概率统计中级讲稿.doc

第一章 概率统计基础知识第一节概率基础知识 概率论与数理统计是研究随机现象的科学。掷一枚硬币，国徽朝上（正面）或朝下是不定的；任取1件产品，在未决定哪1件产品之前，取得的是正品或次品是不定的；掷一粒骰子出现的点子数也是不定的，这些现象都是随机现象。掷一枚硬币, 掷一粒骰子都是随机试验。一.事件与概率p9-101随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。例如：掷一枚硬币，“国徽朝上（正面）”是随机事件；掷一粒骰子，“点子数3”是随机事件；100件产品，其中有五件次品，任取10件，在未决定哪10件产品之前“所取得的10件中有2件次品”也是随机事件。随机事件用大写字母表示，上述3随机事件可分别记为A,B,。随机事件通常简称为事件。（一定条件称为随机试验）。2.概率.在一定条件下，随机事件A发生的可能性称为随机事件A的概率，记为P(A),例如上述3随机事件可分别记为P(A)=0.5,P(B)=1/3,P()=0.0702。二. 基本事件与样本空间（可用维恩图表示）p10随机事件可以细分为“最小的” 随机事件，即基本事件，也称为样本点。一般随机事件是一些样本点的集合。例如“点子数3”可分为“点子数为1”与“点子数为2”。一定条件下的一切基本事件称为样本空间。掷一枚硬币，“国徽朝上” 、“国徽朝下”是样本空间；掷一粒骰子，“点子数=1”， “点子数=2”， “点子数=6”是样本空间。严格说来基本事件就是随机试验的一个可能结果，一切基本事件构成样本空间，每一基本事件称为样本点。样本空间记为，也称为必然事件。随机事件是基本事件的集合。不包含基本事件的集合称为不可能事件，记为。例如“点子数=1.23”=。事件用维恩图中集合表示。例 设要抽查3件产品：每件产品可能是正次品。则样本空间由8个样本点（在括号内顺序标明每件产品是正、次品）（正，正，正），（正，正，次），（正，次，正），（正，次，次），（次，正，正），（次，正，次），（次，次，正），（次，次，次）组成，A=“至少有一件合格品”=（正，正，正），（正，正，次），（正，次，正），（正，次，次），（次，正，正），（次，正，次），（次，次，正）；B=“至少有二件不合格品”=（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正），（次，次，次）；C=“恰好有一件合格品”=（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正）；“至少有四件合格品”。三.随机事件的关系：（可用维恩图表示）p111. 包含：“A的样本点全是B的样本点”，或“A发生B必发生”，称为B包含A或A含于B，记为。例如掷一粒骰子，A表示“点子数3”，有2个样本点A=1，2；B表示“点子数5”，B=1，2，3，4，则。100件产品，其中有五件次品，任取10件， “10件中至少有1件次品”记为，“10件中有2件次品”记为，则。2. 互不相容（互斥）：“A， B没有共同的的样本点”，或“A、B”不能同时发生，称为A、B互不相容（互斥），记为。例如掷一粒骰子，A表示“点子数4”，则。3. 相等：“A、B有同样的样本点”，记为，可用来判断。例如掷一粒骰子，A=“点子数3”，B=“点子数”则A=B。四. .随机事件的运算：（可用维恩图表示）p121. 事件的交（积）：“A、B共同的样本点” 所成的事件或“由两个事件同时发生所成的事件”，称为的交（积），记为。例如掷一粒骰子，A表示“点数2”，则AB表示点数=3或4。又如表示“第1道工序加工出的是正品”，表示“第2道工序加工出的是正品”，则表示“经两道工序加工出的是正品”。由若干事件同时发生所成的事件，称为这些事件的交。2. 事件的并（和）：“A、B的全部样本点” 所成的事件或“两个事件至少有一发生所成的事件”，称为的并，记为，例如掷一粒骰子A表示“点数2”，则表示“点数=1至6”，即必然事件。又如表示“第1道工序加工出的是次品”，表示“第2道工序加工出的是次品”，则表示“经两道工序加工出的是次品”。