清华考研_电路原理课件_第17章__网络图论基础.docx

清华大学 电路原理 电子课件江辑光版参考教材：电路原理（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成电路原理 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟电路（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉第17章 网络图论基础本章重点17.1 网络的图17.217.3回路 树 割集图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式17.4 节点电压法17.5 含VCCS电路的节点分析17.617.717.817.9割集法回路法改进节点法表格法本章重点17.2回路树割集17.3图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式17.4节点电压法17.6割集法17.7回路法17.8改进节点法17.9表格法 本章重点.回路，树， 割集关联矩阵A， 基本回路矩阵B， 基本割集矩阵Q矩阵形式的KCL，KVL节点法列写电路方程返回目录17.1网络的图一、网络图论网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几何结构及其基本性质的理论。研究对象实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。电路中的应用应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路方程的系统方法。二、网络的图网络拓扑（topological graph）: 泛指线段和点之间的连接性质。i1i2i3i1i2i3抽象i1i2i3+-抽象支路电路图抽象图二端元件电路图抽象图+uS-LR1R2C抽象+-抽象名词（1）图G=支路，节点不含自环允许孤立节点存在（2）子图（sub graph）图G子图G1子图G2（3） 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。（4）连通图（connected graph）：图G的任意两节点间至少有一条路经时称图G为连通图。不连通连通（5）有向图（directed graph）路经有向有向图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。图返回目录17.2回路 树割集一、回路（loop）回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质（1）连通；（2）每个节点关联支路数恰好为2。1 278534图G35回路1257不是回路9628二、树 （tree）树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：（1） 连通；（2） 包含G的所有节点；（3） 不包含回路。16个图G树T1树T2树不唯一树支（tree branch）：属于树的支路。连支（link）： 属于G而不属于T的支路。树支数 bt= n-1连支数 bl = b-(n-1)单连支回路（基本回路（fundamental loop）：每个回路中只包含一个连支，其余均为树支。1234756树支数 4连支数 3以2，3，6，7为树支，分别加入1，4，5形成三个单连支回路41单连支回路单连支回路独立回路独立回路23756三、割集（cut set）合面与支路2，5，4，6相交6移去支路2，5，4，6图分成两个分离部分割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：（1）把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；（2）保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。例121245364536Q2: 2, 3 , 6 Q3: 1, 4, 51521523Q4: 1 , 2 , 5 4 3Q4: 1 , 5，3，6 466单树支割集（基本割集(fundamental cut set ）每个割集中只包含一个树支， 其余均为连支。选1，2，4为树支的基本割集152152152436436436Q1: 2 , 3 , 6 单树支割集单树支割集Q2: 3 , 4 , 5独立割集独立割集Q3: 1 , 3 ,5 , 6 1，2，3，4 是否组成割集？例11324三个分离部分 1，2，3，4 割集例2 12344 1，2，3，4 割集保留4支路，图不连通的。基本回路和基本割集关系12基本回路基本割集5431，2，3，41，5，3，661，2，4 树支1，4，51，2，62，3，63，4，5对同一个树（1）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。例由树支4确定的基本割集包含连支3、5 ，则连支3、5 构成的单连支回路中一定包含树支4 。基本回路基本割集121，2，3，41，5，3，645361，4，51，2，62，3，63，4，51，2，4 树支（2) 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。例由连支6确定的单连支回路包含树支1，2 ，则由树支1，2所构成的基本割集中一定含有连支6。