4.第四节 相似三角形.doc

第四章 三角形 (20082016) 第四节 相似三角形玩转安徽9年中考真题命题点 与相似三角形有关的证明和计算（必考）1. (2016安徽8题4分)如图，ABC中，AD是中线，BC8，BDAC，则线段AC的长为 ()A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 第1题图 第2题图 2. (2008安徽10题4分)如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点, MNAC于点N，则MN等于 ( )A. B. C. D. 3. (2008安徽20题10分)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP PQ QR. 第3题图4. (2009安徽22题12分)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,DME=A=B=,且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG，如果=45，AB=，AF=3，求FG的长. 第4题图5. (2012安徽22题12分)如图,在ABC中,D、E、F分别为三边的中点,点G在边AB上,BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a,AC=b,AB=c.(1)求线段BG的长;(2)求证：DG平分EDF;(3)连接CG,如图,若BDG与DFG相似,求证：BGCG. 第5题图6. (2011安徽22题12分)在ABC中,ACB=90,ABC=30,将ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为(01),且ABC的三边长分别为a、b、c(abc),A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c=a1,求证：a=kc；(2)若c=a1,试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明；(3)若b=a1,c=b1,是否存在ABC和A1B1C1使得k=2?请说明理由. 第7题图8. (2015安徽23题14分)如图,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC.(1)求证：AD=BC;(2)求证：AGDEGF;(3)如图,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值. 第8题图9. (2016安徽23题14分)如图，A，B分别在射线OM，ON上，且MON为钝角现以线段OA，OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP，OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点(1)求证：PCEEDQ；(2)延长PC，QD交于点R.如图，若MON150，求证：ABR为等边三角形；如图，若ARBPEQ，求MON大小和的值 第9题图 10. (2013安徽23题14分)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图,四边形ABCD即为“准等腰梯形”,其中B=C.(1)在图所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；(2)如图,在“准等腰梯形”ABCD中,B=C,E为边BC上一点,若ABDE, AEDC.求证：；(3)在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中,BAD与ADC的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么?若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由)第10题图【专家猜押】已知，如图，AD是ABC的角平分线，且ADBD.(1)求证：CDACAB；(2)如图，延长AD至E，使AEAB.过E点作EFAB，交AC于点F.求证：ADAF；(3)在(2)的条件下，若BD5，CD4，求的值专家猜押题图答案命题点 与相似三角形有关的证明和计算1. B 【解析】BDAC，CC，ABCDAC，即AC2BCDC.AD是中线，BC8，DCBC4.AC28432，AC4.2. C 【解析】如解图,连接AM,则AMBC. 又点M为BC的中点CM=BC=3，AM= =4,AB=AC, B=C,又AMB=MNC=90,ABMMCN,即, . 3. 解：(1) BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PAB RDQ.(4分)(2)四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BCADCE，ACDE，PBPR，.又PCDR，PCQRDQ.点R是DE的中点，DRRE.，QR2PQ.(8分)又BPPRPQQR3PQ，BPPQQR312.(10分)(没有说明点B、C、E在一条直线上可以不扣分) 4.解: (1)AMFBGM,DMGDBM,EMFEAM等.(写出2对即可)以下证明AMFBGM.由题知A=B=DME=,而AFM=DME+E,BMG=A+E,AFM=BMG,AMFBGM；(5分)(2)当=45时,可得ACBC且AC=BC,M为AB中点,AM=BM=2.由AMFBGM得,AFBG=AMBM,BG=.又AC=BC=ABcos45=4cos45=4,GC=BC- BG=4-=,CF=AC- AF=4-3=1.FG=.5. (1)【思维教练】根据两周长相等,可知BG= (AB+AC).解: BDG与四边形ACDG的周长相等,且BD=DC,BG=AG+AC=ABBG+AC,BG=(AB+AC)=(c+b); (3分)(2)【思维教练】根据中位线定理,求证ABDE,通过证明DF=FG得出DG平分EDF.证明: 点D、F分别是BC、AB的中点,DF=AC=b,，又FG=BG-BF=(b+c)-c=b,DF=FG,FDG=FGD,点D、E分别是BC、AC的中点,DEAB,EDG=FGD,FDG=EDG,即DG平分EDF; (8分)(3)【思维教练】通过证B、G、C在同一个圆上,且BC为圆直径,从而得BGCG.证明: BDG与DFG相似,DFG=BDG,BGD=DGF(公共角),B=FDG,由(2)知FGD=FDG,FGD=B,DG=BD. (10分)BD=DC,DG=BD=DC,B、G、C三点在以D为圆心，BC为直径的圆上,BGC=90,即BGCG. (12分)6. (1)证明: ABCB,BCB=ABC=30.ACA=30,又ACB=90,ACD=60,又CAB=CAB=60,ACD是等边三角形; (5分)(2)证明: AC=AC,BC=BC,又ACA=BCB,ACABCB,=tan30=,SACA错误！