由若干事件，至少有一个发生所成的事件，称为这些事件的并。3. 对立事件（事件的逆）：“样本空间去掉A的样本点” 所成的事件或“由事件A不发生所成的事件”，称为A的对立事件，或A的逆。记为（A逆）。例如掷一粒骰子，A表示 “点数2”，则表示“点数为1或2”。又如表示第1道工序加工出的是次品，则表示第1道工序加工出的是正品，若A表示密码被破译，则表示密码未被破译。4. 事件的差：“A的样本点中除去B的样本点所成的事件”或“由事件A发生B不发生所成的事件”，称为A与B的差记为A-B=。例如A表示“点数5”,B表示“点数为奇数”，则A-B表示“点数为2或4”。5. 随机事件运算性质：类似集合的运算性质（1） 交换律（2） 结合律（3） 分配律（4） 对偶律例如 两件电子元件串联构成系统，A表示第一件正常，B表示第二件正常，则AB表示系统正常工作，表示系统不能正常工作，表示第一二件中至少有一件不正常，从而系统不能正常工作。五. 随机事件概率的计算方法。P141. 古典概型。设随机试验具有性质（1）样本空间只有有限个（n个）样本点，（2）每个样本点发生的可能性相同；则有P(A)=k/n,其中k是A所包含样本点数。例如计算：“掷两粒骰子，其和大于9”的概率时。样本点有36个；而满足“和大于9”的样本点有6，6，6，5，6，4，5，6，5，5，4，6共6个。所以“和大于9”的概率是6/36。2. 统计方法：对事件A能否发生，做大量实验。当试验次数n很大时，设A发生次数为k, k/n稳定在p附近，则认为P(A)=p。例如各国大量新生儿中男孩的比例都在0.51附近，我们就认为：生男孩的概率是0.51。其它方法：如几何概率，间接算法（用公式算）。六. 随机事件概率的性质p191.。2.，。3.若。4.（加法法则）：事件A与B并的概率是。对于互不相容的事件有。例如，所以，。例计算：“掷两粒骰子，其和不大于9”的概率时，由于“掷两粒骰子，其和大于9”的概率=6/36，所以“掷两粒骰子，其和不大于9”的概率=1-6/36=5/6。七.条件概率与乘法公式p211. 条件概率.设100件产品中有5件次品，任取一件，取得次品的概率P(B)=0.05；如果第一次取出一件正品（这是随机事件记为A），第二次再取一件，取得次品（这也是随机事件）的概率就不是0.05，而是5/99，因为有A发生了。第二次取得次品是在第一次取出一件正品的条件下发生的，这样的概率就是条件概率，A发生条件下B的概率称为条件概率，记为P(B|A)。上述例子中P(B|A)=5/99。一般的，设A、B是两个随机事件，A发生条件下B发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)。例 单选题：样本空间有35个等可能的样本点，而事件A 与B各占有28个和16个样本点，其中9个是共有的样本点，则=（ ）A9/13 B7/16 C9/16 D 13/20解画图可得=7/16乘法公式(法则).P(AB)=P(A)P(B|A),或P(B|A)=P(AB)/P(A)。上面的取产品例中，P(A)=0.95, P(B|A)=5/99,P(AB)=0.95*5/99=（95*5）/（100*99）。例 单选题：样本空间有35个等可能的样本点，而事件A 与B各占有28个和16个样本点，其中9个是共有的样本点，则=（ ）A9/13 B7/16 C9/16 D 13/20解1画图可得=7/16。解2=（7/35）/（16/35）=7/16八.独立性p23 设A、B是二随机事件，A的发生与否不影响B发生的概率，B的发生与否不影响A发生的概率,则称AB独立。所以AB独立P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)。进一步，A,B,C,独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)。例 设四个电子元件A,B,C,D的次品率分别是0.01，0.02，0.05，0.03；则A，C是次品，B，D是正品的概率是0.01*（1-0.02）*0.05*（1-0.03）。