波器的系数同样存在量化误差，在计算过程中因有限字长也会造成误差。数字滤波器实现过程中要考虑这些量化误差的影响。量化误差主要有三种 。 A/D变换量化效应； 系数的量化效应； 数字运算的有限字长效应。5.1 数字滤波器的结构1.数字网络的信号流图表示 2.信号流图的转置定理 3.IIR数字滤波器的结构 4.FIR数字滤波器的结构5.1 数字滤波器的结构 数字网络的信号流图表示 差分方程中数字滤波器的基本操作： 加法，乘法，延迟。 为了简单，通常用信号流图来表示其运算结构。对于加法、乘系数及延迟这三种基本运算，其方框图和信号流图的表示形式如图5.1。 例： 一阶数字滤波器， 其方框图和信号流图表示如图5.2和图5.3。 实际上，信号流图是由许多节点和各节点间的定向支路连成的网络。从上面的流图可以很清楚地看到每个节点上的信号值。节点的信号值也称为节点变量或节点状态。图5.3中有8个节点，每个节点的状态分别为： x(n) y(n-1) x(n-1) a1x(n-1)+b1y(n-1) a0x(n)+ a1x(n-1)+b1y(n-1) 输入节点（源点）x(n) = 输出节点（阱点）y(n)= 信号流图的转置定理： 对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得出的流图具有与原始流图同样的传递函数。 信号流图转置的作用： 转变运算结构； 验证由流图计算的传递函数正确与否。 运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。对于无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器与有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器，它们在结构上各有自己不同的特点，下面将分别加以讨论。IIR数字滤波器的结构 IIR数字滤波器的结构特点：为递归型结构，存在反馈环路。 同一传递函数，有各种不同的结构形式。其主要结构有：( 直接型 ,正准型,级联型,并联型) (1) 直接型 直接由 数字滤波器的差分方程所得的网络结构。 一个 阶 可用 阶差分方程描述： 上述结构缺点： 需要 个延迟器，太多。 系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，调整不方便，对极点、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影响系统所有零点或极点的分布。 对字长变化敏感（对 、 的准确度要求严格）。 易不稳定。 阶数高时，上述影响更大。（2）正准型（直接型） 上面直接型结构中的两部分可分别看作是两个独立的网络(H1(z)和H2(z)，它们串接构成总的传递函数： H(z)=H1(z)H2(z) 由传递函数的不变性（系统是线性的），得 H(z)= H2(z)H1(z) 两条延时链中对应的延时单元内容完全相同，可合并，得到直接型结构，也称为正准型。 优点：延迟线减少一半，变为 个，可节省寄存器或存储单元。 缺点：缺点同直接I型。 通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统（一、二阶）来实现。（3）级联型（串联） 一个 阶传递函数可用它的零、极点表示，即把它的分子、分母都表达为因子形式 由于系数 、都是实数，极、零点只有实根和共轭复根，所以有 其中 、 为 实根 ， 、 为 复根，且 ， 将共轭因子合并为实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则 其中 、 为实系数。 用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子网络称为二阶节，可用正准型结构实现。 优点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整，调整 、 只单独调整了第 对零点，调整 、 则单独调整了第 对极点； 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差； 可流水线操作。 缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。 （4）并联型 将传递函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器。 将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的部分分式， 上式表明，可用一个常数 、 L个一阶网络和 M个二阶网络 并联组成滤波器H(z)，结构如下图： 特点： 优点:1)系统 1)实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成； 2)极点位置可单独调整； 3)运算速度快（可并行进行）； 4)各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。 缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。 FIR数字滤波器网络结构形式 FIR数字滤波器特点： 主要是非递归结构，无反馈，但在频率采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分。 它的传递函数和差分方程一般有如下形式： 其基本结构有以下几种：直接型,级联型,线性相位型,频率采样型。（1）直接型（卷积型、横截型） 直接型也称卷积型或横截型。称为卷积型，是因差分方程是信号的卷积形式；称为横截型，是因为滤波器是一条输入x(n)延时链的横向结构。直接由差分方程可画出对应的网络结构： 直接型的转置： （2）级联型（串联型） 当需要控制滤波器的传输零点时，可将传递函数分解为二阶实系数因子的形式： 于是可用二阶节级联构成： 每一个二阶节控制一对零点。 缺点：所需要的系数比直接型的 多； 乘法运算多于直接型。（3）线性相位型 FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器，此时 满足偶对称或奇对称条件。 偶对称时，N为偶数， H(z)= N为奇数， H(z)= 由上两式，可得到线性相位FIR滤波器的结构，如图5.13、图5.14。 线性相位型结构的乘法次数为偶数时，减为 ；为奇数时，减为 。而 横截型结构乘法次数为N次。（4）频率采样型 上一章讨论了FIR数字滤波器的频率采样设计法，一个有限长序列可以由相同长度频域采样值唯一确定。 现 是长度为的序列，因此也可对传递函数H(z)在单位圆上作 等分采样，这个采样值也就是 的离散付里叶变换值H(k)。 根据据上一章讨论，用频率采样表达z函数的内插公式为： H(z)由和 两部分级联而成。 第一部分（ 部分） 这是一个由 节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上有 个等分的零点： 其频响为 ，如图5.15。 第二部分（ 部分）是一组并联的一阶网络： 此一阶网络在单位圆上有一个极点： 该网络在 处的频响为 ，是一个谐振频率为 的谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使这个频率点的响应等于 。 两部分级联后，得到频率采样型的总结构，如图5.16。 这一结构的最大特点是它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的响应，因此，控制滤波器的响应很直接。 但它也有两个缺点： 所有的系数 和 都是复数，计算复杂； 系统的稳定性差。因所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点相抵消，使系统的稳定性变差。 但 改进型的频率采样型结构可克服上述缺点。改进型的频率采样型结构 为了克服一般频率采样型结构的缺点，作了两点改进。 将极点、零点移到 半径为(小于1)的 圆上，频率采样点也修正到半径为 的圆上，以解决系统的稳定性问题； 将一阶子网络的复共轭对合并成实系数的二阶子网络。 这时， 为了使系数为实数，将共轭复根合并，利用共轭复根的对称性，有 同样，因 是实数，其 也是圆周共轭对称的，即 因此可将第k个及第N-k个谐振器合并为一个二阶网络 = = 其中 这个二端网络是一个有限Q值的谐振器，谐振器频率为 。 除了共轭极点外，还有实数极点，分两种情况： 当 为偶数时，有一对实数极点z=+/- r，对应于两个一阶网络： ， 这时， 频率采样型结构如图5.18，其中三种内部子网络如图5.17。所有子网络都是递归型结构。 当 为奇数时，只有一个实数极点 ，对应一个一阶网络H0(Z)。 这时， 频率采样型结构小结： 优点： 选频性好，适于窄带滤波，这时大部分H(k)为零，只有较少的二阶子网络； 不同的FIR滤波器，若长度相同，可通过改变系数用同一个网络实现； 复用性好。 缺点： 结构复杂，采用的存贮器多。 （5） 快速算法（链接快速卷积、分段滤波） 卷积滤波可利用，通过快速卷积来实现。 5.2 量化与量化误差1.二进制数的表示2.定点制的量化误差： 截尾处理 舍入处理3.A/D变换的量化效应 4.量化噪声通过线性系统 52 量化与量化误差 用有限字长的二进制数表示数字系统时的三种误差源： 对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长影响）； 对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数的影响）； 运算过程误差，如溢出、舍入及误差累积等（受计算机精度的影响）。 