九年级数学函数复习研讨会专题资料.doc

2015年初中毕业年级数学科（华东师大版）研讨会之“函数”专题资料一、函数基础知识点概述平面直角坐标系函 数1、定义2、各象限内点的坐标的特征3、坐标轴上的点的特征4、点P（x，y）坐标的几何意义5、平面内P1（x1，y1）P2（x2，y2）两点之间的距离6、关于坐标轴，原点对称的点的坐标的特征1、函数定义、常量、自变量、因变量.2、函数自变量的取值范围的确定（1）、解析式型：、整式型：、分式型：、二次根式型：、零指数和负指数型。、综合型（2）、动态问题型：在动态问题中，自变量的取值范围受动点运动范围的限制。一般先求动点的极端值，从而确定自变量的取值范围。3、函数值（注：一个X值只确定一个Y值的对应关系）4、画函数图像的一般步骤及注意事项二、复习与应试探索1、在坐标平面内会正确的描点，对于坐标内的点要借助图形正确的写出，特别注意各象限内点的符号。2、关于对称点的坐标特征应遵循：关于x轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标变为相反数；灵活借助图形完成，切忌死背。关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标变为相反数；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数；3、求函数自变量的取值范围，往往通过解方程，不等式（组）来确定，要注意合理，正确的转换方法，实际问题中的自变量，必须使实际问题有意义。4、对于实际问题，要符合数形结合的思想方法，根据图像提供的信息或题意解题。（图像上从左到右，横坐标表示的量逐渐增大，图像的高低表示纵坐标表示的量的大小变化）正比例函数、一次函数、反比例函数一、基础知识点一次函数与正比例函数1、定义2、一次函数与正比例函数之间的关系；一次函数y=kx+b(k0)与正比例函数y=kx (k0)的图象3、 一次函数y=kx+b(k0)的图象的位置及增减性:4、 一次函数图像的两点式画法5、 平面内两条直线的位置关系与k，b的关系6、一次函数，一元一次方程，一元一次不等式的关系反比例函数1.反比例函数的定义2、反比例函数的图象及性质.形状 .位置 .增减性 .图象的发展趋势 .对称性 二、复习与应试探索1、用待定系数法求一次函数的一般步骤：1、 设所求的一次函数解析式为y=kx+b；2、 把已知条件（通常是自变量和函数的对应值或函数图像上某个点的坐标等）代入函数解析式y=kx+b，得关于k和b的一次方程组。3、 解这个方程组求k和b的值。把k和b的值代入函数解析式y=kx+b即可2、一次函数，一元一次方程，一元一次不等式(1)当y=0时，得一元一次方程kx+b=0应尽量在坐标系中接合图像进行讲解，以便学生形成接合图形进行分析的习惯和能力。(2)当y0时，得一元一次不等式kx+b0(3) 当y0时，得一元一次不等式kx+b0时，y随x的增大而减小。”就会出现与事实不符的矛盾。4、反比例函数的图像的位置和函数的增减性由比例系数k的符号决定，反过来由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推出k的符号。5、反比例函数中比例系数k的集合意义：经过双曲线上的任意一点作x轴和y轴的垂线，所得的矩形面积恒为k .6、 在分析函数的图像与性质时，要学会从“数”分析到“形”，有“数”的特征想到“形”的特征，以及由“形”的特征想到“数”的能力，从而实现数形结合。二次函数一、基础知识点1、二次函数的定义及三种主要表示形式2、二次函数的图像及特征（1）、二次函数y= ax的图像与特征：（顶点坐标、对称轴、开口方向、增减性、最值）（2）、二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质：（顶点坐标、对称轴、开口方向、增减性、最值、位置）（3）、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质（顶点坐标、对称轴、开口方向、增减性、最值）3、二次函数的图像与X轴的交点与y=0时对应的一元二次方程的根与系数之间的关系4、a、c同号则x1x2同号，反之异号；a、b同号则顶点在y轴左边，反之在右边（适应介绍，以得优生）5、求二次函数的解析式：一般式与顶点式二、二次函数的综合应用主要包含以下三种（一）、解决实际问题中的应用1、抛物线形问题利用呈抛物线形状的本身所涉及的题目，如有些桥梁、大门、跳绳、投球、跳水的路线等，解之有关的实际问题，关键在于把这段抛物线放到合适的平面直角坐标系中，在这个坐标系中，把它抽象成一条纯粹数学意义的抛物线，运用二次函数的知识解答，所得结果再放回实际问题中去检验，看它是否具有实际意义。2、 解析式解决商业利润和其他实际生活问题此类题以文字或结合图像，交待说明变量之间的关系，列出二次函数解析式，确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点坐标，或者自变量再取值范围内时函数的变化规律等解决。（二）、抛物线与几何图形基本分析方法：解析式图像点线段之间关系图形的性质特征（或者图形的性质线段之间关系关键点点的坐标解析式）1、抛物线与图形的综合问题中，通常与求线段长有关系，所以掌握在平直角坐标系中求线段长的基本方法（点的坐标求该点到坐标轴的距离，任意两点间的线段长）2、抛物线与图形面积问题这类题目要求在平面直角坐标系中利用函数解析式，确定有关几何图形的面积。一般采取“割”或者“补”的方法构造基本图形，把基本图形的面积加减得到要求的几何图形的面积。其中，利用“割”或者“补”往往要用到坐标轴或与坐标轴平行的直线，使图形在坐标轴或者与坐标轴平行的线段为底边，在通过底边所对的顶点向坐标轴引垂线段，求得这条底边上的高，代入相应的面积公式求解。（三）、几何图形中的二次函数在几何图形中研究二次函数关系问题，已经成为很多地方中考压轴题，难度系数大，具有明显的选拔功能，在考察知识的同时，更强调能力，解题时，要求知识应用的综合性、灵活性很强、广泛应用于分类讨论、转化化归、数形结合等重要思想方法。基本题型：由于在几何图形中，某些元素的运动变化，导致相应的线段、面积等几何量的大小随之改变，在这个数量变化过程中，找出两个变量作为刻画对象，并最终用有关二次函数的知识把问题加以解决，就形成了我们研究的“几何图形中的二次函数问题”。题目一般把线段长后者动点的运动时间作为自变量，以线段长或者三角形、四边形、重叠图像的 面积作为因变量。根据变化的几何元素不同，我们把它大致分为“动点产生的二次函数”、“动线产生的二次函数”、“动面产生的二次函数”三种类型。