例常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，若每个“臭皮匠”独立解决某问题的概率 分别为0.50， 0.55， 0.60，则三个臭皮匠同时去解决此问额此问题被解决的 概率为( ) A 0.90 *B 0.91 C 0.95 D 0.60解设三人能解决分别记为A，B，C；则要求由对偶原理小结1随机事件A是可能发生，也可能不发生的事件，它发生的可能性是他的概率P（A）。2. 随机事件可以像集合一样运算。3加法公式4.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)5.当事件A，B独立时，,P(AB)=P(A)P(B)6随机事件的计算可通过维恩图理解练习题随机事件单选题1.随机现象的样本空间中至少有（ ）个样本点。A 0个 B 1个 *C 2个 D 3个2.可加性公理成立的条件是诸事件( )。 A相互独立 *B互不相容 C是任意随机事件 D概率均大于03.设A与B为互不相容事件，若P(A)=1/2，P(B)=1/3，则P（）=( )。 *A 1/2 B 1/3 C1/6 D 5/64由4个元件串联组装而成的一台设备，若各元件故障的发生相互独立，每个元件正常工作的概率为0.9，则该设备正常工作的概率为（ ）A 0.0001， *B 0.656I C. 0.8181 D.0.99995常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，若每个“臭皮匠”独立解决某问题的概率 分别为0.50， 0.55， 0.60，则三个臭皮匠同时去解决此问额此问题被解决的 概率为( ) A 0.90 *B 0.91 C 0.95 D 0.606.两人独立地破译一种密码他们各自能破译出的概率为1/2和1/3，密码不能破译的概率为( )。 A 1/6 *B1/3； C 2/3 D 5/67.加工某零件需经过三道工序，已知第一，第二，第三道工序的不合格品率分别是2，4%，7，且各道工序互不影响，则经三道工序加工出来的批产品的不合格品率是（ ）A. 0.130 B. 0.125 C. 0.025 D. 0.275答 设A、B、C表示经第一，第二，第三道工序後合格，则经三道工序加工出来的批产品的不合格的概率是1-P(ABC)=1-0.98*0.96*0.83=0.125056,选B8.设P(A)=0.4，P(B)=0 6，则在A与B相互独立时，P(AUB)=( )。 A 0 B 0.44 * c 0.76 D19设P(A)=0 2，0.6，则当A与B相互独立时，P(B)=( )。 A.0.4 *B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7*10某种动物能活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.4，如今已活到20岁的 这种动物至少能再活5年的概率是( )。 A0.3 B0.4 *C0.5 D0.6答 设某种动物能活到20岁为A，设某种动物能活到25岁为B，则，已活到20岁的这种动物至少能再活5年的概率是=0.4/0.8=0.511已知P(A)=0.3，P(B)=0.7，P(A U B)=0.9，则事件A与B( )。 A互不相容 B互为对立事件 C互为独立事件 *D同时发生的概率大于03个相同的元件，每个元件正常工作的概率为0 8。12将它们串联后，系统正常工作的概率为( )。 *A 0.512， B 0.76 C 0.764 D 113将它们并联后，系统正常工作的概率为( )。 A 0.512， B 0.76 *C 0.992 D 1随机事件多选题l事件的表示有多种方法，它们是 ( )，*A用明白无误的语言表示 *B用集合表示 c用随机变量的数学期望表示 *D用随机变量的取值表示2若A与B为互不相容事件，则有( )。 * A AB= B AUB= * C * D 3设A与B为对立事件，则与的关系为( )。 * A 互为对立 *B互不相容 *C D相互独立4设A与B是任意两个事件，其概率皆大于0，则有( )。 