未找到引用源。SBCB=AC2错误！未找到引用源。BC2=1错误！未找到引用源。3; (9分)(3)解：120,. (12分) 7. (1)证明: ABCA1B1C1,且相似比为k(k1),=k,a=ka1,又c= a1,a=kc; (4分)(2)解: 取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2,此时=2,ABCA1B1C1且c=a1; (10分)(3)解:不存在这样的ABC和A1B1C1,理由如下:若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1,又b=a1,c=b1,a=2a1=2b=4b1=4c,b=2c,b+c=2c+c4c=a,与b+ca矛盾,故不存在这样的ABC和A1B1C1,使得k=2. (14分)8. (1)【思维教练】要证ADBC，只需证明AGDBGC，结合已知条件AGDBGC，要证明GAGB，GDGC，通过垂直平分线即可证明证明：点E、F分别是AB、CD的中点，且GEAB，GFCD，GE、GF分别是线段AB、CD的垂直平分线，GAGB，GCGD，在AGD和BGC中，AGDBGC(SAS)，ADBC；(5分)(2)【思维教练】要证AGDEGF,需证,AGD=EGF,由已知易证ABGDCG可得,即可得证.证明: AGD=BGC,AGB=DGC.在AGB和DGC中,AGB=DGC,ABGDCG, (8分),GAE=GDF,又GEA=GFD=90,AGE=GEA-GAE,DGF=GFD-GDF,即AGE=DGF,AGD=EGF,AGDEGF; (10分)(3)【思维教练】要求的值,可结合(2)知AGDEGF,从而只需计算的值,而根据题意ADBC知需延长AD与BC相交,再证明AGE是等腰直角三角形即可得=2,再利用(2)中AGDEGF可得的值.解: 如解图,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH.由AGDBGC,GAD=GBC,在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB,GMAHMB,AGB=AHB=90,AGE=AGB=45,又AGDEGF,.(12分)第8题解图【一题多解】解法一：如解图，连接BD，过点F作FMBC交BD于点M，连接EM.GF是DC的垂直平分线，DFCF，FMBC，FMBC，M是BD的中点，GE是AB的垂直平分线，AEBE，EMAD，EMAD，ADBC，EMFM，ADBC，EMFM，EFEM，错误！未指定书签。.解法二：如解图,过点D作DHAD,交BF的延长线于点H.ADBC,DHAD,DHBC,DHF=CBF,HDF=BCF,又DF=CF,DHFCBF,DH=BC,HF=BF,DH=AD,在RtADH中,ADH=90,AD=DH,AH=AD,AE=BE,HF=BF,EFAH,EF=AH,EF=AD,.【难点突破】确定时,需如何转化是本题的难点,可利用AGDEGF,列出来解.9. 【思维教练】(1)由于点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点，以及OAP，OBQ是等腰直角三角形，考虑利用中位线性质和直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，来得到PCE，EDQ的对应边相等，再结合平行四边形的性质得到对应角相等，利用SAS判定两个三角形全等；(2)连接OR，利用垂直平分线的性质和等边三角形的判定定理即可得证；利用(1)中结论和ARBPEQ，求出CRD的值，再结合四边形内角和定理即可求得MON的值；结合直角三角形中线及等腰直角三角形的边角关系即可求解(1)证明：点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点，DEOC且CEOD四边形CEDO是平行四边形，ECOEDO，又OAP，OBQ都是等腰直角三角形，PCOQDO90，PCEPCOECOQDOEDOEDQ，又PCAOOCDE，CEODBODQ，PCEEDQ；(5分)(2)证明：如解图，连接OR，PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线，ARORBR，ARCORC，ORDBRD，在四边形OCRD中，OCRODR90，MON150，CRD30，ARBAROBRO2CRO2ORD2CRD60.ABR为等边三角形；(9分)第9题解图解：如解图，由(1)知EQPE，DEQCPE，D、E分别为OB、AB的中点，EDOA，ACECED，PEQCEDCEPDEQACECEPCPEACERCEACR90，即PEQ为等腰直角三角形，ARBPEQ，ARB90，在四边形OCRD中，OCRODR90，CRDARB45，MON360909045135，又AOP45，POD180，即P、O、B三点共线，在APB中，APB90，E为AB中点，AB2PE，又在等腰直角PEQ中，PQPE，.(14分)第9题解图【难点突破】本题的难点在于第(2)问，在求解过程中，需结合(1)中的结论与相似三角形的性质及中所得的几何关系，通过角度转换，推出ARB，PEQ为等腰直角三角形，再根据中点关系推出所求比值关系10. (1)【思维教练】根据等腰三角形和等腰梯形的判定方法,结合题目条件B= C,过点A或点D作平行线即可;解: 过点A作AECD交BC于点E,或过点D作DFBC交AB于点F,或过点D作DGAB交BC于点G,如解图所示:第10题解图 (4分)(2)【思维教练】由平行线得到角相等,证明ABEDEC,根据相似三角形的性质得到成比例线段;证明:ABDE,AEDC,AEB=C,DEC=B,ABEDEC,B=C,DEC=C,DE=DC,;(8分)(3)【思维教练】过点E分别作EFAB于F,EGCD于G,EHAD于H,证EF=EG,进而证EBFECG,EBF=ECG,又由于EB=EC,得EBC=ECB,进而得到ABC=DCB,所以四边形ABCD是“准等腰梯形”.类似地,点E不在四边形ABCD内部时,四边形ABCD也是“准等腰梯形”.解:四边形ABCD是“准等腰梯形”.理由:如解图,过点E分别作EFAB于F,EGCD于G,EHAD于H,AE平分BAD,EF=EH,同理EH=EG,EF=EG,又EB=EC,BFE=CGE=90,EBFECG,EBF=ECG,EB=EC,EBC=ECB,EBF+EBC=ECG+ECB,ABC=DCB,四边形ABCD是“准等腰梯形”. (12分)第10题解图当点E不在四边形ABCD内部时,分两种情况,(a) 如解图,点E在四边形ABCD的边BC上时,四边形ABCD是“准等腰梯形”;(b) 如解图,点E在四边形ABCD的外部时,四边形ABCD仍是“准等腰梯形”. (14分)解法提示:(a)证明:如解图,过点E作EF1AB于F1,EH1AD于H1,EG1CD于点G1,AE为BAD的平分线,EF1=H1E(角平分线上的点到角两边的距离相等),同理可证EG1