【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.2 立体几何中的向量方法第三课时讲解与例题 新人教A版选修21.doc

第三课时空间向量与距离问题导学一、求两点间的距离或线段的长活动与探究1在二面角l中，ab，且abl，cd，cdl，b，cl，且ab，cd的夹角为60，若abbccd1，求a，d间的距离迁移与应用如图，把长、宽分别为4,3的矩形abcd沿对角线ac折成60二面角后，求顶点b与d之间的距离计算空间中两点间的距离一般有三种方法：(1)构造三角形，通过解三角形求解(2)建立适当的直角坐标系，求出两点的坐标，利用公式求解(3)把线段用向量表示，转化为求向量的模，利用|a|2aa求解二、求点到平面的距离活动与探究2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，求点a到平面a1bd的距离迁移与应用已知四边形abcd是边长为4的正方形，e，f分别是ab，ad的中点，cg垂直于abcd所在的平面，且cg2，求点b到平面efg的距离1求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解2求点到平面的距离还可以利用等体积法进行求解答案：课前预习导学【预习导引】1|2预习交流提示：(1,2，4)，所以点p到的距离为d，故选d.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：求a，d两点间的距离，就是求向量的模，由于本题中的空间图形不适合建系，故可用向量分解法求模解：由于，|2()2|2|2|22()由于abbccd1，abbc，cdbc，又ab，cd的夹角为60，0，|cos，于是|211122，即|，故a，d间的距离等于.迁移与应用解：如图，过点d，b分别作deac，bfac，垂足分别为e，f.因为ab4，bc3，所以ac5.所以debf.所以aecf.从而ef，又二面角dacb的大小为60，则，120.而，所以|2()2|2|2|22222222所以|，即顶点b与d之间的距离为.活动与探究2思路分析：易知a1bd为正三角形，且abadaa1，可以确定点a在平面a1bd内的射影再进行求解，也可用向量法求解解：解法一：如图，由正方体的性质可知，a1ddbba1a，a1bd是正三角形连结ac交bd于o，则bdac.连结a1o，则a1obd.又aca1oo，bd平面a1ao.又bd平面a1bd，平面a1ao平面a1bd，且平面a1ao平面a1bda1o.作aha1o于h，则ah平面a1bd.故ah的长即为点a到平面a1bd的距离在rta1ao中，sinoa1a.在rta1ha中，ahaa1sinoa1aa.即点a到平面a1bd的距离为a.解法二：如图所示，建立空间直角坐标系d1xyz，由题意，知a1(a,0,0)，a(a,0，a)，b(a，a，a)，d(0,0，a)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则xz1，n(1，1,1)n(0，a,0)(1，1,1)a.点a到平面a1bd的距离为da.迁移与应用解：如下图，建立空间直角坐标系cxyz.则g(0,0,2)，e(2，4,0)，f(4，2,0)，b(0，4,0)，(2，4，2)，(4，2，2)，(2,0,0)设平面efg的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得xt，yt，z3t.令t1，即n(1，1,3)，于是点b到平面efg的距离.当堂检测1在空间直角坐标系中，已知p(1,0,3)，q(2,4,3)，则线段pq的长度为()a b5 c d答案：b解析：线段pq的长度为|5.2正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则点a到平面b1d1db的距离为()a b2 c d答案：c解析：以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则a(1,0,0)，c(0,1,0)，(1,1,0)容易证明是平面b1d1db的法向量，于是a到面b1d1db的距离为.3在正三棱柱abca1b1c1中，若ab2，aa11，则点a到面a1bc的距离为()a b c d答案：b4空间直角坐标系中，已知a(2,3,4)，b(2,1,0)，c(1,1,1)，那么点c到线段ab中点的距离是_答案：解析：ab中点m(0,2,2)，所以点c到线段ab中点的距离为.5如图，在120的二面角的棱上有a，b两点，线段ac，bd分别在二面角的两个面内，且都垂直于ab，已知ab4，ac6，bd8求cd的长度答案：解：因为，120，所以，60.又，故有