A P(AUB)=P(A)+P(B) *B P(A一B)=P(A)一P (AB) C P(AB)=P(A)P(B) *D P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 答 由乘法公式和加法公式选B、D5.设A与B为任意两个事件，则( )。A. p(AB)=P(A)P(B) *B. P(AB)=P(A)P(B|A)C P(AB)=P(A)P(A|B) *D P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，6若事件A与B相互独立，则有( * A P(AB)=P(A)P(B) *B P(A)=P(A|B)C P(B)=P(A|B) D P(A)=P(B|A)7.对任意随机事件A与B，有( )。 A P(A)+P(B) *BP(A)+P(B)C P(AB)P(A)十P(B) *D P(AB)P(A)+P(B) 第二节 随机变量一.随机变量：p24在一定条件下取值不定的量就是随机变量，通常用大写字母X,Y,表示。例如掷一粒骰子，其点数X取1，2，3，4，5，6不定，点数是随机变量。设100件产品中有5件次品，任取3件，取得次品件数就是随机变量。测量人体温度，测量误差是不定的，测量误差是随机变量。随机变量取的值用小写字母x,y,表示。若X是随机变量，则对任意常数c，是随机事件，例如点数就是随机事件，次品件数也是随机事件。若X,Y互不影响，称它们独立，这时。二.离散随机变量及其分布p25-26，32-361. 离散随机变量：只能取有限个值，或取无限个值，但这无限个值能顺序排下去的随机变量称为离散（型）随机变量。例如掷一粒骰子，其点数是离散随机变量。设100件产品中有5件次品，任取3件，取得次品件数就是离散随机变量。通常设一米布上的疵点数可能是0，1，2，.；未选定哪一米布前，所选布疵点数是离散随机变量。2. 离散随机变量的分布：设离散随机变量X能取；则X取值范围及相应概率称为X的分布。通常离散随机变量的分布用列表法或公式法。例如 掷二粒骰子，其点数之和Y的分布是（分布列）y23456789101112p1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36又如一米布上的疵点数X的分布（公式法）是常见的离散分布有（1）二项分布。记为。例如设一批产品中，每件次品率p为0.02，任取1件，检验是否是正品后放回去，再任取一件，检验是否是正品后放回去，如此进行10次，所取10件产品中，次品件数X服从分布。一般的，设一批产品中，每件次品率p为0.02，任取1件，检验是否是正品后放回去，再任取一件，检验是否是正品后放回去，如此进行n次，所取n件产品中，次品总件数X服从二项分布：这种抽样方法叫有放回抽样。实际问题中，不可能把产品检验后放回去，通常情况有两种：（a）设一大批产品中次品率p，任取n件，（一次抽取n件或分n次，每次取一件都是一样的），则n件产品中次品总件数X服从二项分布。（b）为了检测一台设备次品率，从这台设备生产的产品中抽出n件，n件产品中次品总件数X服从二项分布。这两种情形也称为（有）放回抽样。在许多情形下，随机变量分布为。称为X服从二项分布记为。（有）放回抽样的分布服从二项分布（2）泊松分布在一定时间内，系统发生的故障次数；铸件上的缺陷数；1平方米玻璃上的气泡数；1页书中的错字数；服从泊松分布。例如一个小铸件中气泡数X 的分布为（3）超几何分布当产品批量N不大，其中次品件数M，任意抽取n件（一次抽取n件或分n次，每次取一件不放回），则次品数X服从超几何分布。例如设100件产品中有5件次品，任取3件，取得次品件数X服从超几何分布： 。这种抽样方法称为无放回抽样，为无放回抽样时次品总件数服从超级和分布。三.连续随机变量及其分布p27-28，37-45通俗的说，能连续取值的随机变量称为连续（型）随机变量。例如测量误差X，电池的寿命Y，所加工零件的长度Z都是连续随机变量。严格说来连续随机变量是有概率密度的随机变量。1. 连续随机变量及其分布：设X是随机变量，若存在非负函数，使得 则称X是连续随机变量，称为概率密度函数，简称概率密度。