返回目录17.3图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A用矩阵形式描述节点和支路的关联性质关联矩阵Aa=aijn b节点数支路数1有向支路 j 背离 i 节点aij =-10有向支路 j 指向 i 节点i节点与 j 支路无关按列列写12节支 1234564按行列写5361Aa= 2341-1000-110001-1-1001010-110-10Aa=节支 1 2 3 41 1 0 0 - 13 0 1 1 04 0 0 - 1 15 60 11 00 - 1-1 0支1A= 2311-1020-1130014-1005010610-1各行不独立设为参考节点，划去第4行称A为降阶关联矩阵(reducedincidence matrix) (n-1)b ，表征独立节点与支路的关联性质2-1-100节矩阵形式的KCL设支路电流支路电压节点电压 i 1 2 i 3 i 4 i 5 i 6 u 1 u 3 u 4 u 5 u 6u n = u n 1u n 2u n 3ii=u2u=i 1i 2Ai =1-10-100-100110i 31452360 1 1 0 0 i1 i4 + i6 = i1 i2 + i5 = 0 i2 + i3 i6 -1i 4i 5i 6矩阵形式的KCLAi = 0矩阵形式的KVLT 1 0 1 0 1 1 100100 un1 un 2 n 2 = un1 0 un 2 1 un1 un 3 u1 u3 u5 u6A T u n = u01u+un3un110un3u2u4二、基本回路矩阵（fundamental loop matrix）B用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B = b i j l b基本回路数支路数约定：（1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。（2）支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。1支路j与回路i关联，方向一致bij=-1 支路j 与回路i关联，方向相反0支路j 不在回路 i 中45选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。3支路回路 4 5 61 2 32161 1 -1 0B = 2 1 -1 13 0 1 -1100010001BtBl设= Bt 1 ut ul it il矩阵形式的KVLBu = 0u=u4u5u6u1u2u3Ti=i4i5i6i1i2i3TBu = 0 可写成另一种形式ut Bt 1 = 0ul Bt ut + ul = 0 u1 ul = u2 u3 连支电压u4 ut = u5 u6 树支电压ul = - Btut用树支电压表示连支电压。423156 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 1 2 3 5 矩阵形式的KCL BT il = i i1 0 1 i2 i3 KCL的另一种形式B= Bt 1 Tt lTT 1 用连支电流表示树支电流。i1+i2i4ii+ii11i61=i100i31i20i3iBtitBtTil=il1三、基本割集矩阵（fundamental cut set matrix）Q用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q = q i j n-1 b基本割集数支路数约定：（1） 割集方向与树支方向相同。（2） 支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。1j支路与割集 i 方向一致qij =-1 j支路与割集 i 方向相反0j 支路不在割集 i 中45选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,62设316支路割集 4 5 6 1 2 3Q1 1 0 0 -1 -1 0Q = Q2 0 1 0 1 1 -1Q30 1 0 -1 10QlQt ut ul i i矩阵形式的KCLQi =0u=u4u5u6u1u2u3Ti=i4i5i6i1i2i3T矩阵形式的KCL的另一种形式Qi =0 可写成it it Qt Ql = 1 Ql = 0il il i t = Q l i l用回路矩阵表示时用连支电流表示树支电流it = BtTil可见，回路矩阵和割集矩阵有Ql = BtT 的关系。45矩阵形式的KVLQTut=u2316 1 0 0 1 1010110 u4 u4 1 u6 u6 0 u5 = u4 + u5 = u 1 u4 + u5 u6 u2 5 1 0 11 u5 + u6u3 KVL的另一种写法ut T 1 u = ul l ul = QlTut用树支电压表示连支电压。u0u4u6=Qut=QTut小结：矩阵形式的KCL，KVLQl = BtT返回目录ABQKCLAi = 0TB il = iTit = Bt ilQi = 0i = Q it l lKVLTA un= uBu=0ul = - BtutTQ ut= uTul = Ql ut17.4节点电压法KCL A i =0列方程依据元件特性方程U Sk：独立电压源I Sk：独立电流源设标准支路(k支路）为I k I ek - U Sk +Yk+ U k-Yk：导纳I ek：阻抗元件电流I k：第 k条支路电流U k：第 k条支路电压规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为kKVLu=Atun k支路电压、电流关系：U k = Z k ( ISk + Ik ) U