常用方法：以上三种几何图形中的二次函数问题的基本思路是一致的，都是要化动为静，选取比较典型的状态进行分析，并根据几何知识列出等式，把等式中的几何量用具体数值和讨论的两个变量代替，将等式变形成用自变量表示因变量的形式，解题过程中经常用到相似性质、面积公式等几何知识，要注意自变量的取值范围，一般要对因变量的出现、消失以及重要变化阶段等临界状态、极端状态时自变量的取值，来确定自变量在不同函数中取值范围。二次函数的应用根据已知条件，综合运用二次函数以及相关几何知识去解决具有挑战性的实际问题或代数几何综合题，以探究型、开放型的压轴题为主。四、几种主要形式：（1）、二次函数y=a(x-h)2的性质抛物线y=a(x-h)2 (a0)y=a(x-h)2 (a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=ax2+bx+c(a 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac 0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x0时，函数值y随x的增大而减小 C. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y随x的增大而增大 D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大 解析：二次函数 (a0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x=x0（x00）的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大。抛物线开口向下时，在对称轴x=x0（x010)，利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式；(3)有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专实店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元只至少要提高到多少?为什么? 解：(1)50只 (2)当lO50时，y=(20-16)x=4x (3)方法(一)：列表x 40 4l 42 43 44 45 46 47 48 49 50 y 200 200.9201.6 202.1 202.4 202.5 202.4 202.1 201.6 200.9 200由表格可知，最低售价为20-0.1(45-10)=16.5元. 方法(二)：利润y=O1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5，因为卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，由二次函数图象可知，x45，晟低售价为20-0.1(45-10)=16.5元.实战中考（2006河北省）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的二次函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）请把（2）中的二次函数配方成的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元； （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由解：（1）=60（吨） （2）， 化简得： （3） 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 （4）我认为，小静说的不对理由： 方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月销售额W不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元1732518000，当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对【评析】此类题应先由条件和生活经验规律先确定变量之间的函数关系包括自变量的取值范围，然后利用二次函数的解析式解决问题。4、抛物线与基本图形问题实战中考（2007浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）令y=0，解得或（1分）A（1，0）B（3，0）；（1分）将C点的横坐标x=2代入得y=3，C（2，3）（1分）直线AC的函数解析式是y=x1（2）设P点的横坐标为x（1x2）（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，x1），（1分）E（1分）P点在E点的上方，PE=（2分）当时，PE的最大值=（1分）（3）存在4个这样的点F，分别是实战中考（2007成都）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；yx11O（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的表达式为yxBEAOCD（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点xBEAOCP将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得解得（不合题意，舍去）点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角【小结】（1）存在型探索，可以先假设存在，然后由题中条件进行推理看能得出矛盾得结果还是能与已知条件一致的结果。（2）当结论不唯一时，要分门别类进行讨论去求解，将不同结论进行归纳综合，得出正确结论。6、 抛物线与图形面积问题实战中考（2007四川眉山）如图，矩形ABCO是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的O点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)(1)如果二次函数yax2bxc(a0)的图象经过O、O两点且图象顶点M的纵坐标为1求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得P