概率密度函数是一条曲线，=该曲线，与x=a,x=b,y=0所围面积。见图2. 常见连续随机变量（1） 均匀分布：,称X服从均匀分布，记为例如某路公交车，每5分钟发一辆车，则乘客等待时间分钟；又如某仪器测量零件的长度，测量误差精度0.1，测得观测值为12.6，则零件长度。（2） 指数分布：，称为参数为的指数分布，记为。这时 。例如某种电视机的维修时间X服从参数为0.01的指数分布，可记为X，这时该种电视机的维修时间X小于等于500的概率。通常，系统出故障的间隔时间服从指数分布，特别是系统首次发生故障时间服从指数分布。（3） 正态分布：记为，例如一袋糖的重量，概率密度函数图形是对称的。决定图形位置，它是对称轴与Y轴交点。决定概率密度函数图形胖瘦，大图形胖，小图形瘦。自动车床加工零件的长度服从正态分布。的正态分布N(0,1)称为标准正态分布。标准正态分布概率密度函数曲线关于y轴对称。称为标准正态分布函数，它等于过x轴上点x的垂线左边的面积。可在323页查到：最左边一列是自变量x的值，顶上一行是自变量x小数点最后一位，右边表中是函数的值，即左边曲边梯形面积，当a0时可用计算。例如表中查出=0.9750，则=1-=1-0.975=0.025。3. 正态分布的性质（1） 设。例如一袋糖的重量。则（2） 设XN(0,1),则，（3） 设XN(0,1),则例设，若则有( )。 A. B . C. D. 答从图上看选A,C,D例设X，则P(2X3)=( )*A B *C D答均值为5，标准差为2，不等式与等价，=例书上p41例1.2-144. 标准正态分布的分位数：设XN(0,1)，若记为。例如P(X1.96)=0.975，所以。又如P(X0，0 B 0 C , *D一06服从对数正态分布的随机变量取值范围在( )。 A (0，1) B * C (0，+) D 0，+7设X，则( )。 A B*C D8.某厂生产的产品中，一等品占1/2，二等品占1/3次品占1/6。若生产一个一等品，工厂获利2元；生产一个二等品，工厂获利l元；生产一个次品，工厂亏损1元，则该厂生产一个产品平均获利（ ）元 A 1/6元 B 9/6元 *C 7/6元 D 5/6元提示：设生产一个产品获利值为X，则X-112p1/61/31/29设随机变量x的分布列为X0123P0.10.30.40.2则X的方差Var(X)=（ ） A 5.16 B 2.27 C 1.70 *D 0.8110若一次电话的通话时间X(单位：分)服从参数为0.25的指数分布，打一次电话所用的 平均时间是（ ）分钟。A 0.25 B 4 C. 2 D 2.25答EX=1/0.25=4选B11.当x服从( )分布时，均值与标准差相等。 A泊松 B二项*C：指数 D正态12.设随机变量X与Y相互独立，方差分别为2与1，则u=3X一2Y的方差为( )，A 8 B 14。 C 20 *D 22*13设随机变量X服从参数=2的泊松分布，则P（X2)=( )。 A B *C D *14设X与y为相互独立的随机变量，且Var（X）=4，Var(Y)=9，则随机变量Z=2X-Y 的标准差为( )。 A。1 B *C5 D *15设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数p=( )。 A0.9 *B0.1 C0.7 D0.316某工程队完成某项工程的天数X是一个随机变量其概率分布为 X101l1213P0.40.30.20.1（1） 该工程队完成此项工程所需的平均天数为 A 11 B 11.5C 12 D 12.5答 10*0.4+11*0.3+12*0.2+13*0.1=11（2） 它的标准差是( )天 A 0.5 B 1.0 C 1.5 D 2.0答（3）设该工程队所获利润（以元为单位）为Y=5000(13-X),则可获得平均利润是（ ）元。