521 二进制数的表示 ( 定点表示 ,浮点表示 ) （1）定点表示 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制。一般定点制总是把数限制在1之间。最高位为符号位，0为正，1为负；小数点紧跟在符号位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数”。定点作加减法时可能会超出1，称为“溢出”；做乘法不溢出，但字长要增加一倍。为保证字长不变，相乘后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，故带来误差。另一种定点数的表示是把数看成整数。 定点数的表示分为三种： ( 原码,反码,补码) 设有一个（b+1）位码定点数， 01b，则 原码表示为 例：1.111-0.875 , 0.0100.25 反码表示：（正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反） 例： -0.8751.000 , 0.250.010 补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求反并在最低位加1） 例：-0.8751.001 , 0.250.010 （2）浮点表示 x=M2c ， 浮点数相加要对阶作处理，加完后再对和数作归一化；作乘法时尾数相乘再截尾或舍入。一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所以我们讨论误差影响主要针对定点制。5.2.2 定点制的量化误差 定点制中的乘法运算后会使字长增加，例如原来是b位字长，运算后增长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位字长降低到b位。 量化处理方式有两种： 截尾：保留b位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差也不同。 1、截尾处理： (正数, 负数, ) 对正数，三种码形式相同，一个b1位的正数x为： 用T表示截尾处理，则 截尾误差为： 可见，ET0，i全为1时，ET有最大误差： 一般2-b1 1/（1-0.82），所以，输出噪声将变大。 并联型 将H(z)分解为部分分式 其结构如图： 并联型结构有4个系数，有4个舍入噪声，其中 只通过 网络， 网络。 输出噪声方差为： 代入B1(z)和B2(z)及 的值，得： 比较三种运算结构的误差大小，可知 直接型 级联型 并联型 该结论对IIR 数字滤波器有普遍意义。原因： l 直接型：所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。 l 级联型：每个舍入误差只通过其后的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。 l 并联型 ：每个并联网络的舍入误差只通过本身的反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用小，误差小。 因此，从有效字长效应看，直接型（、型）结构最差，运算误差最大，高阶时应避免采用；级联型结构较好；并联型结构最好，运算误差最小。 由此得到一个重要结论：IIR滤波器的有限字长效应与它的结构有关。FIR的有限字长效应 ( 舍入噪声,动态范围) IIR滤波器的分析方法同样适用于FIR滤波器，FIR滤波器无反馈环节（频率采样型结构除外），舍入误差不会产生非线性振荡，所以只要对有限字长效应作统计分析即可。 以横截型结构为例分析FIR的有限字长效应。 舍入噪声 N阶FIR滤波器的传递函数为： 无限精度下，直接型结构的差分方程为： 有限精度运算时， 每一次相乘后产生一个舍入噪声 故 输出噪声为： 结构流图如图，由图中可见，所有舍入噪声都直接加在输出端，因此输出噪声是这些噪声的简单和。 于是， 可见，输出噪声方差与字长有关，与阶数 有关， 越高，运算误差越大，或者，在相同运算精度下，阶数越高的滤波器需要的字长越长。 例题例：FIR滤波器，N=10，b=17时 ， 而N=1024，b=17时 其均方根值为 因此，滤波器输出中，小数点后只有4位数字是有效的，第5位数以后将受到有限字长舍入噪声的严重影响。 动态范围： 定点运算时，动态范围的限制，常导致FIR的输出结果发生溢出。 FIR输出为： 定点数不产生溢出的条件： 为使结果不溢出，对 采用标度因子A，使 由此确定A。 5.4 系数量化对数字滤波器的影响1.极点位置灵敏度2.影响极点位置灵敏度的几个因素5.4 系数量化对数字滤波器的影响 下面讨论第三种量化效应系数的量化效应。