SkIkYkISkIk = Yk (U Sk + U k ) ISk+U k-设I = I 1 I 2 I bTU = U 1 U 2 U bTI S = I S1 I S 2 I SbTU S= U TZ=diagZ1 Z2 Zb Z=Y-1Y=diagY1 Y2 Yb S1US2USbb条支路电压与电流关系的矩阵形式为 I1 Y1 Ik = 0 0 b 000000Yk0000000 U 1 + U S1 IS1 0 U k + U Sk ISk 0 Yb U b + U Sb ISb 支路电流的矩阵方程 为I =Y U +Y US IS0I00由KCL由KVLA i =0AI = AY U + AY US AIS =0u=Atun可得AYAT Un +AYUS AIS =0令Y n = AYA T节点导纳阵（node admittance matrix）得节点电压方程Yn Un =AIS AY US由此求得支路电压和电流U nATU nUI = YU + YU S ISI例1 列写图示电路的节点电压方程。1解0.5 2+51A0.55 13A6（1）画有向图。23（2）1100 01 145A = 0 111 00 000 1 0 1 1-V1Ik+YkI ekISk-U SkU k+-0.5 2+51A0.55 13A（3）Y = diag2 0.5 2 0.2 1 16（4） U S = 5 0 0 0 0 0 T（6） Yn Un =AIS-AYUST124035得 3.5 1 0.5 1 U n1 10 2.7 2-V（5）IS=0001300.52Un2=14Un33例2 列写图示电路的节点电压方程。M2 3IS1L2R1 C4L3R5+ R10jL210jM400050 0 1 1 0 0 0A = 0 1 1 1 00 1Z = 0 0 0jM00jL30001jC 400 0 R5 U S = 0 0 0 0 U S5 TIS = IS1 0 0 0 0 T0001Y=Z -1 1 R 1 0Y = 0 00L3M000ML200000jC 400 0 0 0 1 R5 其中 = j ( L2 L3 M 2 )Y n = AYA节点电压方程TYn Un =AIS-AYUS（矩阵相乘由程序完成）返回目录017.5含VCCS电路的节点分析设电路中只存在由阻抗元件电压控制的电流源。Idk = g kjU ejIdkk支路受 e支路阻抗控源电流 两端电压Iek = YkU ekIk = Iek + Idk ISk= YkU ek + gkjU ej I Skk ISk标准支路+ U k-第一步：先不考虑受控源，b 条支路电压、电流关系的矩阵形式为I+Uek-USk+ I1 Y1 k I k 0 I 0 j 0 I b 0 000000000Yk0000j0 0 00 0 00 0gkj 0 0 00 Y j 00 0 0 0 00 U e1 IS1 0 U ek ISk 0 Yb U eb ISb 第二步：考虑受控源，只需在导纳矩阵的 k行（受控支路）和 j列（控制支路）处添上控制系数 gkj（参照标准支路定正、负）。将上式改写为:I = YmU e IS = YmU + YmU S IS得m n S m S代入 AI = 0ATU n = U=0000UejISj 例 列写图示电路的节点电压方程。iS5G4+ ua -guaG5*L1MC3*L2154231230 00 011A = 1 0 1 1 00I S = 0U S = 0000000i S 5 T0 T1100 jL1Z = 0 0 0jMjL2000001/jC 3000001 / G400 0 0 0 1 / G5 L2 MY = 0 0 ML100000jC 300000G400 0 0 G5 其中 = j ( L1 L2 M 2 )jM00在Y阵的第3行第4列处添上 g，得到YmYm = L2 M 0 0 ML100000jC 30000-0gG400 0 0 G5 节点方程AYm ATU n = AIS AYmU S返回目录0017.6割集法取割集（树支）电压为未知变量。KCLKVLQI = 0U = Q TU tIkYkIekISk-U Sk +元件特性I = YU + YU S IS +U k-QI = QYU + QYU S QIS = 0标准支路割集方程矩阵形式QYQ TU t = QIS QYU SYt 割集导纳阵（cut set admittance matrix）割集法和节点法很相似。在割集法中VCCS最易处理，处理方法与节点法完全相似。返回目录17.7回路法取回路电流（连支电流）为未知变量。支路电压与支路电流的关系 I kIek-U Sk +Yk+标准支路KCL I = B T I l 代入上面方程，整理后得-回路方程矩阵形式T l S SZl 回路阻抗阵(loop impedance matrix)回路法中独立变量是电流，最易处理CCVS，处理含有互感的电路时比节点法和割集法方便 。返回目录KVLBU=017.8改进节点法处理对象：电路中含有纯电压源或纯压控电压源支路。例+U 4- g65U 5+- 4 6G1iS2C4+G2-I3+G5 U 5 C734 4G6 U S 6I8+-1257图G8电路图支路3、8为纯压控电压源和纯电压源支路-U3思路：先用直观法列节点方程，进而给出改进节点法一般形式。(G1 + jC 4 )U n1 jC 4U n 2 G1U n4 + I3 = 0 jC 4U n1 + ( jC 4 + G5 + G6 )U n 2 G6U n 3 = G6U S 6 g65U 5 G6Un 2+ ( jC 7 + G6 )Un 3+ I 8 = g65U 5 G6US 6 G1U