A 10000 B 11000 C 12000 D 13000（4）若该工程队经过调整，完成该工程的天数的概率分布为：X101112P0.50.40.1则其平均利润可增加A 1500 B 2000C 2500 D 3000答 调整后Y的分布是 Y15000100005000P0.50.40.1 E(Y)=15000*0.5+10000*0.4+5000*0.1=12000,12000-10000=2000;或EX=10*0.5+11*0.4+12*0.1 =10.6,E(Y)=5000(13-Ex)=5000(13-10.6)=12000,12000-10000=2000,选B多选题1设随机变量x仅取n个值，其概率函数为 则( )。 A *B c *D2下列随机变量中服从泊松分布的有( )。 *A一台车床一天内拉生的故障次数 *B一铸件中的气泡个数 C检查100件产品中发现不合格品的个数 *D某大公司一月内发生的重大事故次数3设x服从二项分布b(15，0.1)其中0.1是不合格品率，则( ) *A E(X)=1.5 B Var(X)=1.5 *C 恰有一个不合格品的概率为150.l0.914D 多于2个不合格品的概率为0.915+150.10.914+1514*0.l20.913/24设，若则有( )。 A. B . C. D. 答 从图上看选A,C,D5.设U为标准正态随机变量，其分布函数记为。若为正数，则下列等式中正确的有( )A *B，*C D * E 6.设某质量特性X服从正态分布，则P(|X一3)等于( A.99.73 *B.2700ppm C 63ppm * D 0.00277.设随机变量X服从正态分布，则= ( ) A. B. C. D. 答 ,选B、D8某打字员在一页纸上打错的字数X服从=2.3的泊松分布，则有( )A. 一页纸上无打错字的概率为 B. 一页纸上平均错字数为2.3个 C 一页纸上错字数的标准差为2.3个D. 一页纸上有多于1个错字的概率为答 P(X=0)= ,EX=2.3,P(X1)=1-P(x=0)-P(X=1)= ,选A,B,D9设随机变量X服从二项分布b(n,p)已知E(X)=2.4，Var(X)=l.44，则两个参 数n与p为( )A . p=0.4 B. p=0 6 C n=6 D. n=4答 由E(X)=np=2.4, Var(X)=np(1-p)=l.44 解得p=0.4,n=6；。选 A、C10正态分布中的含义及性质为( ) A正态方差 *B愈小，分布愈集中*c正态标准差 *D愈大，分布愈分散*11随机变量服从的分布分别是和，概率密度函数分别是和，当时，研究和的图形，下述说法正确的是( )。 *A 和图形的对称轴相同 B和图形的形状相同 *C 和图形都在X轴上方 * D 的最大值大于的最大值12设zN(0，1)若a0，则有( ) * A P(Za)=1一 * c P(aZ b)= - DP(|Z|a)=1一213设X，则P(2X0 * B 0 *C =0 D 015设为标准正态分布的分位数，则( )。 A * B * c *D16正态分布中的含义及性质为( ) A正态方差 *B愈小，分布愈集中*c正态标准差 * D 愈大，分布愈分散17设随机变量x服从二项分布b(16，0.9)，则其均值与标准差分别为( )A E(X)=l.6 *B E(X)=14.4C =1.44 * D =1.2*18设随机变量，下列关系式中正确的有( ) * A B *C D E提示：此例不涉及标准正态分布函数，直接从图上看*19一个U形装配件由A、B、C三部分组成，见下图。（ ） 其中A的长度服从均值为10，标准差为0.1的正态分布，B与C的长度与 均服从均值为2，标准差为0.05的正态分布(单位均为毫米)，若相互独立，则长度的均值与标准差分别为( )。 A * B C =0.1414 *D =0.1225 E =0.324第三节 统计基础知识一.总体与样本：p49当分析自动包装机包装的每袋糖重量时，抽查50袋糖的重量，得到观测值，数据称为糖重量的样本。当分析自动车床生产的每每根轴直径时，抽查5根轴直径，得到观测值，数据称为轴直径的样本。一般的，我们关心被研究对象的全体的某项数量指标，得到n个值，它们称为一个样本，n称为样本容量。