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文档简介
柯西不等式的变形及其应用周学员作者单位:湖北省安陆市第一高级中学邮政编码:432600 高中新课程标准实施后与以前的课本比较新增了一些内容,这些新增内容在拓宽学生知识面的同时也增加了新的难点,例如新增的柯西不等式就是其中的难点之一,下面谈一谈柯西不等式的两种变形及其应用,希望对读者理解与应用柯西不等式有所帮助。一柯西不等式如果ai、biR(i=1,2,n),那么,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个常数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立。二两个推论 推论1.如果aiR,bi0,(i=1,2,n),那么,当且仅当bi=kai (i=1,2,n)(i=1,2,n)时,等号成立。证明:由柯西不等式得,当且仅当bi=kai (i=1,2,n)(i=1,2,n)时,等号成立。推论2.如果aibi0(i=1,2,n),那么,当且仅当b1=b2=bn时,等号成立。证明:由柯西不等式得,当且仅当b1=b2=bn时,等号成立。三。应用提高例1.已知a,b,cR+,a+b+c=1,求证:证明:a,b,cR+,a+b+c=1由推论1得例2已知a,b,cR+,求证:证明:a,b,cR+,由推论1得即例3已知a,b,cR+,求证:证明:a,b,cR+,由推论2得=例4已知nN*且n2,求证:证明:由推论1得又由推论2得故原不等式成立四练习巩固1:设定义在R上的函数,若且求证:.分析:要证明,即证:只需证:证明:12x+22x+(n1)2x+an2x (,)即2若 求证:分析:初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式的推论1了 由推论1得3分析:由推论2得五小结升华由上面例题和练习的证明可知运用柯西不等式的推论1和推论2证明其他不等式的关键是构造分式,并按照推论1和推论2的形式进行探索,寻求证题思路。联系地址:湖北省安陆市凤凰寄宿高中高三数
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