由于滤波器的所有系数必须以有限长度的二进码存放在存储器中，所以必然对理想系数值取量化，造成实际系数存在误差，使零、极点位置发生偏离，影响滤波器性能。一个设计正确的滤波器，在实现时，由于系数量化，可能会导致实际滤波器特性不符合要求，严重时甚至使单位圆内的极点偏离到单位圆外，从而系统失去稳定性。 系数量化对滤波器的影响与字长有关，也与滤波器的结构有关，选择合适的结构可减小系数量化的影响。 一、 一. 极点位置灵敏度 影响极点位置灵敏度的关系，例1，例2 极点位置灵敏度：指极点位置对各系数偏差的敏感程度。极点位置的变化将直接影响系统的稳定性。所以极点位置灵敏度可以反映系数量化对滤波器稳定性的影响。 设系数量化后的传递函数为： 量化后的系数为： 分析量化偏差 造成的极点位置偏差。 设理想极点为 ，则 系数量化后，极点变为 ，位置偏差 是由 引起的。例1：一个共轭极点在虚轴附近的带通滤波器如图（ ） ，一个共轭极点在实轴附近的低通滤波器如图（ ），比较它们极点位置灵敏度的大小。 解：两者比较，前者极点间的距离大，因此前者的极点位置灵敏度比后者小，即系数量化程度相同时，前者造成的误差比后者小。例2：一个三对共轭极点的滤波器 H(z)，用三种结构实现。 1）用直接型结构实现，极点分布如图a , 2）用三个二阶网络级联的形式实现，极点分布如图b ， 3）用三个并联二阶网络实现，极点分布如图b 。 解： 如图，直接型因极点分布密，极点位置灵敏度高。 级联和并联型，极点分布稀，极点位置灵敏度下降。 影响极点位置灵敏度的几个因素： 1.与零极点的分布状态有关；与极点间距离成反比； 2.与滤波器结构有关。高阶直接型极点位置灵敏度高；并联或级联型，系数量化误差的影响小。高阶滤波器应避免用直接型，尽量分解为低阶网络的级联或并联。 影响极点位置灵敏度的关系下面讨论 对 的影响： 因每个极点都与 个系数bi有关， ， i=1,2,N 决定了量化影响的大小，也就是极点zi对系数bk变化的灵敏度。 大， 对 的影响大。 小， 对 的影响小。 灵敏度 的计算： 由 可求灵敏度 。利用偏微分关系： 故 因 故 上式分母中每个因子(zi-zk)是一个由极点zk指向极点zi的矢量，整个分母是所有极点指向极点zi的矢量积，这些矢量越长，即极点彼此间的距离越远，极点位置灵敏度越低；矢量越短，极点位置灵敏度越高。即极点位置灵敏度与极点间距离成反比。5.5 IIR 滤波器量化引起的非线性效应1.IIR DF零输入极限环振荡 2.大信号极限环振荡 3.小结5.5 IIR 数字滤波器量化引起的非线性效应 在IIR滤波器中由于存在反馈环，舍入处理在一定条件下会引起非线性振荡，如零输入极限环振荡和大信号极限环振荡。 一、IIR 数字滤波器的零输入极限环振荡 在数字滤波器中由于运算过程的尾数处理，使系统引入了非线性环节，使数字滤波器变成了非线性系统，对于非线性系统，当系统存在反馈时，在一定条件下会产生振荡。 IIR滤波器是一个反馈系统，在无限精度情况下，如果它的所有极点都在单位圆内，这个系统总是稳定的，当输入信号为零时，IIR 数字滤波器的响应将逐步变为零。但同一滤波器，以有限精度进行运算时，当输入信号为零时，由于舍入引入的非线性作用，输出有时不会趋于零，而是停留在某一数值上，或在一定数值间振荡，这种现象称为“零输入极限环振荡”。例： 设一阶IIR DF的传递函数为： 无限精度运算时，差分方程为： y（n）=ay(n-1)+x(n) 在定点制中，每次乘法运算后都必须对尾数作舍入处理，这时的非线性差分方程为： （n）=a （n-1）R + x（n） 其中.R表示舍入运算，运算过程的非线性流图如下图。如果字长b=3，系数a=0.100（二进制数），即系统的极点为z=a=0.51，在单位圆内，系统是稳定的。 若输入为 无限精度情况下，输出y(n)=7an/8，当输入为零后，输出将逐渐衰减到零；但有舍入处理时，系统可能进入死区，输出永远不为零。 非线性差分方程的运算结果见下表。n x(n) a (n-1) a (n-1) a(n-1)R (n) 0 0.111 0.000 0.0000 0.000 0.111(7/8) 1 0.000 0.111 0.0111 0.100 0.100(1/2) 2 0.000 0.100 0.0100 0.010 0.010(1/4) 3 0.000 0.010 0.0010 0.001 0.001(1/8) 4 0.000 0.001 0.0001 0.001 0.001(1/8) 可见，输出停留在y（n）=0.001上再也衰减不下去了，如图(a)，y（n）=0.001以下也称为“死带”区域，如果系数a=-0.5，为负数，则每乘一次a 就改变一次符号，因此输出将是正负相间的，如图(b)，这时y（n）在0.125之间作不衰减的振荡，这种振荡现象就是“零输入极限环振荡”。振荡产生的原因： 考察上述非线性差分方程的运算结果，在最后一行，当 (n-1)=0