具有两重性：当未给出具体值时，它们被看成n个随机变量，当给出具体值后，它们是n个数，例如抽出5根轴，直径分别为4.90，5.12，5.08，4.98，4.99；那么4.90，5.12，5.08，4.98，4.99是样本值，样本容量是5。作为数学模型，总假设每个服从同样分布，而且总设间是相互独立的，即间独立同分布，这样的样本称为简单样本，它们服从的分布称为总体。样本也可用小写字母表示，当强调它们是随机变量时，样本也可用大写字母表示。例设是来自均匀分布U(0,1)的一个随机样本，则的均值与方差分别为A E(Y)=6 B. Var(Y)=1/12 C. E(Y)=0 D. Var(Y)=1答 E(Y)=0.5*12-6=0，Var(Y)=12（1/12）=1选C、D二.频数直方图，p52。目的：在x轴上取一些区间，以这些区间为底，数据中落在这些区间的个数（频数）为高，画矩形，这图形可以估计总体分布。步骤（1）找出数据中最大值=356，最小值=332，计算它们的差R=-=24。（2）根据样本容量n决定分组数k（表1.3-2）。组距h略大于R/n且为整数。24/9约为3（3）以比略小的小数为最左区间左端点，计算组限，。得到一系列区间，。（4）计算落在每组的数据的频数和频率。（5）以这些区间为底，数据中落在这些区间的个数（频数）为高，画矩形，所得图形称为频数直方图。以这些区间为底，数据中落在这些区间的个数百分比（频率=频数/n）为高，画矩形，所得图形称为频率直方图。三.统计量 p56由样本直接算出，不包含未知参数的量。（由实测值算出的量）1.描述样本中心位置的统计量（1） 样本均值： （2） 样本中位数：将按从小到大排序成，则样本中位数（3） 样本众数：样本数据中出现频率最高的值。例如样本是 3，4，2，5，3；则，Me=3,样本众数=3，又如样本是 3，4，2，9；则4.5，Me=3.5。2.描述样本分散程度的统计量a.样本极差：b. 样本离差平方和（缺点：n越大样本离差平方和越大）简单算法=c样本方差与样本标准差，d.样本变异系数例如 样本是 3，4，2，5，3；则，样本极差R=5-2=3，样本离差平方和，样本方差和样本标准差样本变异系数练习单选1某公司列其250名职工上班途中所需时问进行调查，下面是频率分布表所需时间（分）（0，10）(10,20)(20,30)(30,40)(40,50)频率0.100.240.340.180.14则公司职工上班所需时问不超过半小时们有( )人。 A 160 B 165 *c 170。 D175提示：频数即是某个事件发生次数，频率即是发生次数的百分数，2.对40个零售商店调查周零售额(单位元)，结果如下表零售额商店数01000710002000142000300012300040005400050002则平均每个零售商店周零售额为（ ）A. 2000元 *B. 2025元 C. 2050元 D. 2100元提示：每组观测值都取中间值3.样本数据的变异系数是( )。 A. B. c *D. 4. 某地随机调查了一群20岁左右的男女青年的体重情况，经计算平均体重及标准差 分别为： 男： =60.29 s-=4.265 女： =48.52 s=-3.985 为了比较男青年体重间的差异和女青年体重间的差异，应选用的最适宜的统计量是( )。 A.样本均值 B.样本方差 C.样本标准差 *D.样本变异系数答 样本标准差占总重量（样本均值）的比例更能反映体重间的差异，选D5. 甲，乙，丙丁四个厂都生产同一零件，采购员为了解各厂零件强度的差异以便选择订货工厂，现从市场上各购买4只零件，测得强度，计算均值与标准差如下工厂平均强度标准差甲1077.5乙1107.2丙919.3丁11017.7采购员应购买( )厂的零件。A甲 *B.乙 C丙 D.丁6根据随机样本：3,4,2计算的样本方差等于1，则随机样本：12，16，8的样本方差等于（ ）A. 1 B. 2 C. 4 *D. 167.某种瓶装药水总重量的样本标准差s=5.7克若瓶子的重量全为4克，则药水净重的样本标准差为( )。 A 4克 *B 5.7克、 c 1.7克 D 9.7克提示：样本标准差s反映分散程度，与位置无关。8.若干瓶药水总重量的离差平方和为25.8若瓶子的重量皆为10克，则除去瓶子的重量,这些瓶药净重的离差平方和为A. 15 8 *B. 25.8 C. 35 8 D. 20.8答 选B多选*1设是简单随机样本，则有( ) *A相互独立 *B有相同分布 C彼此相等 D与同分布*E 与均值相等2样本称为简单随机样本的条件是( )。 A随机性 B可加性 c正态性 D独立性3设。是简单随机样本，则它们( )。 * A相互独立 *B同分布 C彼此相等 D互不相容4.从均值已知方差未知的总体中抽得样本，以下属于统计量的是( )。 * A *B *c D。5下列常用统计量中，描述数据中心位置的有( )。 A样本中位数 B样本方差 c样本标准差 D样本极差E样本均值6从某产品批中随机抽取一个样本量为5的样本，样本观测值为：2，7，5，3，8， 则样本极差R与样本方差s2分别为( )。 A R=5 *B R=6：*c，s2=6 5 D，s2=7. 57描述样本数据的分散程度的统计量是( )。 *A样本极差 * B样本方差 *C样本标准差 D样本中位数8设是一个样本，则样本方差的计算公式为( )。 *A B *C *D9关于样本数据1，l，2，2，3，6下述结果中正确的是( )。*A样本均值等于2.5 B样本方差等于17 5*C样本极差等于5 *D样本中位敫等于210.考察如下三个样本，它们在数轴上的位置如下画所示样本1：1，3，5，7，9 均值 方差样本2：3， 4， 5 ，6， 7 均值 方差样本3：1，5，9 均值 方差它们的均值与方差间存在（ ）关系 *A. = B. C. D. *E. 第四节.抽样分布：p59 1一般样本均值性质： 若是样本容量为n的样本，则样本均值的均值不变，方差缩小n倍，标准差缩小倍。例.（多选）从参数=0.4的指数分布中随机抽取一个样本量为25的样本，则样本均值的均值为 （ ）A 0.4 B 2.5 C 0.1 D 0.5 的标准差为（ ）E 0.4 F 0.5 G 1.4 H 1.5解由于样本均值的均值不变，选B；由于方差缩小25倍，标准差缩小5倍，选F。2.样本均值的抽样分布：（统计定理和中心极限定理）（1）若是正态总体的样本容量为n的样本（即相互独立同分布，），则样本均值，也即是说仍服从正态分布，均值不变，方差缩小倍，由此可得。（2）设是总体（不一定是正态）的n个样品（相互独立同分布），则当n很大时，近似的有即近似的有例如设一大批产品，次品率为p，令则等于n件产品中，次品占的比例。这时近似的有 3.三大抽样分布（1）若是正态总体的n个样品（相互独立同分布），（类似已知情形，当未知时，用s代替），则有，其中t(n-1)是n-1个自由度的t分布。t分布关于y轴对称。（2）若是正态总体的n个样品（相互独立同分布），则有即(n-1)个自由度的分布（卡方分布）。(3)若,是相互独立正态总体的n，m个样品（相互独立同分布），则有其中F(n-1,m-1)是第一自由度为n-1，第二自由度为m-1的F分布4.抽样分布的分位点：t分布关于Y轴对称，分布，F分布不对称。若服从k个自由度的t分布，则称为t分布的分位数。若服从k个自由度的分布，则称为分布的分位数。若服从(k,m)个自由度的F分布，则称为分布的分位数。=0.01，0.025，0.05，0.95，0.975，0.99时，这些分位数都有表可查：t分位表在p324-325；分布分位数表在p326；F分布分位数表在p327-331。例求=2.015，=2.447，=12.83，=1.64，=4.83，=2.81练习题单选1.从参数=0.4的指数分布中随机抽取一个样本量为25的样本，则样本均值 的标准差为（ ）A 0.4 *B 0.5 C 1.4 D 1.52从正态总体抽取容量为10的样本，样本均值的方差等于4，那么总体方差等于( ) A 0.4 B 4 * C. 40 D 4003某种型号的电阻服从均值为1000欧姆，标准差为50欧姆的正态分布，现随机抽 取一个样本量为100的样本，则样本均值的标准差为( )。 A50欧姆 B10欧姆 C100欧姆 *D5欧姆4.设是t分布的分垃数，则有( )。 A. B. C. D. 答 由t分布的对称性选D多选1设是来自正态总体一个样本，与s分别是样本均值与样本